數(shù)學思想方法歸納與數(shù)學歸納法

歸納一、歸納的特點與類型二、歸納法三、不完全歸納法與完全歸納法四、歸納與數(shù)學學習五、數(shù)學歸納法歸納大數(shù)學家拉普拉斯指出：在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比，通過觀察、實驗、等途徑，人們可以獲得有關(guān)數(shù)學研究對象的大量的經(jīng)驗材料，這是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理必要的基礎(chǔ)，但還需要利用歸納法對經(jīng)驗材料進行處理，以期發(fā)現(xiàn)數(shù)學對象的本質(zhì)和對象之間的內(nèi)在聯(lián)系，達到發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理的目的。歸納就是從特殊的具體的認識推進到一般的抽象的認識的一種思維方式。它是科學發(fā)現(xiàn)的一種常用的有效的思維方式。一、歸納的特點1、歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的內(nèi)容。2、歸納是依據(jù)若干已知的不完盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而結(jié)論具有猜測的性質(zhì)。3、歸納的前提是單個的事實、特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、實驗或經(jīng)驗的基礎(chǔ)上的。二、歸納法歸納法就是通過對某類事物（數(shù)學對象）的個別或部分對象的研究得出關(guān)于該類事物的一般結(jié)論的方法，也就是由特殊到一般的推理方法，歸納法又被稱為歸納推理。由一個或數(shù)個已知判斷（前提）推出未知判斷（結(jié)論）的思維形式叫做推理，推理一般分為演繹推理和合情推理。合情推理：同真前提或然地得出結(jié)論的推理，歸納推理屬于合情推理，歸納得到的結(jié)論在未加證明之前僅是一種猜想，可能真也可能不為真。演繹推理：真前提必然地得出真結(jié)論的推理。歸納推理的原理A的一個非空子集A1中的每一個元素a都具有性質(zhì)pA中每一個元素a都具有性質(zhì)P思考：多面體的面數(shù)F，頂點數(shù)V，棱數(shù)E之間的關(guān)系例多面體的面數(shù)F，頂點數(shù)V，棱數(shù)E之間的關(guān)系多面體面數(shù)F頂點數(shù)V棱數(shù)E立方體6812三棱柱569五棱柱71015方錐558三棱錐446五棱錐6610分析結(jié)果得到什么結(jié)論？

分析這些特例的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上可以歸納出一個結(jié)論：F+V=E+2

盡管這時還不能認為這個結(jié)論是正確的，但是它為我們提供了一個研究方向，即根據(jù)這個結(jié)論再去證實它是符合一般多面體的情形。例2，已知函數(shù)f(x)=求f[f[...f(x)]]的值？結(jié)果你想到了嗎？f[f[...f(x)]]=確定因果關(guān)系的歸納方法1、歸納法：完全歸納法和不完全歸納法2、確定因果關(guān)系的五種邏輯方法（1）求同法（2）求異法（3）求同求異法（4）共變法（5）剩余法1、求同法某種被研究的對象，在幾種不同的情形下都出現(xiàn)，而在各種情形中只有一個條件是共同的，于是就可以認為這個條件是被研究現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。情形各種條件被研究的現(xiàn)象一ABCa二ADEa三AFCa由上可以認為A是a的原因例如：伽利略觀察到，擺場相等振幅不相等時，擺動一個周期的時間不變，于是肯定了擺長是周期的決定因素。2、求異法某種被研究的現(xiàn)象a，只在第一種情形出現(xiàn)，在第二中情形不出現(xiàn)，而一、二兩種情形除一中有條件A而二中沒有條件A外，其余條件都相同，可以認為A是現(xiàn)象a產(chǎn)生的原因或者部分原因。可以認為A是a產(chǎn)生的原因或者部分原因例如：在種子、土地、氣溫相同的條件下如果施用有機肥料就可以增產(chǎn)，若不施用有機肥料則產(chǎn)量低就可以說明使用有機肥是增產(chǎn)的原因。情形各種條件被研究的現(xiàn)象一ABCa二BC-3、求同求異法在一系列的情形中，凡有條件A的都有現(xiàn)象a出現(xiàn)，凡是沒有條件A的則現(xiàn)象a不出現(xiàn)，則可以認為A是a的原因。這種方法比單純的求同法或是求異法更為可靠。情形各種條件被研究的現(xiàn)象一ABCa二ADEa三AFGa四MN-五XY-六BCDEFG-4、共變法在一系列的情形中，其余條件保持不變，只把條件A作大小強弱的變化，如果由此也只是引起現(xiàn)象a的大小強弱的變化，則可以認為條件A是現(xiàn)象a的原因。例：共變法多用于確定兩種因素之間的量的依存關(guān)系，用柱面圖或曲線表示兩個變量之間的關(guān)系也是共變法的一種體現(xiàn)。情形各種條件被研究的對象一A1BCa1二A2BCa2三A3BCa35、剩余法一組條件引起一組現(xiàn)象，如果出去條件A和現(xiàn)象a外，可以確認其余條件是其余現(xiàn)象的原因，就可以認為A是現(xiàn)象a的原因。

例：含鈾的瀝青礦可以發(fā)出放射線，居里夫人已經(jīng)掌握了這種放射強度，一次居里夫人從含鈾的瀝青礦中發(fā)現(xiàn)了超乎尋常的放射強度，于是她推測應(yīng)當有另一種放射性元素存在，經(jīng)過艱苦的工作她終于發(fā)現(xiàn)了鐳元素。情形各種條件現(xiàn)象一ABCabc二Bb三Cc三、不完全歸納法與完全歸納法

古代有一個笑話，財主兒子學識字，請了一位先生教他“一”是一橫，“二”是二橫，“三”是三橫。財主的兒子一聽，認為識字如此容易，就把先生辭退了。事后，他父親讓他給一個姓萬的朋友寫一幅請?zhí)?，等了半晌，問為什么還沒有寫好，他很不耐煩地說：“才寫到五百了……天底下這么多姓，姓啥不好，這個人為什么偏偏姓萬呢！”不完全歸納法

這個笑話說明，不完全歸納法得出的結(jié)論是不可靠的，因為它是把對部分對象的認識得出的結(jié)論推廣到了一般，帶有很大的片面性。f(n)=n2+n+41，當n=1，2，3，…，39時，f(n)的值都是質(zhì)數(shù)。而當n=40時，f(n)的值是412，顯然不是質(zhì)數(shù)。因此，通過不完全歸納得出f(n)對于所有的自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的結(jié)論是不對的。不完全歸納法歸納是解決許多數(shù)學問題常用的探索過程，猜想的結(jié)論是否正確，最終還需嚴格證明，或通過舉出反例予以否定。在很多情況下，應(yīng)用不完全歸納法探索出的對某些規(guī)律性的認識，其結(jié)論往往超出了前提所包含的范圍，具有某些猜測的性質(zhì)。因此，不完全歸納法作為邏輯推理是不嚴密的。但是，不完全歸納的作用仍然不可小覷，在探索問題的過程中，這些方法能給人們提供研究的方向和線索，幫助人們比較迅速地發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律。因此，《課標》把這些“從已有的事實出發(fā)憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果”的推理形式稱為合情推理。完全歸納法

完全歸納法可以作為嚴格的推理論證方法。因為如果考察所有各種個別情形得出的結(jié)論是真實的，那么根據(jù)這些真實結(jié)論所得到的一般性結(jié)論也畢竟是真實的，一般地，用完全歸納法進行推理時，要用分類方法對考察對象的各種特殊情形都要進行討論，不重復也不能遺漏。例如，在證明“圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半”時要分三種情況：圓心在圓周角的邊上，圓心在圓周角的內(nèi)部，圓心在圓周角的外部。但是，完全歸納法適用于那些研究對象的個體或其非空真子集是有限的情況，而對于那些是無窮無盡的情況，不可能一一枚舉。因此，完全歸納法在實際應(yīng)用中有很大的局限性。四、歸納與數(shù)學學習

作用和意義：整理由觀察、實驗得到的經(jīng)驗材料，是進一步進行比較、分析、抽象概括的基礎(chǔ)。歸納是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的一種方法，它從經(jīng)驗材料推斷普遍特性，所以，它有發(fā)現(xiàn)新知識和探索真理的作用。在學習中學數(shù)學中的一些概念、公式及定理時，歸納法更符合學生的認知特點，也符合人們從特殊到一般的認識規(guī)律。有些公式和定理，由于受學生知識結(jié)構(gòu)的限制，只能讓學生暫時接受其真實性，用歸納法給出而不加證明的。在解題過程中，歸納法也是探索發(fā)現(xiàn)解決問題的常用方法。四、歸納與數(shù)學學習

應(yīng)注意的問題：一方面要讓學生認識不完全歸納法既有一定的邏輯依據(jù)，又不具有充分的邏輯依據(jù)的特點，因此對歸納所得的結(jié)論必須證明才能信以為真另一方面要向?qū)W生說明，哪些結(jié)論是應(yīng)該證明，也可以證明，只是目前受知識結(jié)構(gòu)限制，暫時不能證明的。四、歸納與數(shù)學學習

如何對待歸納的或然性？歸納是冒風險的，對于歸納的或然性結(jié)論應(yīng)該采取什么科學態(tài)度？美籍匈牙利數(shù)學家波利亞提出：

（1）我們應(yīng)當隨時準備修正我們的任何一個信念；

（2）如果有一種理由非使我們改變信念不可，我們就應(yīng)當改變這一信念；

（3）如果沒有某種充分的理由，我們不應(yīng)當輕率地改變一個信念。

要做到這三點，需要有“理智上的勇氣”、“理智上的誠實”和“明智的克制”。因此，波利亞認為，這是科學家應(yīng)有的道德品質(zhì)。五、數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關(guān)命題的常用方法，操作步驟簡單、明確，關(guān)鍵有以下兩個步驟：（1）證明n=1（或n的第一個可取值不是1，而是其他正整數(shù)）時，命題是正確的。（2）假設(shè)n=k時命題成立，從而能推得n=k+1時命題也正確。我們可以回想一下小時候?qū)φ麛?shù)的認識過程。首先，父母教我們數(shù)1，后來數(shù)2，有2必有3，每一個正整數(shù)后面都有一個正整數(shù)，于是我們說會數(shù)數(shù)了。事實上，數(shù)學歸納法正是基于這樣一個簡單的道理。利用數(shù)學歸納法證明時，上述兩個步驟缺一不可。如果只有第一步而沒有第二步，則屬于不完全歸納法，做出的結(jié)論不一定真實；如果僅有第二步而無第一步，結(jié)論也不一定正確。

例：證明所有正整數(shù)都相等。證明：只要證明等式n=n+1(n為正整數(shù))成立就行。以下用數(shù)學歸納法證之：設(shè)第k個正整數(shù)等于第k+1個正整數(shù)，就是k=k+1兩邊同加上1，得k+1=k+2，這就是說，第k+1個正整數(shù)等于第k十2個正整數(shù)，原命題得證。這就是僅有第二步而無第一步造成的錯誤。試驗、歸納與數(shù)學歸納法

例在直角三角形ABC中，a，b為直角邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，比較an+bn與cn的大小。

試驗是歸納的基礎(chǔ)，歸納才是試驗本質(zhì)的“飛躍”。歸納正確與否經(jīng)數(shù)學歸納法證明可知，數(shù)學歸納法起保駕護航之功效。參考文獻1、楊啟賢.數(shù)學思想方法解讀.鄭州：河南大學出版社，20122、高存明.普通高中課程標準實驗教科書.人民教育出版社，