誤差理論及數(shù)據處理

測量誤差基礎知識2

誤差分析與實驗數(shù)據處理

不僅在科學研究領域，測量在國民經濟、國防建設和社會生活中，特別是在司法、商業(yè)貿易、維護權益、保護資源環(huán)境、醫(yī)療衛(wèi)生等諸方面起著越來越大的作用。它對科研、生產、商貿和國際技術交流等諸多相關領域影響很大。

為了能選擇適當?shù)膶嶒灧椒ㄒ允箿y量結果有預期的可靠性和分析測量結果的可靠程度，都必須對誤差進行分析。因此必須具有誤差理論的知識；為了把得到的數(shù)據進行科學的歸納整理，從而得出表征被測量之間的函數(shù)關系還必須掌握數(shù)據處理的技術。

當測量誤差超過一定的限度，測量工作和結果不但毫無意義甚至帶來極大危害。

例1，射程8000公里的洲際導彈，如果航向誤差0.03度，偏離目標可達5－8公里；

例2，礦井中瓦斯?jié)舛缺O(jiān)測問題4－16％的瓦斯?jié)舛葧鸨?，爆炸最猛烈的?％；規(guī)定達到1％時監(jiān)測系統(tǒng)報警，不允許作業(yè)。

例3，醫(yī)學介入法治療中的顯示、定位、手術。

手術戒毒―除毒癮記憶的開顱手術

給病人播放吸毒者注射毒品的錄像，觀測病人的腦磁圖，局部異常興奮點閃爍，準確測量興奮點的位置，在坐標系上（把興奮點）定位。用定位儀把要打擊的“靶點”置于虛擬的球心。開顱（直徑1厘米的小孔），順著定位儀的垂直管道插入射頻電針，相距6毫米平行進入大腦，發(fā)射射頻電波使“靶點”周圍的離子高速往來摩擦生熱達720C，殺死神經元，形成8毫米高的橢圓形死海。切斷毒癮記憶。

美國的腦磁圖定位系統(tǒng)、荷蘭的核磁共振、瑞典的立體定向手術系統(tǒng)、德國的手術導航系統(tǒng)；為控制誤差，將腦磁圖、核磁共振、CT機三項檢查的腦部圖象在電腦上疊加、核對，手術誤差要求不超過0.1毫米，否則會造成癡呆或瘋癲。

問題：試用你親身經歷的事例說明誤差理論的重要性。

測量誤差

基本概念

真值－待確定量客觀存在的真實值。

由理論給出或計量學作出規(guī)定的如：三角形內角之和為1800；第13屆國際計量大會規(guī)定，銫原子Cs133在兩個超精細能級間躍遷所對應輻射的192,631,770個周期的持續(xù)時間為1秒。這些都是真值。

實驗值－測量值

10測量誤差的來源1、儀器精度的局限性2、觀測者感官的局限性3、外界環(huán)境的影響一.產生測量誤差的原因一.產生測量誤差的原因產生測量誤差的三大因素：儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因

判斷力和分辨率的限制,經驗,等。外界影響

氣象因素(溫度變化,風,大氣折光)

結論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關名詞：觀測條件:

上述三大因素總稱為觀測條件等精度觀測:在上述條件基本相同的情況下進行的各次觀測，稱為等精度觀測。二、測量誤差的分類與對策（一）分類系統(tǒng)誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)在符號和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。舉例：砝碼；尺問題：在相同的測量條件下，增加測量次數(shù)可以減少系統(tǒng)誤差嗎？二、測量誤差的分類與對策（一）分類偶然誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計規(guī)律”問題：在相同的測量條件下，增加測量次數(shù)可以減少隨機誤差嗎？

3．粗大誤差

又稱過失誤差，是顯然與事實不符的誤差。誤差值可以很大，沒有一定的規(guī)律。往往是由儀器故障、環(huán)境意外變化、操作失誤等原因引起。是不允許存在的。如果測量值中含有較大誤差，應按一定的規(guī)則對數(shù)據進行判斷，如確定為粗差則應將此數(shù)據從測量值中剔除。

問題：過失誤差如何判斷？單憑感覺能判斷嗎？

誤差的分類不是絕對的。未掌握變化規(guī)律或過于復雜的系統(tǒng)誤差按隨機誤差處理。已弄清規(guī)律的隨機誤差按系統(tǒng)誤差處理。

例：電磁場對測量結果的影響，如果較小，規(guī)律不明顯，與其他因素難以區(qū)分時當作隨機誤差；當影響較大、規(guī)律可掌握就當作系統(tǒng)誤差；影響嚴重到完全偏離真值，不能允許的程度時當作粗大誤差。（二）處理原則粗差——細心，多余觀測，限差排除系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差研究誤差的目的世界是未知的。根據掌握的有限次測量的結果，對真值進行估計，或者判斷測量結果的合理性。1.觀測值為l1,l2,l3,….ln如何取值？如何評價數(shù)據的精度？2.觀測值為X1,X2，如何評價數(shù)據的合理性？測量有無粗差？偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。19精度和限差誤差在3倍的標準差之內幾率99.7%誤差在2倍的標準差之內幾率95.4%誤差在1倍的標準差之內幾率68.3%因此以2倍的標準差作為限差，如果有限次的測量誤差大于限差，則說明必然存在粗大誤差。但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，任何評定觀測值的精度，即：

=？m=？尋找最接近真值的值x真值如何找到？精度如何描述集中趨勢的測度（最優(yōu)值）中位數(shù)：設把n個觀測值按大小排列，這時位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。眾數(shù)：在n個數(shù)中，重復出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。切尾平均數(shù)：去掉lmax,lmin以后的平均數(shù)。算術平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解精度（中誤差）計算方法一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差精密度低準確度低精確度高

槍的準確性和射手的技術分別可以代表哪種誤差？

誤差結果描述24相對誤差(相對中誤差)

——誤差絕對值與觀測量之比。用于表示距離的精度。用分子為1的分數(shù)表示。分數(shù)值較小相對精度較高；分數(shù)值較大相對精度較低。重視程度準確度《精密度《相對精密度25誤差結果描述準確度(測量成果與真值的差異，反映系統(tǒng)誤差）精（密）度（觀測值之間的離散程度，反映隨機誤差）精準度（同時考慮測量結果的準確度和精密度）測量平差（求解最或是值并評定精度）26測量數(shù)據結果表示這樣表示的含義是：是最佳值；誤差超過的概率是很小的。目前國內外尚無統(tǒng)一規(guī)定，原則上測量結果應在正確反映被測量的真實大小和它可信度的同時又不過于庸長和累贅。通常用算術平均值作為最佳值和算術平均值的極限誤差表示：

關于置信度與不確定度

測量值在某區(qū)間內的概率稱為測量結果的置信概率或置信度。

極限誤差Δ常稱為測量結果的不確定度，通常取

Δ

＝σ，2σ，3σ置信系數(shù)置信限置信概率

1.01.0σ0.68272.02.0σ0.95443.03.0σ0.9973關于不確定度*

一不確定度的概念

來自400多年前伽利略測量天體的實踐，直到1993年國際不確定工作組上才正式制定《測量不確定度指南》（GuidetotheExpressingofUncertaintyinMeasurement）(GUM)，由ISO出版1995年公布，得到世界各國的廣泛應用。因為具有可操作的規(guī)范需要實踐的積累和時間的檢驗。目前GUM的應用和推廣已成為當今科學界、質量技術監(jiān)督部門、各類認可機構和認證機構關注的熱點。

我國1999年批準發(fā)布了JJF059-1999《測量不確定評定與表示》的計量技術規(guī)范。對于計量設備和儀器、計量部門的校準實驗室已經有較為成熟的測量不確定評定與表示的論文發(fā)表，而很多領域如理化檢驗還處于起步階段。

測量的結果只能近似真值，因此都有不確定性。在生產場合，沒有特殊需要的都用測量誤差，在計量和檢驗領域才采用“不確定度”。

不確定度與誤差的聯(lián)系與區(qū)別：誤差是不確定度的基礎，不確定度是誤差的發(fā)展。

誤差與不確定度的比較

誤差

不確定度有正負恒為正分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差、過失誤差評定時不分性質，由隨機效應和由系統(tǒng)效應引入的不確定度都有A類評定（統(tǒng)計）和B類評定（非統(tǒng)計）客觀存在，不以人的認識程度而改變客觀存在，但與人們對被測量的影響量和過程的認識有關操作性：誤差很易測，可靠性無法知曉不管真值是否知曉皆可按GUM規(guī)定結果修正：起碼系統(tǒng)誤差的估計值可以不能由不確定度對測量結果進行修正修正自由度：不存在存在置信概率：不存在存在與分布有關與分布無關“國家標準GB/T228-2002實施要點”《金屬材料室溫拉伸試驗方法》35測量數(shù)據的處理

1.有效數(shù)字與測量誤差在測量中既然不可避免地存在誤差，因此數(shù)據只能是一個近似數(shù)。當我們用這個數(shù)表示一個量時，通常規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)字的一半，即0.5誤差原則。這種誤差不大于末位單位數(shù)字一半的數(shù)，從它左邊第一個非零數(shù)字起，直到右面最后一個數(shù)字為止，都叫做有效數(shù)字。有效數(shù)字位數(shù)越多，精密度越高。36測量數(shù)據的處理“小于5舍，大于5入，等于5取偶數(shù)”的規(guī)則

(1)加法運算：運算結果的有效數(shù)字位數(shù)，應與參與運算各數(shù)中小數(shù)點后面有效位數(shù)最少的相同。

(2)乘除運算：運算結果的有效數(shù)字位數(shù)，應與參與運算各數(shù)中有效位數(shù)最少的相同。

(3)乘方及開方運算：運算結果的有效數(shù)字比原數(shù)據多保留1位。

(4)對數(shù)運算：取對數(shù)前后有效數(shù)字位數(shù)應相同。在運算前可將各數(shù)先行刪減，原則上可按結果有效位數(shù)多保留1～2位安全數(shù)字?！?-5誤差傳播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

二.誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差公式——誤差傳播定律設有函數(shù)xi為獨立觀測值觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術平均值

算術平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx誤差傳播定律的應用

測量次數(shù)n多少合適？從標準誤差與測量次數(shù)的關系可知n>10時曲線下降較少而n太大就難以保證測量的條件的一致，所以一般取n=10。不等精密度測量的數(shù)據處理

一般測量實踐基本上屬于等精密度測量的問題，有時為了得到更精確的結果，往往在不同的測量條件下，用不同的儀器，不同的測量方法,不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量與對比，這就是不等精密度測量。一“權”的概念

等精密度測量中各個測量值可靠程度相同，因此取算術平均值為最佳值，而不等精密度測量中各個測量值可靠程度不相同，因而不能簡單地取算術平均值為最佳值。應使可靠程度大的數(shù)據在最后結果中占的比例大一些，可靠程度小的數(shù)據在最后結果中占的比例小一些。各個測量值可靠程度可以用一數(shù)值表示，這數(shù)值稱為該測量值的“權”，以P表示。因此“權”可以理解為當測量值進行比較時，對各測量值的信賴程度?！皺唷敝挥邢鄬Φ囊饬x。二“權”的確定方法

既然“權”說明了可靠程度，因此可根據這一原則來確定“權”的大小。例如，可按照測量條件的優(yōu)劣，測量儀器和測量方法所能達到的精度高低，重復測量次數(shù)的多少以及測量者水平的高低等來確定“權”。測量方法越完善，測量精度越高，所得測量結果的“權”也越大。在相同條件下，由不同水平的測量者用同一種測量方法和儀器對同一被測量進行測量，顯然對經驗豐富的測量者所得到的結果應賦予較大的“權”。最簡單的方法是按測量次數(shù)來確定，即其它條件相同，重復測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大。因此完全可由測量次數(shù)來確定“權”的大小。即權權是用來描述測量值在整個測量數(shù)據集合中的重要性的參數(shù)例：50（權為1），47（權為2）。表示了三次測量結果50，47，47。平均值計算時（50+47+47）/3=48權平均：A=（a1*w1+a2*w2)/(w1+w2)權正比于算術平均值精度的倒數(shù)45例有甲、乙、丙三人。觀測結果如下：甲：平均值36mm，

精度0.7mm乙：平均值42mm，

精度1.2mm丙：平均值33mm，

精度0.7mm求最或然值。解：甲乙丙權分別可設為1/0.7^2=2.04;1/1.2^2=0.69;1/1^2=1最或然值為（36×2.04+42×0.69+33×1）/(2.04+0.69+1)=3646例電子設備的生產廠家一般會給出儀器的精度，表示方法為相對精度+-尾數(shù)來表示?，F(xiàn)用一臺電子測距儀測量距離為6835.417m，儀器的精度為1/400000+-20mm，又用另一臺測距儀檢查，測量數(shù)據為6835.398m，該儀器精度為1/600000+-30mm。求該距離的最或然值。4748數(shù)據的合理性判斷：粗差鑒別觀測值為X1,X2，…Xn如何評價數(shù)據的合理性？有無粗差？數(shù)據最終表示。1.先求出算術平均值2.求出單次測量的精度3.由單次測量的精度制定限差4.比較各個殘差與限差，如果超限，則剔除該測量數(shù)據。5.goto16.數(shù)據表示為練習在等精度條件下，對某距離用鋼尺丈量了四次，觀測值分別為120.031,120.025,119.983,120.041，計算其算術平均值、單次測量值的中誤差、算術平均值的中誤差。(單位米)4950數(shù)據的合理性判斷：獨立校核設單次測量的精度已知（等于儀器的精度），觀測值為X1,X2，如何評價數(shù)據的合理性？測量有無粗差？數(shù)據最終表示。1.先求Y的限差2mY,2判斷殘差是否超限3若超限則Y不合理，即測量中出現(xiàn)粗差。4若在限差之內，則取x1和X2的平均值為真值估計Y=X1-X2mY2=mx12+mx12=2mx2實驗數(shù)據的表示方法一列表法優(yōu)點：簡單易行，不需儀器和專門工具，數(shù)據易查閱、比對，形式緊湊等。是圖形表示和方程表示的基礎。列表的數(shù)據分度也需要作出圖形。

規(guī)范的原始數(shù)據表是得到正確實驗結果的前提，也是實驗者優(yōu)秀素養(yǎng)的體現(xiàn)。使測量結果和計算后的一切數(shù)據都有條不紊地列于設計適當?shù)谋砀裰?，不要讓實驗?shù)據零星的分散在各種臨時性的記錄紙張上。

表格結構表名表頭數(shù)據資料52二圖示法

按一定的坐標系把實驗數(shù)據描成曲線圖，在實驗數(shù)據整理上最為重要和常用。優(yōu)點是直觀，能直接顯示極大或極小值，折點，周期性。在使用數(shù)據表或函數(shù)表達式也常常需要先作曲線圖。步驟：圖紙（坐標系）選擇，坐標分度，數(shù)據描點，連曲線，注釋或說明二圖示法1坐標系的選定應使曲線圖最簡單。常用的有直角坐標系/極坐標系/對數(shù)或半對數(shù)坐標系；應用變量代換使圖形盡可能為直線。例：Y=aXb

兩邊取對數(shù)得：logY=loga+blogX,在對數(shù)坐標系里成為u=v+bw是直線。2坐標的最小分度以1，2，5單位最方便，避免3，6，7，9分格。分格的大小應反映實驗值的精度，應便于從圖中找到讀數(shù)，圖形位于圖紙的中心位置。圖2－63按數(shù)據描點只需看趨勢的將數(shù)據點描在圖上；需要插值分度或計算的應描在誤差帶的中心。4連曲線光滑/均勻/盡量少的拐點和奇異點/曲線不必通過每一個數(shù)據點，要使曲線兩側的數(shù)據點數(shù)大致相等。制圖要求1.曲線要光滑2.定量的坐標軸，分度可用低于最小實驗值的某個整數(shù)位起點，高于最大實驗值的某個整數(shù)為終點3.定量繪制的坐標圖，其坐標軸上必須注明變量的名稱、符號、單位4.圖有時還應該有圖注5.圖要被坐標軸筐起來6.各組數(shù)據點差異要明顯56范例57范例58

1，對公式的要求：形式簡單，準確代表各變量之間的關系。兩者