數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT(研究生)第

2§5.3雙因素方差分析

有交互作用的雙因素方差分析

無(wú)交互作用的雙因素方差分析一、無(wú)交互作用的雙因素方差分析1.數(shù)學(xué)模型因素因素

因素因素表5.3.1無(wú)交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)表

假設(shè)相互獨(dú)立，且則其中（隨機(jī)誤差項(xiàng)）獨(dú)立同分布，且——總平均值引入記號(hào)顯然則得到如下的線性模型

系統(tǒng)的分析因素和因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響大小，因此，在給定的水平下，提出如下的統(tǒng)計(jì)假設(shè)：對(duì)因素的檢驗(yàn)：

提出“因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不顯著”即檢驗(yàn)對(duì)因素的檢驗(yàn)：

提出“因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不顯著”即檢驗(yàn)方差分析的任務(wù)是：方差分析的思想

試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度的度量指標(biāo)，是否可以分解成由因素引起的部分，由因素引起的部分以及由隨機(jī)誤差項(xiàng)引起的部分；如果數(shù)據(jù)的波動(dòng)主要是由因素引起和由因素引起，則我們可以認(rèn)為因素與對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著性的影響，若數(shù)據(jù)的波動(dòng)主要是由隨機(jī)誤差引起的，則可以認(rèn)為因素與對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)沒(méi)有顯著性的影響。誤差平方和因素B的效應(yīng)平方和因素A的效應(yīng)平方和

總離差平方和的分解定理仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和可分解為：其中：反映因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。反映因素

B

對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。反映試驗(yàn)誤差對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。將的自由度分別記作

若假設(shè)成立，則：

可推得：，則對(duì)給定的檢驗(yàn)水平，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)拒絕H01，即A因素的影響有統(tǒng)計(jì)意義。拒絕H02，即B因素的影響有統(tǒng)計(jì)意義。表5.3.2雙因素（無(wú)交互作用）試驗(yàn)的方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方差F值P值因素A因素B誤差總和3）是的無(wú)偏估計(jì)量；2）是的無(wú)偏估計(jì)量；1）是的無(wú)偏估計(jì)量；注意

各因素離差平方和的自由度為水平數(shù)減一，總平方和的自由度為試驗(yàn)總次數(shù)減一。定理一

在無(wú)交互作用的雙因素方差分析模型中，有5）是的無(wú)偏估計(jì)量；4）是的無(wú)偏估計(jì)量；其中例5.3.1下面給出了在某5個(gè)不同地點(diǎn)，4個(gè)不同時(shí)間空氣中的顆粒狀物（以mg/m3計(jì)）

的含量的數(shù)據(jù)：

試在顯著性水平下檢驗(yàn)：在不同時(shí)間顆粒狀物含量的均值有無(wú)顯著性差異，在不同地點(diǎn)顆粒狀物含量的均值有無(wú)顯著性差異。因素B（地點(diǎn)）因素A(時(shí)間）2005年10月76678156513312006年1月82699659703762006年5月68596754422902008年8月63566458372782892513082272001275解表5.3.3數(shù)據(jù)表二.有交互作用的雙因素方差分析

在兩個(gè)因素的實(shí)驗(yàn)中，不但每一個(gè)因素單獨(dú)對(duì)試驗(yàn)起作用，往往兩個(gè)因素會(huì)聯(lián)合起來(lái)起作用。這種作用稱為兩個(gè)因素的交互作用。1.數(shù)學(xué)模型

設(shè)在某試驗(yàn)中，有兩個(gè)因素在變化，因素A有個(gè)不同的水平，因素B有個(gè)不同的水平：在水平組合下的試驗(yàn)結(jié)果用表示。我們假定相互獨(dú)立且有共有個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體。此外，還假定在每個(gè)水平組合下進(jìn)行了次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果用表示，我們把它看作從總體中抽取的容量為的樣本。表5.3.5有交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表有樣本的定義可知，從而

與之差可以看成一個(gè)隨機(jī)變量。令易知，相互獨(dú)立，并且。

于是，我們可以把表示為

對(duì)這個(gè)問(wèn)題首要的任務(wù)是檢驗(yàn)假設(shè)全相等

與單因素方差分析一樣，為今后討論方便，把作形式上的改變，記

稱為理論總均值，它表示所考慮的個(gè)總體的數(shù)學(xué)期望的總平均中稱為因素A的第個(gè)水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)；稱為因素B的第個(gè)水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)。易驗(yàn)證有記即

稱為交互效應(yīng)，式中是水平組合對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的總效應(yīng)或聯(lián)合效應(yīng)。在多因素試驗(yàn)中，通常把因素與因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的交互效應(yīng)設(shè)想為某一個(gè)新因素的效應(yīng)。這個(gè)新因素記為，稱它為與對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的交互作用。

因此可以改寫為

對(duì)于交互效應(yīng)，易驗(yàn)證滿足

我們得到（等重復(fù)試驗(yàn)）有交互作用的雙因素方差分析模型為

其中，都是未知參數(shù)。需要檢驗(yàn)如下假設(shè)：對(duì)因素A的檢驗(yàn)：

提出“因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不顯著”即檢驗(yàn)對(duì)因素B的檢驗(yàn)：

提出“因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不顯著”即檢驗(yàn)對(duì)因素的檢驗(yàn)：

提出“對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不顯著”即檢驗(yàn)2.統(tǒng)計(jì)分析記

定理二（平方和分解定理）在有交互作用的雙因素方差分析模型中，平方和有如下的恒等式其中，記其中稱為總偏差平方和，稱為誤差平方和，分別稱為因素A，因素B的（主效應(yīng)）偏差平方和，稱為交互作用的（交互效應(yīng)）偏差平方和。定理三

在有交互作用的雙因素方差分析模型中，有定理四

在有交互作用的雙因素方差分析模型中，有1）當(dāng)假設(shè)成立時(shí)，,而且與相互獨(dú)立，從而2）當(dāng)假設(shè)成立時(shí)，,而且與相互獨(dú)立，從而3）當(dāng)假設(shè)成立時(shí)，,而且與相互獨(dú)立，從而表5.3.6有交互效應(yīng)的雙因素方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方差F值P值因素A因素B誤差總和3）是的無(wú)偏估計(jì)量；4）是的無(wú)偏估計(jì)量；定理五

在有交互作用的雙因素方差分析模型中，有1）是的無(wú)偏估計(jì)量；2）是的無(wú)偏估計(jì)量；8）是的無(wú)偏估計(jì)量；7）是的無(wú)偏估計(jì)量；6）是的無(wú)偏估計(jì)量；其中，以上5）是的無(wú)偏估計(jì)量；

試給定顯著性水平，檢驗(yàn)燃料、推進(jìn)器以及它們之間的交互作用對(duì)火箭射程有無(wú)顯著影響。例5.3.2

一火箭是用了4種燃料（A），3種推進(jìn)器（B）作射程試驗(yàn)，每種燃料與每種推進(jìn)器的組合做兩次射程試驗(yàn)，得火箭射程（單位：海里）如表所示。解本節(jié)結(jié)束，謝謝！解按題意檢驗(yàn)假設(shè)，的值已算出在上表現(xiàn)在由平方和表達(dá)式得到得到方差分析表如下

故拒絕即認(rèn)為不同時(shí)間顆粒狀物含量的均值有顯著差異，也認(rèn)為不同地點(diǎn)顆粒狀物的含量的均值有顯著差異。由于

表5.3.4方差分析表方差分析平方和自由度均方差F值因素A1182.953394.3210.72因素B1947.504486.8813.24誤差441.301236.78總和3571.7519解需檢驗(yàn)假設(shè)計(jì)算如表，表中括號(hào)內(nèi)的數(shù)是，現(xiàn)在故有58.252.6(110.8)56.241.2(97.4)65.360.8(126.1)334.349.142.8(91.9)54.150.5(104.6)51.648.4(100)296.560.158.3(118.4)70.973.2(144.1)39.240.7(79.9)342.475.871.5(147.3)58.251.0(109.2)48.741.4(90.1)346.6468.4455.3396.11319.8表5.3.7數(shù)據(jù)表

由于，所以在顯著性水平