板殼問題的有限元法(學(xué)時(shí))

第五章板殼問題的有限元法章節(jié)內(nèi)容：5.1薄板彎曲的基本理論5.2薄板單元：矩形單元和三角形單元5.3薄殼有限元分析的簡介5.1薄板彎曲的基本理論5.1.1薄板（thinplate）工程實(shí)際中，存在大量的板殼構(gòu)件（plateandshell）幾何特點(diǎn)：厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向的尺寸。薄板：t/b<1/15中面：平分板厚度的平面坐標(biāo)系oxyz

：xy軸在中面上，z軸垂直于中面載荷作用于中面內(nèi)的載荷：平面應(yīng)力問題垂直于中面的載荷：板彎曲xyzbto5.1薄板彎曲的基本理論5.1.1小撓度薄板彎曲理論(smalldeflectiontheoryofthinplate)克西荷夫假設(shè)（Kirchhoff）：假設(shè)薄板中面的法線在變形后仍為直法線。厚度方向的位移沿板厚是不變的：即厚度方向的點(diǎn)的位移相同或者與在厚度方向的位置無關(guān)。應(yīng)力引起的形變很小，在計(jì)算變形時(shí)可以忽略。5.1薄板彎曲的基本理論5.1.2位移位移分量：薄板中面的撓度

w

根據(jù)撓度，可以計(jì)算：在x和y軸方向上的位移分量和繞x和y軸方向的轉(zhuǎn)角。

xyzbto5.1薄板彎曲的基本理論5.1.3應(yīng)變及幾何方程根據(jù)基本假設(shè)，薄板彎曲問題選用3個(gè)基本應(yīng)變分量：

幾何方程分量分別為中面的曲率和扭曲率{1/ρ}5.1薄板彎曲的基本理論5.1.4應(yīng)力及物理方程根據(jù)基本假設(shè)，薄板彎曲問題選用3個(gè)基本應(yīng)力分量：根據(jù)廣義虎克定律，可以得到應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系式：彈性矩陣[Dp]5.1薄板彎曲的基本理論5.1.4應(yīng)力及物理方程

根據(jù)基本假設(shè)，薄板彎曲問題選用3個(gè)基本應(yīng)力分量：根據(jù)廣義虎克定律，可以得到應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系式：物理方程5.1薄板彎曲的基本理論5.1.4應(yīng)力及物理方程

根據(jù)基本假設(shè)，薄板彎曲問題選用3個(gè)基本應(yīng)力分量：根據(jù)廣義虎克定律，可以得到應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系式：物理方程5.1薄板彎曲的基本理論5.1.5平衡方程

應(yīng)力在板的側(cè)面形成力矩：正應(yīng)力形成彎距：MxMy切應(yīng)力形成扭矩：Mxyσxτxyσyτxyτxyτxyσxσy微小六面體上的應(yīng)力分布各力矩的作用圖5.1.5平衡方程t為薄板的厚度D為薄板彎曲的彈性系數(shù)矩陣5.1薄板彎曲的基本理論5.1.5平衡方程

應(yīng)力和內(nèi)力矩之間的關(guān)系式：可以看出，應(yīng)力沿厚度方向線性分布，最大值出現(xiàn)在薄板的上下表面處（z=±t/2）5.1薄板彎曲的基本理論5.1.6虛功方程

5.2薄板矩形單元5.2.1薄板矩形單元（單元描述）薄板彎曲只研究中面的變形，因此：

單元面的任意一點(diǎn)=長度為板厚的法線段幾何形狀：2a×2b節(jié)點(diǎn)：4個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)：逆時(shí)針局部坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系oxyz因此，節(jié)點(diǎn)位移撓度：w兩個(gè)轉(zhuǎn)角：單元節(jié)點(diǎn)位移列陣xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形單元5.2.1位移模式單元具有12個(gè)自由度1個(gè)獨(dú)立位移分量：撓度w多項(xiàng)式構(gòu)造方法常數(shù)項(xiàng)：1一次項(xiàng)：xy二次項(xiàng)：x2

xyy2三次項(xiàng)：x3x2yxy2y3四次項(xiàng)：x3yxy3x4y4x2y25.2薄板矩形單元5.2.1位移模式該位移模式是否滿足三個(gè)條件？反映單元的剛體位移

答：剛體位移是指撓度和轉(zhuǎn)角為常數(shù)。因此常數(shù)項(xiàng)和2個(gè)一次項(xiàng)反映了單元的剛體位移。反映單元的常應(yīng)變

答：應(yīng)變?yōu)閾隙鹊亩纹珜?dǎo)數(shù)。因此3個(gè)二次項(xiàng)反映了單元的常應(yīng)變。位移函數(shù)保證單元內(nèi)部及相鄰單元之間位移的連續(xù)性

答：（1）沿x軸和y軸的方向撓度函數(shù)都是三次多項(xiàng)式，因此能夠保證單元內(nèi)部及相鄰單元之間撓度的連續(xù)性。（2）θx和θy在單元邊界上沿x軸和y軸方向的多項(xiàng)式次數(shù)不同，因此，很難保證相鄰單元在公共邊界上轉(zhuǎn)角的連續(xù)性。因此，為部分協(xié)調(diào)單元（非協(xié)調(diào)單元）。5.2薄板矩形單元5.2.1位移模式xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形單元5.2.2單元應(yīng)變及內(nèi)力xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi第五章板殼問題有限單元法5.2.2單元應(yīng)變及內(nèi)力單元幾何方程：5.2薄板矩形單元5.2.3單元?jiǎng)偠确匠?.2薄板矩形單元5.2.4單元等效節(jié)點(diǎn)載荷單元等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣幾種載荷情況：橫向集中力或者力矩—集中力點(diǎn)取做節(jié)點(diǎn)；法向集中力（需要按照等效原則移置到節(jié)點(diǎn)上）分布橫向載荷5.2薄板矩形單元5.2.5整體分析5.2.6邊界條件自由：無需添加約束；簡支：（指板的支座處只能傳遞水平和垂直兩個(gè)方向的力。如鋼筋混凝土板搭在磚墻上或搭在不是同時(shí)澆筑的混凝土梁上；或鋼結(jié)構(gòu)板用螺栓與支座相連，都屬于簡支板。）撓度為0，切向轉(zhuǎn)角為0.固支（指板的支座處不僅能傳遞水平和垂直兩個(gè)方向的力，還能傳遞彎矩，如鋼筋混凝土板與下面的梁同時(shí)現(xiàn)澆，并有板中的鋼筋伸入梁中；或是鋼結(jié)構(gòu)板用焊接的方法與支座相連，焊接部位的剛度大于板的剛度，這樣的板就是固支板）撓度為0，切向轉(zhuǎn)角為0，法向轉(zhuǎn)角也為0。xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.3薄板三角形單元特點(diǎn)（與矩形單元相比）：計(jì)算精度略低具有更高的適應(yīng)性和靈活性，可以較好的模擬邊界形狀較復(fù)雜的板。ijmOxy5.3薄板三角形單元位移模式ijmOxy5.3薄板三角形單元位移模式9個(gè)自由度插值方法多項(xiàng)式插值常數(shù)項(xiàng)：1一次項(xiàng)：xy二次項(xiàng)：x2

xyy2三次項(xiàng)：x3x2yxy2y3面積坐標(biāo)插值常數(shù)項(xiàng)：LiLj

Lm二次項(xiàng)：LiLj

LjLmLmLi

三次項(xiàng)：Lj

Lm2-LmLj2LmLi2-LiLm2LiLj2-LjLi2ijmOxy5.4板彎曲有限元法的進(jìn)一步討論薄板矩形單元和三角形單元的使用局限性：都屬于非協(xié)調(diào)單元（部分協(xié)調(diào)單元）不適用于厚板不容易適應(yīng)復(fù)雜邊界改進(jìn)方法：建立協(xié)調(diào)元，將撓度、轉(zhuǎn)角和扭曲率作為節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)；放棄直法線假設(shè)，將節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角都作為獨(dú)立的變量；采用參數(shù)單元，類似于平面問題，將平面應(yīng)力狀態(tài)和彎曲狀態(tài)疊加，構(gòu)建一六自由度的薄板單元與六自由度的梁單元組合，形成常見的板梁組合結(jié)構(gòu)。（見下節(jié)）5.5薄殼有限元分析薄殼薄殼：厚度比其它尺寸（長度、曲率半徑等）小很多的殼體。中曲面：由殼體厚度中點(diǎn)構(gòu)成的曲面。薄殼中曲面的變形彎曲變形：橫截面上的正應(yīng)力和平行于中曲面的切應(yīng)力合成彎矩和扭矩伸縮變形：中曲面內(nèi)的正應(yīng)力和切應(yīng)力合成中面內(nèi)力或膜力在小變形情況下，面內(nèi)變形和彎曲變形互不相關(guān)。薄殼單元的應(yīng)力問題=平面應(yīng)力問題＋彎曲應(yīng)力問題5.5薄殼有限元分析薄殼單元：矩形平面殼體單元：柱面三角形平面殼體單元：任意形狀和邊界的薄殼坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系：單元分析整體坐標(biāo)系：整體分析5.5薄殼有限元分析5.5.1矩形殼元

單元足夠小時(shí)，可以用平板單元拼成的折板近似代替光滑殼結(jié)構(gòu)。局部坐標(biāo)系位移向量面內(nèi)變形：2個(gè)位移u,v彎曲變形：3個(gè)分量（1個(gè)撓度w和2個(gè)轉(zhuǎn)角θx,θy）附加位移分量：θz5.5薄殼有限元分析單元?jiǎng)偠染仃嚻渲?.5薄殼有限元分析局部坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系的關(guān)系局部坐標(biāo)系對(duì)整體坐標(biāo)系的方向余弦矩陣（從整體坐標(biāo)到局部坐標(biāo)）5.5薄殼有限元分析坐標(biāo)變換矩陣5.5薄殼有限元分析單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換矩陣：5.5薄殼有限元分析等效節(jié)點(diǎn)載荷：先在局部坐標(biāo)系下求解；轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移和內(nèi)力的計(jì)算：求解在整體坐標(biāo)系下的位移然后變換到節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)系下求解單元節(jié)點(diǎn)位移再根據(jù)局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力公式求解應(yīng)力基于求解的應(yīng)力再求解彎矩和扭矩。5.5薄殼有限元分析