期望效用理論

第二章期望效用理論一、個體行為決策準(zhǔn)則（一）偏好關(guān)系(決策的前提是排序)

效用是一種純主觀的心理感受，因人因地因時而異。偏好是建立在消費(fèi)者可以觀察的選擇行為之上的。

偏好關(guān)系（preferencerelation)是指消費(fèi)者對不同商品或商品組合偏好的順序。它可以用一種兩維（或二元）關(guān)系（binaryrelation）表述出來。經(jīng)濟(jì)上，偏好關(guān)系是指參與者對所有可能的投資（消費(fèi)）計劃的一個排序。

1.偏好關(guān)系的表述令C為商品（或者消費(fèi)）集合，C中有A種可供選擇計劃方案。f是采取計劃a,消費(fèi)c的一個結(jié)果，或者得到的效用。我們可以在消費(fèi)集合上建立下面的偏好關(guān)系（preferencerelation）或者偏好順序（preferenceordering），滿足：

（1）

x弱偏好于y，x至少與y一樣好。（2）x強(qiáng)偏好于y；（3）無差異于x、y；即：和

例子:可以建立偏好關(guān)系(單課成績與總成績;某基金公司的多個基金的業(yè)績)與不可以建立偏好關(guān)系(多課程績).

2.偏好應(yīng)滿足的基本公理（Axiom）條件：（1）完備性（completeness）:

中有一種關(guān)系成立。完備性假定保證了消費(fèi)者具備選別判斷的能力。完備性的意義：任何兩個投資（消費(fèi)）計劃一定有一個是優(yōu)的，或者兩個是無差異的。它排除了投資計劃之間無法比較的可能性。（2）自返性（reflexivity）：，則有

自返性保證了消費(fèi)者對同一商品的選好具有明顯的一貫性。

（3）傳遞性：

傳遞性保證了消費(fèi)者在不同商品之間選擇的首尾一貫性。傳遞性也是偏好的一致性條件，如果兩個參與者的偏好違反了傳遞性，那么其行為因為缺乏一致性而違背理性。同理：

違背傳遞性的結(jié)果：一個投資者的偏好關(guān)系a，b，c,如果a>b，b>c,而c>a.可以作以下交易：以價格p賣給他c，用b與他交換c,由于對他來講b>c,他愿意額外支付一個價格q1;用a與他交換b,由于對他來講a>b,他愿意額外支付一個價格q2;用c與他交換a,由于對他來講c>a,他愿意額外支付一個價格q3;最后我們用價格p購回c,這樣又回到了原始狀態(tài)。但他付出了q1+q2+q3.如果他還堅持他的這種偏好，可以繼續(xù)不斷地與他進(jìn)行這種交易，直至他的財富為零。

傳遞性也是理性經(jīng)濟(jì)人的基本要求之一。

（4）連續(xù)性（continunity）對于任意的X、y，集合和是閉集，和是開集。即如果x是一組至少與y一樣好的消費(fèi)束，而且它趨近于另一消費(fèi)束z，則z與y至少同樣好。這樣就可以得到一條連續(xù)的無差異曲線。也即如果兩個計劃非常接近，那么他們的排序也應(yīng)該是非常接近的。

（4）單調(diào)性（monotonicity），

單調(diào)性說明增加一點商品至少與原來的情況同樣好。只要商品是有益的，單調(diào)性就必然成立。強(qiáng)單調(diào)性說明同樣的物品，如果其中有些種類的數(shù)量嚴(yán)格多于原來的物品，消費(fèi)者則必定嚴(yán)格偏好于他們。

且則（5）局部非飽和性（localnon-satiation）和，總存在使得在技術(shù)上，局部非飽和性和單調(diào)性保證了無差異曲線具有一個負(fù)（或正的）的斜率。

（6）凸性（convexity）嚴(yán)格凸性（strictlyconvexity）：

凸性可理解為邊際替代率遞減。注意：凸性是凹函數(shù)的特征：（二）確定性環(huán)境下的效用函數(shù)

1.基數(shù)效用與序數(shù)效用基數(shù)效用：19世紀(jì)的一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家如英國的杰文斯、奧地利的門格爾等認(rèn)為，人的福利或滿意可以用他從享用或消費(fèi)過程中所獲得的效用來度量。對滿意程度的這種度量叫做基數(shù)效用.

序數(shù)效用：20世紀(jì)意大利的經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托等發(fā)現(xiàn)，效用的基數(shù)性是多余的，消費(fèi)理論完全可以建立在序數(shù)效用的基礎(chǔ)上。所謂序數(shù)效用是以效用值的大小次序來建立滿意程度的高低，而效用值的大小本身并沒有任何意義.2.效用函數(shù)定義如果對于有和成立，則函數(shù)關(guān)系是一個代表了偏好關(guān)系的效用函數(shù)。

在確定的環(huán)境下，效用函數(shù)實現(xiàn)了序數(shù)關(guān)系與基數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)換。

定理1：

一個效用函數(shù)可以通過正單調(diào)變換而獲得另一個效用函數(shù)與原來的效用函數(shù)具有同樣的偏好關(guān)系：且

是單調(diào)遞增函數(shù)，則有：

定理2：如果消費(fèi)者在消費(fèi)集C上的偏好關(guān)系具有完備性、自返性，傳遞性和連續(xù)性，則存在一個能夠代表偏好順序的連續(xù)效用函數(shù)u:C→R。3、消費(fèi)者效用最大化問題

令則最大化問題為：

上述約束式為瓦爾拉斯（walrasianbudgetset）預(yù)算集，C為消費(fèi)數(shù)量，Q為消費(fèi)價格。

最優(yōu)解：

（三）不確定性環(huán)境下的行為選擇

1.關(guān)于風(fēng)險與不確定性奈特（Knight.F）《風(fēng)險、不確定性和利潤〉中關(guān)于確定性、風(fēng)險和不確定性的解釋：

確定性：是指自然狀態(tài)如何出現(xiàn)已知，并替換行動所產(chǎn)生的結(jié)果已知。它排除了任何隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。

風(fēng)險：是指那些涉及已知概率或可能性形式出現(xiàn)的隨機(jī)問題，但排除了未數(shù)量化的不確定性問題。即對于未來可能發(fā)生的所有事件，以及每一事件發(fā)生的概率有準(zhǔn)確的認(rèn)識。但對于哪一種事件會發(fā)生卻事先一無所知。

不確定性：是指發(fā)生結(jié)果未知的所有情形，也即那些決策的結(jié)果明顯地依賴于不能由決策者控制的事件，并且僅在做出決策后，決策者才知道其決策結(jié)果的一類問題。即知道未來世界的可能狀態(tài)（結(jié)果），但對于每一種狀態(tài)發(fā)生的概率不清楚。Knight不承認(rèn)“風(fēng)險=不確定性”，提出“風(fēng)險”是有概率分布的隨機(jī)性，而“不確定性”是不可能有概率分布的隨機(jī)性。Knight的觀點并未被普遍接受。但是這一觀點成為研究方法上的區(qū)別

由于對有些事件的客觀概率難以得到，人們在實際中常常根據(jù)主觀概率或者設(shè)定一個概率分布來推測未來的結(jié)果發(fā)生的可能性，因此學(xué)術(shù)界常常把具有主觀概率或設(shè)定概率分布的不同結(jié)果的事件和具有客觀概率的不同結(jié)果的事件同時視為風(fēng)險。即風(fēng)險與不確定性有區(qū)別，但在操作上，我們引入主觀概率或設(shè)定概率分布的概念，其二者的界線就模糊了，幾乎成為一個等同概念。風(fēng)險來源的不同看法（習(xí)慣）風(fēng)險與不確定性聯(lián)系在一起。風(fēng)險可以由其收益的不可預(yù)測性的波動性來定義，而不管收益波動采取什么樣的形式。風(fēng)險與其可能帶來的不利后果相聯(lián)系，風(fēng)險可以由收益波動的損失來定義。風(fēng)險是與不確定性和相應(yīng)的不利后果相聯(lián)系的，即以價格或收益的波動(為代表)衡量不確定性，在這種不確定性給投資者帶來損失時就構(gòu)成一項經(jīng)濟(jì)活動的風(fēng)險。在投機(jī)與賭博中的風(fēng)險風(fēng)險：承擔(dān)風(fēng)險一定要求風(fēng)險補(bǔ)償。投機(jī)：在獲取相應(yīng)報酬時承擔(dān)一定的風(fēng)險。賭博：是為一個不確定的結(jié)果打賭或下注。2.不確定性下的偏好選擇（1）不確定性下選擇的表述方法自然狀態(tài)：特定的會影響個體行為的所有外部環(huán)境因素。通常我們用S表示自然狀態(tài)的集合：S={1，…，S}。

自然狀態(tài)的特征：自然狀態(tài)集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一種狀態(tài)發(fā)生）

自然狀態(tài)的信念（belief）：個體會對每一種狀態(tài)的出現(xiàn)賦予一個主觀的判斷，即某一特定狀態(tài)s出現(xiàn)的概率P（s）滿足：

0≤p（s）≤1，這里的概率p（s）就是一個主觀概率，也成為個體對自然的信念。不同個體可能會對自然狀態(tài)持有不同的信念，但我們通常假定所有的個體的信念相同，這樣特定狀態(tài)出現(xiàn)的概率就是唯一的。

例子：兩種狀態(tài)與用概率（信念）刻畫的兩種狀態(tài)：①狀態(tài)依存結(jié)果的優(yōu)序選擇（狀態(tài)偏好方法）

用彼此排斥和詳盡無遺的自然狀態(tài)組成的集合，而不是用概率來反映個人所面臨的隨機(jī)性。假定：X:不確定環(huán)境下可選擇行為的集合;S:可能的狀態(tài)集合

C:可選擇行為的結(jié)果的集合行為xX和sS結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)果cC

函數(shù)把行為、狀態(tài)和結(jié)果對應(yīng)起來：

當(dāng)經(jīng)濟(jì)主體在可行的行為之間進(jìn)行選擇時，他們以被選行為產(chǎn)生的結(jié)果為基礎(chǔ)進(jìn)行選擇。但是行為對于決定特別的結(jié)果來說，常常是不充足的。其他因素會與選擇的行為相互作用產(chǎn)生一個特別的結(jié)果。這些其他因素，超越了經(jīng)濟(jì)行為人的控制，被稱為自然狀態(tài)（下不下雨，升降）。

大量的自然實狀態(tài)的存在使得目前所采取的任何行為的將來結(jié)果是不確定的。

在決定行為的過程中，主體對自然狀態(tài)是不確定的，這些狀態(tài)將共同確定被選行為的結(jié)果。選擇行為x就為每一自然狀態(tài)決定了一個結(jié)果c=，對X中行為的選取從而被視為對依賴狀態(tài)（或偶然狀態(tài)）結(jié)果的選取。

通過觀察函數(shù)f可以容易區(qū)分確定條件下和不確定條件下的決策。若c=

關(guān)于自然狀態(tài)是不變的，即自然狀態(tài)不會影響產(chǎn)生的結(jié)果，則可以認(rèn)為是確定條件下的決策。若不同的狀態(tài)導(dǎo)致不同的結(jié)果，則可以認(rèn)為是不確定條件下的決策。例子：風(fēng)險投資基金投資到一個企業(yè)，這個企業(yè)上市和不上市兩個狀態(tài)（不賦予信念），風(fēng)險基金的行為可以投資（股份比例不一樣）或不投資，對于風(fēng)險投資公司來說的投資結(jié)果。②行為結(jié)果的概率分布選擇(概率方法)既然在行為、現(xiàn)實的狀態(tài)和結(jié)果之間的關(guān)系通過函數(shù)來描述，

在S上定一個概率測度：對任意xX，存在一個C上的概率分布：

這個概率表述表明，在一個行為既定的情況下，特定結(jié)果出現(xiàn)的概率等于導(dǎo)致這個特定結(jié)果出現(xiàn)的可能性狀態(tài)的概率。由于某個特定行為結(jié)果發(fā)生的概率取決于經(jīng)濟(jì)主體選擇的行為，因此，我們可以等價地認(rèn)為，對于行為結(jié)果的選擇等同于對某個特定結(jié)果的概率分布的選擇。因此，不確定性條件下的行為選擇可以理解為行為主體在不同的概率分布中進(jìn)行選擇。這意味著，行為主體表現(xiàn)自己偏好關(guān)系的可行行為集合X必須具備如下性質(zhì)：

在這種情況下，我們可以用定義在C上的一個函數(shù)P（.）來表示行為x，其中，p（c）是使選擇x的結(jié)果等于c的概率，與狀態(tài)s和行為x有關(guān)。

因此，對于所有的結(jié)果c∈C，

p（c）≥0且

有了概率描述不確定性，就可以進(jìn)行理性決策了。上面例子：上市的概率60％，上市的概率40％，針對不同的投資行為，投資公司的投資計劃（結(jié)果）是可以確切計算：不確定條件下的選擇的兩種方式比較：第一種在依存狀態(tài)的結(jié)果之間進(jìn)行的選擇（定性決策，事后）第二種在不同結(jié)果的概率分布之間進(jìn)行的選擇（定量決策，事前）當(dāng)然，只是一種矛盾的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移的價值與選擇的工具所帶來的價值有關(guān)。（2）不確定性下的理性決策原則

A.數(shù)學(xué)期望最大化原則

數(shù)學(xué)期望收益最大化準(zhǔn)則是指使用不確定性下各種可能行為結(jié)果的預(yù)期值比較各種行動方案優(yōu)劣。這一準(zhǔn)則有其合理性，它可以對各種行為方案進(jìn)行準(zhǔn)確的優(yōu)劣比較，同時這一準(zhǔn)則還是收益最大準(zhǔn)則在不確定情形下的推廣。（收益最大準(zhǔn)則只有在確定環(huán)境才可以計算收益：）例1：固定利率的國債和存款；（4％，3.5％）例2：固定利率的國債和浮動利率的存款（4％，3％＋cpi，cpi是一個隨機(jī)變量，cpi升2％的概率60%，升1％的概率40％）。（2）不確定性下的理性決策原則

A.數(shù)學(xué)期望最大化原則問題：是否數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則是一最優(yōu)的不確定性下的行為決策準(zhǔn)則？

典型案例：圣彼德堡悖論（SaintPetersburyParadox）考慮一個投幣游戲，如果第一次出現(xiàn)正面的結(jié)果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得2元，前兩次反面，第三次正面得4元，……如果前n-1次都是反面，第n次出現(xiàn)正面得元。問：游戲的參加應(yīng)先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？

該游戲的數(shù)學(xué)期望值：但實驗的結(jié)果表明一般理性的投資者參加該游戲愿意支付的成本（門票）僅為2-3元。

圣彼德堡悖論：面對無窮的數(shù)學(xué)期望收益的賭博，為何人們只愿意支付有限的價格？

B.期望效用原則

DanielBernoulli

（1700-1782）是出生于瑞士名門著名數(shù)學(xué)家，1725-1733年期間一直在圣彼德堡科學(xué)院研究投幣游戲。其在1738年發(fā)表《對機(jī)遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險度量新理論”。指出人們在投資決策時不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來行動的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財富有關(guān)。窮人與富人對于財富增加的邊際效用是不一樣的。“錢的效用期望”即人們關(guān)心的是最終財富的效用，而不是財富的價值量，而且，財富增加所帶來的邊際效用（貨幣的邊際效用）是遞減的。

伯努利選擇的道德期望函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即對投幣游戲的期望值的計算應(yīng)為對其對數(shù)函數(shù)期望值的計算：

其中，為一個確定值。另外，Crammer（1728）采用冪函數(shù)的形式的效用函數(shù)對這一問題進(jìn)行了分析。假定：

則

因此，期望收益最大化準(zhǔn)則在不確定情形下可能導(dǎo)致不可接受的結(jié)果。而貝努力提出的用期望效用取代期望收益的方案，可能為我們的不確定情形下的投資選擇問題提供最終的解決方案。根據(jù)期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一樣好，可能更好；20%的損失也不一定與2倍的10%損失一樣糟，可能更糟，符合溫水煮青蛙原理。原因是對財富經(jīng)過一個效用函數(shù)變換，只有線性函數(shù)，才能保證可加性。另一方面，對于證券投資來講，只追求期望收益最大化的投資者絕不會選擇一個多元化的資產(chǎn)組合。如果一種證券具有最高的期望收益，這個投資者會把他的全部資金投資于這種證券。如果幾種證券具有相同的最大化期望收益，對這個投資者來說，投資于若干這些證券的組合或者只是其中的某一種證券是無差別的。由此可見，如果我們認(rèn)為多元化是投資的基本原則的話，我們必須否定僅僅最大化期望收益原則的目標(biāo)假定。C.后期望效用理論：由阿萊斯悖論等各種試驗引發(fā)的新的期望效用理論，如前景理論、遺憾理論、加權(quán)的期望效用理論、非線性的期望效用理論等等行為金融學(xué)和非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)對期望效用的新的解釋。

二、VNM期望效用函數(shù)

期望效用理論是不確定性選擇理論中最為重要的價值判斷標(biāo)準(zhǔn)。期望效用函數(shù)作為對不確定性條件下經(jīng)濟(jì)主體決策者偏好結(jié)構(gòu)的刻畫，具有廣泛的用途。（一）效用函數(shù)的表述和定義不確定性下的選擇問題是其效用最大化的決定不僅對自己行動的選擇，也取決于自然狀態(tài)本身的選擇或隨機(jī)變化。因此不確定下的選擇對象被人們稱為彩票（Lottery）或未定商品（contingentcommodity）

設(shè)想消費(fèi)者參加一次抽獎（lottery），所有可能產(chǎn)生的結(jié)果集為C，假定C的結(jié)果是有限的，我們用N=1，…，N來標(biāo)示這些結(jié)果，每一結(jié)果發(fā)生的概率為，這樣，我們可將該簡單抽獎（simplelottery）記為：期望效用表述（expectedutilityrepresenting）：對一件抽獎商品的期望效用表示為對抽獎結(jié)果的效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望:

其中，是VNM效用函數(shù)。

更一般地，我們可以表述為：

其中，是一個隨機(jī)變量。其含義為：一種未定商品的效用等于該未定商品所涉及的確定商品的效用的均值。例子：在不確定性下，某證券收益是隨機(jī)變量r，我們假設(shè)該證券的收益只有簡單的兩種狀態(tài)a和b,收益分別是ra和rb,每種狀態(tài)發(fā)生的概率都是50％，發(fā)生狀態(tài)a的投資者效用是U(ra),發(fā)生狀態(tài)b時的投資者獲得的效用是U(rb),由于每種狀態(tài)發(fā)生的機(jī)會都是一半，因此簡單的想法就是把每種狀態(tài)獲得的效用，以及它所發(fā)生的概率為權(quán)重，得到的平均值作為不確定性下的投資者效用，即：U(r)=50%*U(ra)+50%*U(rb)（二）期望效用函數(shù)的公理化陳述

1.阿基米德公理（ArchimedeanAxion）對于p,q,rC,p>q>r,則存在實數(shù)a,b(0,1)使得

ar+(1-a)p>q>bp+(1-b)r.第一個不等式的含義是不存在無限差的消費(fèi)計劃。再差的消費(fèi)計劃r，與好計劃p組合時，當(dāng)計劃r發(fā)生的概率足夠小時，r與p的組合就會好于中等計劃q。第二個不等式的含義是不存在無限好的消費(fèi)計劃。沒有哪一個消費(fèi)計劃p好到使得對任意滿足q>r的消費(fèi)計劃q,r，無論概率b多么小，組合bp+(1-b)r不會比q差。

2.獨立性公理或替代公理，IndependentorSubstituteAxiom）對于p,qC,p>q,意味著ap+(1-a)r>aq+(1-a)r,對任意rC,任意a(0,1)。含義:引入一個額外的不確定性的消費(fèi)計劃不會改變原有的偏好。也即消費(fèi)者對于一個給定事件中的消費(fèi)p、q的滿意程度并不依賴于如果另外事件發(fā)生時，消費(fèi)r將會是什么。例子：100萬投資到p,q；

70萬投資到p,q，30萬投資到r3.

獨立性公理是不確定性環(huán)境下決策理論的核心，它提供了把不確定性嵌入決策模型的基本結(jié)構(gòu)。通過該假設(shè)，消費(fèi)者將復(fù)雜的概率決策行為，分為相同和不同的兩個獨立部分，整個決策行為僅由其不同的部分來決定。

4、期望效用函數(shù)存在唯一性定理：定義在C上的偏好關(guān)系，若它滿足阿基米德公理與獨立性公理，則該偏好關(guān)系可以用vonNeumannandMorgensern期望效用函數(shù)表示，并且期望效用函數(shù)是唯一的。

5、期望效用準(zhǔn)則的矛盾反對期望效用準(zhǔn)則的最有趣和最相關(guān)的論證，通常包括這樣的特例：受試者經(jīng)過深思熟慮之后，反而會選擇不符合該準(zhǔn)則的行動方案。結(jié)論只能是，或者期望效用準(zhǔn)則不是理性行為，或者人們有一種非理性的天生偏好，即使是在他思考最多的時候。

58例1.投資者可以選擇以下3種彩票：彩票A贏得1000美元的機(jī)會是1/1000；彩票B贏得100美元的機(jī)會是1/100；彩票C是AB的組合，贏得1000的機(jī)會是1/2000，贏得100美元的機(jī)會是1/200。

你會選擇哪一種彩票？A,B,orC?選C的A

or

B?59要求受試者在方案A,B,C之間進(jìn)行選擇，他們經(jīng)常會表示出對C的明確偏好。但是，UC不可能比UA

和UB更大。對那些顯示偏好C的受試者，我們可以繼續(xù)提問，問他們在A和B之間是否更偏好A或者相反。爭論仍然存在。

60為具體起見，我們假定A偏好B。我們再來詢問他是否愿意要確定性的A或者要得到A或B的機(jī)會各半的方案。換言之，我們是直接選中A還是通過拋硬幣來決定選A或B?實驗證明，那些表示A偏好B的投資者一致認(rèn)為，他們愿意選擇A，而不是A或B的機(jī)會各半。

61不難發(fā)現(xiàn)，拋硬幣選擇A或B的結(jié)果的概率分布于彩票C的分布完全相同。因此我們可以將投資者的偏好概括如下：C偏好A；A偏好A或B各50%；但是A和B各50%又恰好與C一樣好。因此C明確偏好A,A明確偏好C—矛盾。

62例

2：阿萊斯悖論方案A：確定得到100萬美元；

方案B:得到500萬美元的概率是0.1

得到100萬美元的概率是0.89

得到0美元的概率是0.01選？（但A的期望效用<B的期望效用）63他發(fā)現(xiàn)，在A和B中，他的受試者偏好于A。于是，他進(jìn)一步要求受試著考慮一下情形：方案C：以0.11的概率得到100萬美元