板殼問題的有限元法(學時)

第五章板殼問題的有限元法章節(jié)內(nèi)容：5.1薄板彎曲的基本理論5.2薄板單元：矩形單元和三角形單元5.3薄殼有限元分析的簡介5.1薄板彎曲的基本理論5.1.1薄板（thinplate）工程實際中，存在大量的板殼構(gòu)件（plateandshell）幾何特點：厚度遠遠小于其它兩個方向的尺寸。薄板：t/b<1/15中面：平分板厚度的平面坐標系oxyz

：xy軸在中面上，z軸垂直于中面載荷作用于中面內(nèi)的載荷：平面應力問題垂直于中面的載荷：板彎曲xyzbto5.1薄板彎曲的基本理論5.1.1小撓度薄板彎曲理論(smalldeflectiontheoryofthinplate)克西荷夫假設（Kirchhoff）：假設薄板中面的法線在變形后仍為直法線。厚度方向的位移沿板厚是不變的：即厚度方向的點的位移相同或者與在厚度方向的位置無關(guān)。應力引起的形變很小，在計算變形時可以忽略。5.1薄板彎曲的基本理論5.1.2位移位移分量：薄板中面的撓度

w

根據(jù)撓度，可以計算：在x和y軸方向上的位移分量和繞x和y軸方向的轉(zhuǎn)角。

xyzbto5.1薄板彎曲的基本理論5.1.3應變及幾何方程根據(jù)基本假設，薄板彎曲問題選用3個基本應變分量：

幾何方程分量分別為中面的曲率和扭曲率{1/ρ}5.1薄板彎曲的基本理論5.1.4應力及物理方程根據(jù)基本假設，薄板彎曲問題選用3個基本應力分量：根據(jù)廣義虎克定律，可以得到應力和應變之間的關(guān)系式：彈性矩陣[Dp]5.1薄板彎曲的基本理論5.1.4應力及物理方程

根據(jù)基本假設，薄板彎曲問題選用3個基本應力分量：根據(jù)廣義虎克定律，可以得到應力和應變之間的關(guān)系式：物理方程5.1薄板彎曲的基本理論5.1.4應力及物理方程

根據(jù)基本假設，薄板彎曲問題選用3個基本應力分量：根據(jù)廣義虎克定律，可以得到應力和應變之間的關(guān)系式：物理方程5.1薄板彎曲的基本理論5.1.5平衡方程

應力在板的側(cè)面形成力矩：正應力形成彎距：MxMy切應力形成扭矩：Mxyσxτxyσyτxyτxyτxyσxσy微小六面體上的應力分布各力矩的作用圖5.1.5平衡方程t為薄板的厚度D為薄板彎曲的彈性系數(shù)矩陣5.1薄板彎曲的基本理論5.1.5平衡方程

應力和內(nèi)力矩之間的關(guān)系式：可以看出，應力沿厚度方向線性分布，最大值出現(xiàn)在薄板的上下表面處（z=±t/2）5.1薄板彎曲的基本理論5.1.6虛功方程

5.2薄板矩形單元5.2.1薄板矩形單元（單元描述）薄板彎曲只研究中面的變形，因此：

單元面的任意一點=長度為板厚的法線段幾何形狀：2a×2b節(jié)點：4個節(jié)點編號：逆時針局部坐標系：直角坐標系oxyz因此，節(jié)點位移撓度：w兩個轉(zhuǎn)角：單元節(jié)點位移列陣xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形單元5.2.1位移模式單元具有12個自由度1個獨立位移分量：撓度w多項式構(gòu)造方法常數(shù)項：1一次項：xy二次項：x2

xyy2三次項：x3x2yxy2y3四次項：x3yxy3x4y4x2y25.2薄板矩形單元5.2.1位移模式該位移模式是否滿足三個條件？反映單元的剛體位移

答：剛體位移是指撓度和轉(zhuǎn)角為常數(shù)。因此常數(shù)項和2個一次項反映了單元的剛體位移。反映單元的常應變

答：應變?yōu)閾隙鹊亩纹珜?shù)。因此3個二次項反映了單元的常應變。位移函數(shù)保證單元內(nèi)部及相鄰單元之間位移的連續(xù)性

答：（1）沿x軸和y軸的方向撓度函數(shù)都是三次多項式，因此能夠保證單元內(nèi)部及相鄰單元之間撓度的連續(xù)性。（2）θx和θy在單元邊界上沿x軸和y軸方向的多項式次數(shù)不同，因此，很難保證相鄰單元在公共邊界上轉(zhuǎn)角的連續(xù)性。因此，為部分協(xié)調(diào)單元（非協(xié)調(diào)單元）。5.2薄板矩形單元5.2.1位移模式xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形單元5.2.2單元應變及內(nèi)力xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi第五章板殼問題有限單元法5.2.2單元應變及內(nèi)力單元幾何方程：5.2薄板矩形單元5.2.3單元剛度方程5.2薄板矩形單元5.2.4單元等效節(jié)點載荷單元等效節(jié)點載荷列陣幾種載荷情況：橫向集中力或者力矩—集中力點取做節(jié)點；法向集中力（需要按照等效原則移置到節(jié)點上）分布橫向載荷5.2薄板矩形單元5.2.5整體分析5.2.6邊界條件自由：無需添加約束；簡支：（指板的支座處只能傳遞水平和垂直兩個方向的力。如鋼筋混凝土板搭在磚墻上或搭在不是同時澆筑的混凝土梁上；或鋼結(jié)構(gòu)板用螺栓與支座相連，都屬于簡支板。）撓度為0，切向轉(zhuǎn)角為0.固支（指板的支座處不僅能傳遞水平和垂直兩個方向的力，還能傳遞彎矩，如鋼筋混凝土板與下面的梁同時現(xiàn)澆，并有板中的鋼筋伸入梁中；或是鋼結(jié)構(gòu)板用焊接的方法與支座相連，焊接部位的剛度大于板的剛度，這樣的板就是固支板）撓度為0，切向轉(zhuǎn)角為0，法向轉(zhuǎn)角也為0。xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.3薄板三角形單元特點（與矩形單元相比）：計算精度略低具有更高的適應性和靈活性，可以較好的模擬邊界形狀較復雜的板。ijmOxy5.3薄板三角形單元位移模式ijmOxy5.3薄板三角形單元位移模式9個自由度插值方法多項式插值常數(shù)項：1一次項：xy二次項：x2

xyy2三次項：x3x2yxy2y3面積坐標插值常數(shù)項：LiLj

Lm二次項：LiLj

LjLmLmLi

三次項：Lj

Lm2-LmLj2LmLi2-LiLm2LiLj2-LjLi2ijmOxy5.4板彎曲有限元法的進一步討論薄板矩形單元和三角形單元的使用局限性：都屬于非協(xié)調(diào)單元（部分協(xié)調(diào)單元）不適用于厚板不容易適應復雜邊界改進方法：建立協(xié)調(diào)元，將撓度、轉(zhuǎn)角和扭曲率作為節(jié)點位移參數(shù)；放棄直法線假設，將節(jié)點位移和轉(zhuǎn)角都作為獨立的變量；采用參數(shù)單元，類似于平面問題，將平面應力狀態(tài)和彎曲狀態(tài)疊加，構(gòu)建一六自由度的薄板單元與六自由度的梁單元組合，形成常見的板梁組合結(jié)構(gòu)。（見下節(jié)）5.5薄殼有限元分析薄殼薄殼：厚度比其它尺寸（長度、曲率半徑等）小很多的殼體。中曲面：由殼體厚度中點構(gòu)成的曲面。薄殼中曲面的變形彎曲變形：橫截面上的正應力和平行于中曲面的切應力合成彎矩和扭矩伸縮變形：中曲面內(nèi)的正應力和切應力合成中面內(nèi)力或膜力在小變形情況下，面內(nèi)變形和彎曲變形互不相關(guān)。薄殼單元的應力問題=平面應力問題＋彎曲應力問題5.5薄殼有限元分析薄殼單元：矩形平面殼體單元：柱面三角形平面殼體單元：任意形狀和邊界的薄殼坐標系局部坐標系：單元分析整體坐標系：整體分析5.5薄殼有限元分析5.5.1矩形殼元

單元足夠小時，可以用平板單元拼成的折板近似代替光滑殼結(jié)構(gòu)。局部坐標系位移向量面內(nèi)變形：2個位移u,v彎曲變形：3個分量（1個撓度w和2個轉(zhuǎn)角θx,θy）附加位移分量：θz5.5薄殼有限元分析單元剛度矩陣其中5.5薄殼有限元分析局部坐標系局部坐標系與整體坐標系的關(guān)系局部坐標系對整體坐標系的方向余弦矩陣（從整體坐標到局部坐標）5.5薄殼有限元分析坐標變換矩陣5.5薄殼有限元分析單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換矩陣：5.5薄殼有限元分析等效節(jié)點載荷：先在局部坐標系下求解；轉(zhuǎn)換到整體坐標系下節(jié)點位移和內(nèi)力的計算：求解在整體坐標系下的位移然后變換到節(jié)點的局部坐標系下求解單元節(jié)點位移再根據(jù)局部坐標系下的應力公式求解應力基于求解的應力再求解彎矩和扭矩。5.5薄殼有限元分析