誤差理論及數(shù)據(jù)處理

測(cè)量誤差基礎(chǔ)知識(shí)2

誤差分析與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

不僅在科學(xué)研究領(lǐng)域，測(cè)量在國(guó)民經(jīng)濟(jì)、國(guó)防建設(shè)和社會(huì)生活中，特別是在司法、商業(yè)貿(mào)易、維護(hù)權(quán)益、保護(hù)資源環(huán)境、醫(yī)療衛(wèi)生等諸方面起著越來(lái)越大的作用。它對(duì)科研、生產(chǎn)、商貿(mào)和國(guó)際技術(shù)交流等諸多相關(guān)領(lǐng)域影響很大。

為了能選擇適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法以使測(cè)量結(jié)果有預(yù)期的可靠性和分析測(cè)量結(jié)果的可靠程度，都必須對(duì)誤差進(jìn)行分析。因此必須具有誤差理論的知識(shí)；為了把得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)的歸納整理，從而得出表征被測(cè)量之間的函數(shù)關(guān)系還必須掌握數(shù)據(jù)處理的技術(shù)。

當(dāng)測(cè)量誤差超過一定的限度，測(cè)量工作和結(jié)果不但毫無(wú)意義甚至帶來(lái)極大危害。

例1，射程8000公里的洲際導(dǎo)彈，如果航向誤差0.03度，偏離目標(biāo)可達(dá)5－8公里；

例2，礦井中瓦斯?jié)舛缺O(jiān)測(cè)問題4－16％的瓦斯?jié)舛葧?huì)引起爆炸，爆炸最猛烈的為9％；規(guī)定達(dá)到1％時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)報(bào)警，不允許作業(yè)。

例3，醫(yī)學(xué)介入法治療中的顯示、定位、手術(shù)。

手術(shù)戒毒―除毒癮記憶的開顱手術(shù)

給病人播放吸毒者注射毒品的錄像，觀測(cè)病人的腦磁圖，局部異常興奮點(diǎn)閃爍，準(zhǔn)確測(cè)量興奮點(diǎn)的位置，在坐標(biāo)系上（把興奮點(diǎn)）定位。用定位儀把要打擊的“靶點(diǎn)”置于虛擬的球心。開顱（直徑1厘米的小孔），順著定位儀的垂直管道插入射頻電針，相距6毫米平行進(jìn)入大腦，發(fā)射射頻電波使“靶點(diǎn)”周圍的離子高速往來(lái)摩擦生熱達(dá)720C，殺死神經(jīng)元，形成8毫米高的橢圓形死海。切斷毒癮記憶。

美國(guó)的腦磁圖定位系統(tǒng)、荷蘭的核磁共振、瑞典的立體定向手術(shù)系統(tǒng)、德國(guó)的手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)；為控制誤差，將腦磁圖、核磁共振、CT機(jī)三項(xiàng)檢查的腦部圖象在電腦上疊加、核對(duì)，手術(shù)誤差要求不超過0.1毫米，否則會(huì)造成癡呆或瘋癲。

問題：試用你親身經(jīng)歷的事例說(shuō)明誤差理論的重要性。

測(cè)量誤差

基本概念

真值－待確定量客觀存在的真實(shí)值。

由理論給出或計(jì)量學(xué)作出規(guī)定的如：三角形內(nèi)角之和為1800；第13屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)規(guī)定，銫原子Cs133在兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)間躍遷所對(duì)應(yīng)輻射的192,631,770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1秒。這些都是真值。

實(shí)驗(yàn)值－測(cè)量值

10測(cè)量誤差的來(lái)源1、儀器精度的局限性2、觀測(cè)者感官的局限性3、外界環(huán)境的影響一.產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因一.產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因產(chǎn)生測(cè)量誤差的三大因素：儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因

判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗(yàn),等。外界影響

氣象因素(溫度變化,風(fēng),大氣折光)

結(jié)論：觀測(cè)誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測(cè)條件:

上述三大因素總稱為觀測(cè)條件等精度觀測(cè):在上述條件基本相同的情況下進(jìn)行的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)。二、測(cè)量誤差的分類與對(duì)策（一）分類系統(tǒng)誤差——在相同的觀測(cè)條件下，誤差出現(xiàn)在符號(hào)和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。舉例：砝碼；尺問題：在相同的測(cè)量條件下，增加測(cè)量次數(shù)可以減少系統(tǒng)誤差嗎？二、測(cè)量誤差的分類與對(duì)策（一）分類偶然誤差——在相同的觀測(cè)條件下，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”問題：在相同的測(cè)量條件下，增加測(cè)量次數(shù)可以減少隨機(jī)誤差嗎？

3．粗大誤差

又稱過失誤差，是顯然與事實(shí)不符的誤差。誤差值可以很大，沒有一定的規(guī)律。往往是由儀器故障、環(huán)境意外變化、操作失誤等原因引起。是不允許存在的。如果測(cè)量值中含有較大誤差，應(yīng)按一定的規(guī)則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷，如確定為粗差則應(yīng)將此數(shù)據(jù)從測(cè)量值中剔除。

問題：過失誤差如何判斷？單憑感覺能判斷嗎？

誤差的分類不是絕對(duì)的。未掌握變化規(guī)律或過于復(fù)雜的系統(tǒng)誤差按隨機(jī)誤差處理。已弄清規(guī)律的隨機(jī)誤差按系統(tǒng)誤差處理。

例：電磁場(chǎng)對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，如果較小，規(guī)律不明顯，與其他因素難以區(qū)分時(shí)當(dāng)作隨機(jī)誤差；當(dāng)影響較大、規(guī)律可掌握就當(dāng)作系統(tǒng)誤差；影響嚴(yán)重到完全偏離真值，不能允許的程度時(shí)當(dāng)作粗大誤差。（二）處理原則粗差——細(xì)心，多余觀測(cè)，限差排除系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測(cè)，制定限差研究誤差的目的世界是未知的。根據(jù)掌握的有限次測(cè)量的結(jié)果，對(duì)真值進(jìn)行估計(jì)，或者判斷測(cè)量結(jié)果的合理性。1.觀測(cè)值為l1,l2,l3,….ln如何取值？如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的精度？2.觀測(cè)值為X1,X2，如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的合理性？測(cè)量有無(wú)粗差？偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測(cè)中，偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。19精度和限差誤差在3倍的標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)幾率99.7%誤差在2倍的標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)幾率95.4%誤差在1倍的標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)幾率68.3%因此以2倍的標(biāo)準(zhǔn)差作為限差，如果有限次的測(cè)量誤差大于限差，則說(shuō)明必然存在粗大誤差。但大多數(shù)被觀測(cè)對(duì)象的真值不知，任何評(píng)定觀測(cè)值的精度，即：

=？m=？尋找最接近真值的值x真值如何找到？精度如何描述集中趨勢(shì)的測(cè)度（最優(yōu)值）中位數(shù)：設(shè)把n個(gè)觀測(cè)值按大小排列，這時(shí)位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。眾數(shù)：在n個(gè)數(shù)中，重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。切尾平均數(shù)：去掉lmax,lmin以后的平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解精度（中誤差）計(jì)算方法一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差精密度低準(zhǔn)確度低精確度高

槍的準(zhǔn)確性和射手的技術(shù)分別可以代表哪種誤差？

誤差結(jié)果描述24相對(duì)誤差(相對(duì)中誤差)

——誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比。用于表示距離的精度。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低。重視程度準(zhǔn)確度《精密度《相對(duì)精密度25誤差結(jié)果描述準(zhǔn)確度(測(cè)量成果與真值的差異，反映系統(tǒng)誤差）精（密）度（觀測(cè)值之間的離散程度，反映隨機(jī)誤差）精準(zhǔn)度（同時(shí)考慮測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度和精密度）測(cè)量平差（求解最或是值并評(píng)定精度）26測(cè)量數(shù)據(jù)結(jié)果表示這樣表示的含義是：是最佳值；誤差超過的概率是很小的。目前國(guó)內(nèi)外尚無(wú)統(tǒng)一規(guī)定，原則上測(cè)量結(jié)果應(yīng)在正確反映被測(cè)量的真實(shí)大小和它可信度的同時(shí)又不過于庸長(zhǎng)和累贅。通常用算術(shù)平均值作為最佳值和算術(shù)平均值的極限誤差表示：

關(guān)于置信度與不確定度

測(cè)量值在某區(qū)間內(nèi)的概率稱為測(cè)量結(jié)果的置信概率或置信度。

極限誤差Δ常稱為測(cè)量結(jié)果的不確定度，通常取

Δ

＝σ，2σ，3σ置信系數(shù)置信限置信概率

1.01.0σ0.68272.02.0σ0.95443.03.0σ0.9973關(guān)于不確定度*

一不確定度的概念

來(lái)自400多年前伽利略測(cè)量天體的實(shí)踐，直到1993年國(guó)際不確定工作組上才正式制定《測(cè)量不確定度指南》（GuidetotheExpressingofUncertaintyinMeasurement）(GUM)，由ISO出版1995年公布，得到世界各國(guó)的廣泛應(yīng)用。因?yàn)榫哂锌刹僮鞯囊?guī)范需要實(shí)踐的積累和時(shí)間的檢驗(yàn)。目前GUM的應(yīng)用和推廣已成為當(dāng)今科學(xué)界、質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督部門、各類認(rèn)可機(jī)構(gòu)和認(rèn)證機(jī)構(gòu)關(guān)注的熱點(diǎn)。

我國(guó)1999年批準(zhǔn)發(fā)布了JJF059-1999《測(cè)量不確定評(píng)定與表示》的計(jì)量技術(shù)規(guī)范。對(duì)于計(jì)量設(shè)備和儀器、計(jì)量部門的校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室已經(jīng)有較為成熟的測(cè)量不確定評(píng)定與表示的論文發(fā)表，而很多領(lǐng)域如理化檢驗(yàn)還處于起步階段。

測(cè)量的結(jié)果只能近似真值，因此都有不確定性。在生產(chǎn)場(chǎng)合，沒有特殊需要的都用測(cè)量誤差，在計(jì)量和檢驗(yàn)領(lǐng)域才采用“不確定度”。

不確定度與誤差的聯(lián)系與區(qū)別：誤差是不確定度的基礎(chǔ)，不確定度是誤差的發(fā)展。

誤差與不確定度的比較

誤差

不確定度有正負(fù)恒為正分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、過失誤差評(píng)定時(shí)不分性質(zhì)，由隨機(jī)效應(yīng)和由系統(tǒng)效應(yīng)引入的不確定度都有A類評(píng)定（統(tǒng)計(jì)）和B類評(píng)定（非統(tǒng)計(jì)）客觀存在，不以人的認(rèn)識(shí)程度而改變客觀存在，但與人們對(duì)被測(cè)量的影響量和過程的認(rèn)識(shí)有關(guān)操作性：誤差很易測(cè)，可靠性無(wú)法知曉不管真值是否知曉皆可按GUM規(guī)定結(jié)果修正：起碼系統(tǒng)誤差的估計(jì)值可以不能由不確定度對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正修正自由度：不存在存在置信概率：不存在存在與分布有關(guān)與分布無(wú)關(guān)“國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T228-2002實(shí)施要點(diǎn)”《金屬材料室溫拉伸試驗(yàn)方法》35測(cè)量數(shù)據(jù)的處理

1.有效數(shù)字與測(cè)量誤差在測(cè)量中既然不可避免地存在誤差，因此數(shù)據(jù)只能是一個(gè)近似數(shù)。當(dāng)我們用這個(gè)數(shù)表示一個(gè)量時(shí)，通常規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)字的一半，即0.5誤差原則。這種誤差不大于末位單位數(shù)字一半的數(shù)，從它左邊第一個(gè)非零數(shù)字起，直到右面最后一個(gè)數(shù)字為止，都叫做有效數(shù)字。有效數(shù)字位數(shù)越多，精密度越高。36測(cè)量數(shù)據(jù)的處理“小于5舍，大于5入，等于5取偶數(shù)”的規(guī)則

(1)加法運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，應(yīng)與參與運(yùn)算各數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后面有效位數(shù)最少的相同。

(2)乘除運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，應(yīng)與參與運(yùn)算各數(shù)中有效位數(shù)最少的相同。

(3)乘方及開方運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字比原數(shù)據(jù)多保留1位。

(4)對(duì)數(shù)運(yùn)算：取對(duì)數(shù)前后有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)相同。在運(yùn)算前可將各數(shù)先行刪減，原則上可按結(jié)果有效位數(shù)多保留1～2位安全數(shù)字。§6-5誤差傳播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

二.誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差公式——誤差傳播定律設(shè)有函數(shù)xi為獨(dú)立觀測(cè)值觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

算術(shù)平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx誤差傳播定律的應(yīng)用

測(cè)量次數(shù)n多少合適？從標(biāo)準(zhǔn)誤差與測(cè)量次數(shù)的關(guān)系可知n>10時(shí)曲線下降較少而n太大就難以保證測(cè)量的條件的一致，所以一般取n=10。不等精密度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理

一般測(cè)量實(shí)踐基本上屬于等精密度測(cè)量的問題，有時(shí)為了得到更精確的結(jié)果，往往在不同的測(cè)量條件下，用不同的儀器，不同的測(cè)量方法,不同的測(cè)量次數(shù)以及不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比，這就是不等精密度測(cè)量。一“權(quán)”的概念

等精密度測(cè)量中各個(gè)測(cè)量值可靠程度相同，因此取算術(shù)平均值為最佳值，而不等精密度測(cè)量中各個(gè)測(cè)量值可靠程度不相同，因而不能簡(jiǎn)單地取算術(shù)平均值為最佳值。應(yīng)使可靠程度大的數(shù)據(jù)在最后結(jié)果中占的比例大一些，可靠程度小的數(shù)據(jù)在最后結(jié)果中占的比例小一些。各個(gè)測(cè)量值可靠程度可以用一數(shù)值表示，這數(shù)值稱為該測(cè)量值的“權(quán)”，以P表示。因此“權(quán)”可以理解為當(dāng)測(cè)量值進(jìn)行比較時(shí)，對(duì)各測(cè)量值的信賴程度?！皺?quán)”只有相對(duì)的意義。二“權(quán)”的確定方法

既然“權(quán)”說(shuō)明了可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來(lái)確定“權(quán)”的大小。例如，可按照測(cè)量條件的優(yōu)劣，測(cè)量?jī)x器和測(cè)量方法所能達(dá)到的精度高低，重復(fù)測(cè)量次數(shù)的多少以及測(cè)量者水平的高低等來(lái)確定“權(quán)”。測(cè)量方法越完善，測(cè)量精度越高，所得測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”也越大。在相同條件下，由不同水平的測(cè)量者用同一種測(cè)量方法和儀器對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行測(cè)量，顯然對(duì)經(jīng)驗(yàn)豐富的測(cè)量者所得到的結(jié)果應(yīng)賦予較大的“權(quán)”。最簡(jiǎn)單的方法是按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定，即其它條件相同，重復(fù)測(cè)量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大。因此完全可由測(cè)量次數(shù)來(lái)確定“權(quán)”的大小。即權(quán)權(quán)是用來(lái)描述測(cè)量值在整個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)集合中的重要性的參數(shù)例：50（權(quán)為1），47（權(quán)為2）。表示了三次測(cè)量結(jié)果50，47，47。平均值計(jì)算時(shí)（50+47+47）/3=48權(quán)平均：A=（a1*w1+a2*w2)/(w1+w2)權(quán)正比于算術(shù)平均值精度的倒數(shù)45例有甲、乙、丙三人。觀測(cè)結(jié)果如下：甲：平均值36mm，

精度0.7mm乙：平均值42mm，

精度1.2mm丙：平均值33mm，

精度0.7mm求最或然值。解：甲乙丙權(quán)分別可設(shè)為1/0.7^2=2.04;1/1.2^2=0.69;1/1^2=1最或然值為（36×2.04+42×0.69+33×1）/(2.04+0.69+1)=3646例電子設(shè)備的生產(chǎn)廠家一般會(huì)給出儀器的精度，表示方法為相對(duì)精度+-尾數(shù)來(lái)表示?，F(xiàn)用一臺(tái)電子測(cè)距儀測(cè)量距離為6835.417m，儀器的精度為1/400000+-20mm，又用另一臺(tái)測(cè)距儀檢查，測(cè)量數(shù)據(jù)為6835.398m，該儀器精度為1/600000+-30mm。求該距離的最或然值。4748數(shù)據(jù)的合理性判斷：粗差鑒別觀測(cè)值為X1,X2，…Xn如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的合理性？有無(wú)粗差？數(shù)據(jù)最終表示。1.先求出算術(shù)平均值2.求出單次測(cè)量的精度3.由單次測(cè)量的精度制定限差4.比較各個(gè)殘差與限差，如果超限，則剔除該測(cè)量數(shù)據(jù)。5.goto16.數(shù)據(jù)表示為練習(xí)在等精度條件下，對(duì)某距離用鋼尺丈量了四次，觀測(cè)值分別為120.031,120.025,119.983,120.041，計(jì)算其算術(shù)平均值、單次測(cè)量值的中誤差、算術(shù)平均值的中誤差。(單位米)4950數(shù)據(jù)的合理性判斷：獨(dú)立校核設(shè)單次測(cè)量的精度已知（等于儀器的精度），觀測(cè)值為X1,X2，如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的合理性？測(cè)量有無(wú)粗差？數(shù)據(jù)最終表示。1.先求Y的限差2mY,2判斷殘差是否超限3若超限則Y不合理，即測(cè)量中出現(xiàn)粗差。4若在限差之內(nèi)，則取x1和X2的平均值為真值估計(jì)Y=X1-X2mY2=mx12+mx12=2mx2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的表示方法一列表法優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行，不需儀器和專門工具，數(shù)據(jù)易查閱、比對(duì)，形式緊湊等。是圖形表示和方程表示的基礎(chǔ)。列表的數(shù)據(jù)分度也需要作出圖形。

規(guī)范的原始數(shù)據(jù)表是得到正確實(shí)驗(yàn)結(jié)果的前提，也是實(shí)驗(yàn)者優(yōu)秀素養(yǎng)的體現(xiàn)。使測(cè)量結(jié)果和計(jì)算后的一切數(shù)據(jù)都有條不紊地列于設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)谋砀裰?，不要讓?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)零星的分散在各種臨時(shí)性的記錄紙張上。

表格結(jié)構(gòu)表名表頭數(shù)據(jù)資料52二圖示法

按一定的坐標(biāo)系把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描成曲線圖，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理上最為重要和常用。優(yōu)點(diǎn)是直觀，能直接顯示極大或極小值，折點(diǎn)，周期性。在使用數(shù)據(jù)表或函數(shù)表達(dá)式也常常需要先作曲線圖。步驟：圖紙（坐標(biāo)系）選擇，坐標(biāo)分度，數(shù)據(jù)描點(diǎn)，連曲線，注釋或說(shuō)明二圖示法1坐標(biāo)系的選定應(yīng)使曲線圖最簡(jiǎn)單。常用的有直角坐標(biāo)系/極坐標(biāo)系/對(duì)數(shù)或半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系；應(yīng)用變量代換使圖形盡可能為直線。例：Y=aXb

兩邊取對(duì)數(shù)得：logY=loga+blogX,在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系里成為u=v+bw是直線。2坐標(biāo)的最小分度以1，2，5單位最方便，避免3，6，7，9分格。分格的大小應(yīng)反映實(shí)驗(yàn)值的精度，應(yīng)便于從圖中找到讀數(shù)，圖形位于圖紙的中心位置。圖2－63按數(shù)據(jù)描點(diǎn)只需看趨勢(shì)的將數(shù)據(jù)點(diǎn)描在圖上；需要插值分度或計(jì)算的應(yīng)描在誤差帶的中心。4連曲線光滑/均勻/盡量少的拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)/曲線不必通過每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，要使曲線兩側(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)大致相等。制圖要求1.曲線要光滑2.定量的坐標(biāo)軸，分度可用低于最小實(shí)驗(yàn)值的某個(gè)整數(shù)位起點(diǎn)，高于最大實(shí)驗(yàn)值的某個(gè)整數(shù)為終點(diǎn)3.定量繪制的坐標(biāo)圖，其坐標(biāo)軸上必須注明變量的名稱、符號(hào)、單位4.圖有時(shí)還應(yīng)該有圖注5.圖要被坐標(biāo)軸筐起來(lái)6.各組數(shù)據(jù)點(diǎn)差異要明顯56范例57范例58

1，對(duì)公式的要求：形式簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確代表各變量之間的關(guān)系。兩者