桿系結構的有限元法

第四章桿系結構的有限元法章節(jié)目錄4.1概述4.2拉壓直桿的有限元分析4.3梁的有限元分析4.4剛架的有限元分析4.1概述4.1.1桿系結構定義由有限根桿件在它們的端點處相互連接而成的結構分類平面桿系：各桿軸線和外力作用線在一個平面內空間桿系：各桿軸線和外力作用線不在一個平面內工程中常見類型拉壓直桿，桁架（平面和空間），梁（簡支懸臂梁等），剛架（平面和空間）4.1概述4.1.2桿系單元定義桿系結構中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點稱為節(jié)點。桿系單元為一維單元。結構離散一般原則：桿系的交叉點、邊界點、集中力作用點、桿件截面尺寸突變處等都應該設置節(jié)點，節(jié)點之間的桿件即構成單元。F節(jié)點1節(jié)點2單元①節(jié)點3節(jié)點2單元②4.1概述4.1.2桿系單元分類桁架單元：桁架中的桿件剛架單元：剛架中的桿件區(qū)別：桁架節(jié)點：鉸節(jié)點傳遞力！剛架節(jié)點：剛節(jié)點

傳遞力和力矩！4.1概述4.1.3桿系單元的有限元分析與平面問題和空間問題比較，基本流程完全相同；具體計算細節(jié)需要按照桿系單元的特性來進行。4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.1拉壓直桿（單元描述）幾何形狀：等截面A,長度為l載荷q：沿軸線分布節(jié)點：2個局部坐標系：沿軸線定義的一維坐標系ox因此，節(jié)點坐標

在x軸的坐標：xi,xj節(jié)點位移（自由度）

沿x軸的位移：ui

,uj單元節(jié)點位移列陣ijlxuiuj4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.2位移模式單元位移模式的推導位移模式形函數(shù)ijlxuiuj4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.3應變應變分量

拉壓直桿只有軸向應變：幾何方程的推導4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.4應力應力分量

拉壓直桿只有軸向應力：物理方程的推導4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.5單元剛度矩陣4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.5單元節(jié)點等效載荷（軸向載荷）集中力根據(jù)離散的要求，集中力直接施加在所處節(jié)點上體力軸向分布載荷q(x)推導依據(jù)：

面力按照集中載荷施加在面所在的節(jié)點上4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析整體分析400mm300mmXY20kN25kN①②③④1234ij4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析：在局部坐標系下建立單元平衡方程整體分析：在整體坐標系下組裝整體平衡方程因此，組裝過程中需要兩個坐標系之間的轉換：整體坐標系:OXY局部坐標系:OxyxyXYOα4.2.6平面桁架的有限元分析整體坐標系OXY：節(jié)點位移為Ui

,Vi(i,j)局部坐標系

Oxy：節(jié)點位移為ui

,uj

則有：4.2拉壓直桿的有限元分析ijxyXYOαUjVjUiViujui從整體坐標到局部坐標的坐標變換矩陣[T]4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析推導：注意：局部坐標系下的應力和應變4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析因此，單元剛度矩陣在局部坐標系和整體坐標系下的變換式：4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析在整體坐標系下的單元剛度矩陣為：4.3梁的有限元分析4.3.1純彎梁單元(單元描述)幾何形狀：長度l，橫截面為A。材料屬性：彈性模量E，橫截面的慣性矩為I。節(jié)點：i,j共2個局部坐標系：oxy物理量：撓度v，剪力Q，彎矩M，梁的轉角θ4.3梁的有限元分析材料力學基礎知識4.3梁的有限元分析4.3.1純彎梁單元(單元描述)節(jié)點坐標值：xi=0,xj=l節(jié)點位移值：撓度vi和轉角θi節(jié)點力：彎距Mi和剪力Qi因此，單元位移列陣：單元載荷列陣：4.3梁的有限元分析4.3.2

位移模式

代入單元兩個節(jié)點的坐標和位移條件，即可求解四個待定常數(shù)a1～a4：（）廣義坐標法建立形函數(shù)（兩個節(jié)點，四個自由度）4.3梁的有限元分析4.3.3應變4.3梁的有限元分析4.3.4應力4.3.5單元剛度矩陣單元平衡方程：34.3梁的有限元分析4.3.6等效節(jié)點載荷若存在集中力或者集中力矩，將作用點取為節(jié)點若存在分布載荷，按照虛功等效的原則進行計算適用情況：截面高度小于長度的1/5的桿系結構。原因：單元的位移模式，決定了沒有考慮剪切撓度。4.4剛架的有限元分析4.4.1平面剛架相互獨立的兩種變形形式軸向拉壓面內彎曲因此：剛架單元＝桿單元＋梁單元局部坐標系:oxyz任一節(jié)點有三個自由度：軸向拉伸、橫向位移、繞z軸的轉角4.4剛架的有限元分析4.4.1平面剛架兩個坐標系：局部坐標系整體坐標系4.4.2平面剛架單元（單元描述：局部坐標系下）節(jié)點位移軸向位移橫向位移繞z軸的轉角節(jié)點載荷軸向力剪力彎矩4.4剛架的有限元分析剛架的有限元分析因此，局部坐標系下：單元節(jié)點位移列陣：單元節(jié)點載荷列陣：4.4.2平面剛架單元（單元描述：局部坐標系下）4.4剛架的有限元分析4.4.3單元剛度矩陣(局部坐標系下)3單元分析：局部坐標系整體分析：整體坐標系因此，需要進行坐標轉換。4.4剛架的有限元分析4.4.4坐標變換（推導過程省略）

-坐標變換矩陣-節(jié)點力

-單元剛度矩陣4.4剛架的有限元分析等效結點載荷

單元上的非結點載荷向結點移置時應遵循的靜力等效原則，而靜力等效移置的結果是唯一的，載荷移置后的結構與載荷移置前相比，所有結點位移無變化，且除進行過載荷移置的單元外，其他單元的內力分布不受影響．本講雖然沒有構造形函數(shù)設定位移模式，不便于依前述靜力等效的定義進行非結點載荷的移置，仍可以根據(jù)上述等效移置應獲得的效果方便地構造出等效結點載荷。

圖(a)所示平面剛架，第3單元作用有非結點載荷，該單元相應的桿端力和桿端力矩如圖3(b)所示，為V1、V2與M1、M2．構造圖3(c)所示的兩種受力狀態(tài)，這兩種狀態(tài)的組合顯然構成原結構的受力狀態(tài)，其中Ⅱ狀態(tài)的位移與內力同原結構對比，結點位移一致，其他單元內力一致，所以Ⅱ狀態(tài)的結點載荷就是所要求的等效結點載荷。上述分析雖然在平面剛架中進行，對空間剛架也是同樣適用的．求等效結點載荷的具體方法歸結為：按結構力學位移法解題思想求出該單元的固端力與固端力矩(參考結構力學相關內容)，將這些固端力與固端力矩反方向作用于結構的對應結點，即該單元非結點載荷的等效結點載荷。例、平面框架結構的有限元分析

如圖所示的框架結構,其頂端受均布力作用,用有限元方法分析該結構的位移。結構中各個截面的參數(shù)都為:E=3.0X1011Pa,I=6.5×10-7m4,A=6.8×10-4m2。1離散化：均布外載的等效計算公式：2求單元剛度陣

單元1的局部坐標與整體坐標一致，其他單元的剛度陣要進行坐標變換之后，在進行整體剛度陣的組裝。3建立整體剛度矩陣4邊界條件計算結果：4.4剛架的有限元分析4.4.5空間剛架結構分析辦法：將平面剛架結構擴充到空間剛架結構。節(jié)點位移（自由度）：6個（3個平動位移和3個旋轉位移）第四章桿系結構的有限元法學習要求：掌握拉壓直桿單元和梁單元的單元特性，了解剛架單元的單元特性；掌握拉壓直桿單元和梁單元的單元分析方法，了解剛架單元的單元剛度矩陣的構成；掌握平面桿系結構的有限元分析中局部坐標系和整體坐標