保險數(shù)理基礎(chǔ)

保險的數(shù)理基礎(chǔ)現(xiàn)代保險學(xué)是建立在概率論和大數(shù)定律基礎(chǔ)上的，為以下三個方面提供了科學(xué)依據(jù)：保險經(jīng)營的穩(wěn)定性、費(fèi)率厘定的科學(xué)性、保險風(fēng)險的集合與分散的可行性風(fēng)險事故：是否發(fā)生？怎么發(fā)生？發(fā)生后損失的程度？

→沒有風(fēng)險就沒有保險。保險的數(shù)理基礎(chǔ)一、概率統(tǒng)計和相關(guān)概念

隨機(jī)現(xiàn)象、概率及頻率、概率分布及數(shù)字特征二、大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用

貝努利大數(shù)定律、泊松大數(shù)定律、契比雪夫大數(shù)定律三、保險費(fèi)率厘定構(gòu)成、分類、保險費(fèi)率、特點(diǎn)、厘定原則、厘定方法第一節(jié)概率統(tǒng)計的相關(guān)概念一、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)現(xiàn)象：在個別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性而在大量重復(fù)試驗(yàn)中，其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的。隨機(jī)試驗(yàn)特征：（扔硬幣）（1）可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個，而且所有可能的結(jié)果是事先知道的；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。二、概率與頻率概率：衡量隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的尺度，概率大表示隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性就大，反之，概率小表示隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性就小。在實(shí)際應(yīng)用中，一種廣為接受的確定隨機(jī)事件概率的方法是概率的頻率解釋。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，頻率也將越趨近于某一數(shù)值，這時可以來表示事件發(fā)生的概率。對于概率的頻率解釋，在大數(shù)定律中將給出嚴(yán)格的理論證。（貝努利大數(shù)定律）

保險實(shí)務(wù)中，常常用頻率來表示風(fēng)險事件的損失概率。在人壽保險中，確定每個年齡段的死亡率的依據(jù)是生命表。生命表是以人口普查資料為依據(jù)，根據(jù)一定時期某一國家或地區(qū)的特定人群有關(guān)生存、死亡的統(tǒng)計資料，加以分析整理而成的一種表格。它是人壽保險測定危險的工具，是壽險精算的數(shù)理基礎(chǔ)。三、概率分布與數(shù)字特征

對于保險而言，隨機(jī)變量的取值通常是損失的各種不同數(shù)額，此時隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望就是損失期望值，即未來危險事故產(chǎn)生損失的均值。對于保險人：只有知道了損失期望值，才能確保純保費(fèi)。對于投保人：把預(yù)期損失金額與保險費(fèi)比較，然后做出是否購買保險的決定。0*0.5+500*0.3+1000*0.1+5000*0.06+10000*0.04=950（期望損失）若保費(fèi)1500元，就不投保。保險的數(shù)理基礎(chǔ)一、概率統(tǒng)計和相關(guān)概念

隨機(jī)現(xiàn)象、概率及頻率、概率分布及數(shù)字特征二、大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用

貝努利大數(shù)定律、泊松大數(shù)定律、契比雪夫大數(shù)定律三、保險費(fèi)率厘定構(gòu)成、分類、保險費(fèi)率、特點(diǎn)、厘定原則、厘定方法第二節(jié)大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用保險人分散風(fēng)險、分?jǐn)倱p失的功能是通過集合大量的具有相同性質(zhì)的經(jīng)濟(jì)單位或個人來實(shí)現(xiàn)的。一個深層次的問題是，為什么保險人通過這種風(fēng)險匯聚的方式能夠?qū)崿F(xiàn)分?jǐn)倱p失、降低風(fēng)險的目的，其理論依據(jù)是什么？

大數(shù)定律將對這個問題作出科學(xué)地回答和解釋。大數(shù)定律是用來說明大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象往往呈現(xiàn)必然規(guī)律的一系列定理的統(tǒng)稱，它是保險經(jīng)營的重要數(shù)理基礎(chǔ)。當(dāng)N足夠大，可以用損失頻率代替實(shí)際損失概率，從而可以確定純保費(fèi)。當(dāng)N足夠大，可以在平均的意義上求出相同的損失概率。所以，把性質(zhì)相同的標(biāo)的集中起來，可以算出平均費(fèi)率。當(dāng)n足夠大時，反映了保險的本質(zhì)：分擔(dān)風(fēng)險（純保費(fèi)：u）

伯努利大數(shù)定律、泊松大數(shù)定律、契比雪夫大數(shù)定律這三個大數(shù)定律應(yīng)用于保險得出的最有意義的結(jié)論是：保險人承保的同質(zhì)危險單位越多，則通過以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)估算出來的損失頻率與實(shí)際概率的偏差就越小；保險機(jī)制分?jǐn)倱p失和分散風(fēng)險的效率就越高；保險費(fèi)率的厘定就越科學(xué)；保險人的財務(wù)穩(wěn)定性也越強(qiáng)。大數(shù)定律在保險中應(yīng)用的雙重性：

要準(zhǔn)確估計事件發(fā)生的概率，保險公司必須掌握大量的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；

概率估計值必須運(yùn)用到大量的危險單位中才能對未來損失有較準(zhǔn)確的估計；

假設(shè)前提：

1.過去事件發(fā)生的概率和未來事件發(fā)生的概率相同；

2.對過去事件發(fā)生概率的估計是準(zhǔn)確的。保險的數(shù)理基礎(chǔ)一、概率統(tǒng)計和相關(guān)概念

隨機(jī)現(xiàn)象、概率及頻率、概率分布及數(shù)字特征二、大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用

貝努利大數(shù)定律、泊松大數(shù)定律、契比雪夫大數(shù)定律三、保險費(fèi)率厘定構(gòu)成、分類、保險費(fèi)率、特點(diǎn)、厘定原則、厘定方法第三節(jié)

保險費(fèi)率厘定一、保險費(fèi)率的構(gòu)成保險費(fèi)：投保人為了獲得經(jīng)濟(jì)保障而向保險人繳納的費(fèi)用。保險費(fèi)又稱為毛保費(fèi)、營業(yè)保費(fèi)，保險費(fèi)=純保險費(fèi)+附加保費(fèi)。純保費(fèi)：根據(jù)風(fēng)險概率計算而得，是發(fā)生保險事故時進(jìn)行保險金賠付的資金來源。附加保費(fèi)：經(jīng)營保險業(yè)務(wù)所必需的的各項營業(yè)支出和預(yù)期利潤，包括營業(yè)稅、代理手續(xù)費(fèi)、企業(yè)管理費(fèi)、工資及工資附加費(fèi)、固定資產(chǎn)折舊費(fèi)、稅金以及企業(yè)盈利等。二、保險費(fèi)的分類按繳費(fèi)方式，分為：躉繳保費(fèi)、期繳保費(fèi)按繳費(fèi)時間，分為：期初繳費(fèi)、期末繳費(fèi)按承擔(dān)的風(fēng)險大?。鹤匀槐ＹM(fèi)、均衡保費(fèi)均衡保費(fèi)：是指保險人將人的不同年齡的自然保險費(fèi)結(jié)合利息因素，均勻地分配在各個年度，使投保人按期交付的保險費(fèi)整齊劃一，處于相同的水平，這種保險費(fèi)即為均衡保險費(fèi)。均衡保險費(fèi)避免了被保險人到了晚年因保險費(fèi)的上升而無力續(xù)保的不足，因此適合長期性的人壽保險。

三、保險費(fèi)率保險費(fèi)率是保險費(fèi)與保險金額的比例，又稱為保險價格。保險費(fèi)率一般也由純費(fèi)率與附加費(fèi)率兩部分組成，即：毛費(fèi)率=純費(fèi)率+附加費(fèi)率。純費(fèi)率又稱凈費(fèi)率，它是用來支付賠款或保險金的費(fèi)率，其計算依據(jù)因險種的不同而不同。依據(jù)：財產(chǎn)保險純費(fèi)率：損失率，人壽保險純費(fèi)率：利率和生命表。附加費(fèi)率是附加保費(fèi)與保險金額的比率。四、保險費(fèi)率的特點(diǎn)預(yù)測性單個保險合同：保險費(fèi)率≠保險金同一類保險業(yè)務(wù)：總純保險費(fèi)=總的保險金支出保險費(fèi)率受政府的管制較嚴(yán)。五、保險費(fèi)率厘定的基本原則公平合理原則（對保險人和投保人）保證償付原則（充分原則）相對穩(wěn)定原則促進(jìn)防災(zāi)防損原則防災(zāi)防損：保險人與被保險人盡可能減少事故以及盡可能減少損失。（防止道德風(fēng)險）好處:減少保險人的賠付；減少整個社會的財富損失（無賠款優(yōu)待）六、保險費(fèi)率厘定的方法

毛保費(fèi)率=純費(fèi)率+附加費(fèi)率分類法增減法個案法1.分類法：基于風(fēng)險分類來計算保險費(fèi)率的方法。（最常用、最主要）在具體承保時，先找出保險標(biāo)的所在的風(fēng)險類別，再據(jù)以確定其適用的費(fèi)率水平。運(yùn)用于財產(chǎn)保險、健康保險和大部分人身意外傷害保險。這一方法有時也被叫做手冊法，因?yàn)楦鞣N分類費(fèi)率平常印在手冊之上，保險人只需查閱手冊，便可決定費(fèi)率。財產(chǎn)保險：一般根據(jù)標(biāo)的物的使用性質(zhì)分為不同的類別，每一類又可以分為若干等級。人身保險：一般按照性別、年齡、健康狀況、職業(yè)等分類。要求：一要分類適當(dāng)，二要各類保險標(biāo)的都有足夠的數(shù)量。決定每類費(fèi)率時，主要考慮相同的標(biāo)的類型，相同的風(fēng)險，相同的保險期限等因素。優(yōu)點(diǎn)：便于運(yùn)用，適用費(fèi)率可迅速查到缺點(diǎn)：不盡公平。分類費(fèi)率可通過兩種方法來計算：純保險費(fèi)率法和損失比率法。1、純保險費(fèi)率法（以損失經(jīng)驗(yàn)為計算基礎(chǔ)）。集合→頻率→概率→純費(fèi)率2、損失比率法（以整個行業(yè)的實(shí)際損失為計算基礎(chǔ)）。

若分類過多，每一類標(biāo)的過少，不符合大數(shù)定律的親體。因此，需要結(jié)合其他類似風(fēng)險的損失資料。2、增減法（修正法）：在同一類保險標(biāo)的中，在分類法確定基本費(fèi)率的基礎(chǔ)上，再依據(jù)個別保險標(biāo)的的實(shí)際風(fēng)險狀況進(jìn)行適當(dāng)修正，得出最終適用的費(fèi)率。優(yōu)點(diǎn)：增減法能結(jié)合標(biāo)的的實(shí)際風(fēng)險程度的差異，有利于實(shí)現(xiàn)費(fèi)率的公平合理，還有促進(jìn)防災(zāi)防損的作用。增減法主要分為三種做法：表定法、經(jīng)驗(yàn)法、追溯法。3、個案法（觀察法）七、財產(chǎn)保險費(fèi)率計算過程純費(fèi)率→附加費(fèi)率→毛費(fèi)率（1）計算純費(fèi)率與損失率相關(guān)的基本指標(biāo)有6個:A:保險標(biāo)的件數(shù)B:總保險金額

C:保險事故次數(shù)D:受損標(biāo)的件數(shù)

E:受損標(biāo)的總保額F:總賠款金額分別組成了4個影響因素

1、保險事故發(fā)生的頻率=C/A=保險事故次數(shù)/保險標(biāo)的件數(shù)

2、保險事故的毀損率=D/C=受損標(biāo)的件數(shù)/保險事故次數(shù)

3、保險標(biāo)的損毀程度=F/E=總賠款金額/受損標(biāo)的總保額

4、受損保險標(biāo)的平均保額與總平均保額的比率

=（E/D）/（B/A）四個因素的乘積為保額損失率=F/B=總賠款金額/總保險金額假設(shè)某保險公司過去5年保額損失率統(tǒng)計資料如下：年份20012002200320042005保額損失率（Xi）2%2.5%3.4%3.1%2.8%純費(fèi)率=保額損失率×（1+穩(wěn)定系數(shù)）純費(fèi)率=平均保額損失率×（1+穩(wěn)定系數(shù)）

純費(fèi)率=平均保額損失率+均方差實(shí)務(wù)中：對于損失率較穩(wěn)定的，一般附加1個σ，適合比較穩(wěn)定的險種，如火災(zāi)保險；對損失率不夠穩(wěn)定的險種，如機(jī)動車輛保險、飛機(jī)保險等，附加2個σ；對于損失率很不穩(wěn)定的高風(fēng)險險種，如衛(wèi)星發(fā)射保險，可附加3個σ。

本案例中，由于穩(wěn)定系數(shù)小于20%（18.12%），是低風(fēng)險險種。純費(fèi)率=2.76%+0.5%=3.26%（2）計算附加費(fèi)率附加費(fèi)率=附加費(fèi)/保險金額

附加費(fèi)率=純費(fèi)率×附加費(fèi)與純保費(fèi)比例（3）計算毛費(fèi)率

毛費(fèi)率=純費(fèi)率+附加費(fèi)率毛費(fèi)率=保額損失率×（1+穩(wěn)定系數(shù)）+附加費(fèi)率毛費(fèi)率=（保額損失率+均方差）+附加費(fèi)率毛費(fèi)率=純費(fèi)率×（1+附加比例）本案例中，若附加費(fèi)與純保費(fèi)的比例為20%，則：

附加費(fèi)率=3.26%×20%=0.652%

毛保費(fèi)率=3.26%+0.652%=3.912%八、人壽保險費(fèi)率的厘定（一）概述人壽保險費(fèi)=純保費(fèi)+附加保費(fèi)純保險費(fèi)包括：

危險保險費(fèi)（風(fēng)險保費(fèi)）：用于當(dāng)年保險費(fèi)的支付儲蓄保險費(fèi)：累計用于彌補(bǔ)未來的赤字純保費(fèi)計算必須以死亡率和預(yù)定利率為基礎(chǔ)；附加保費(fèi)則用于保險公司經(jīng)營費(fèi)用，包括：新契約費(fèi)用（原始費(fèi)用）、維持費(fèi)用、收費(fèi)費(fèi)用，以預(yù)定費(fèi)用率為基礎(chǔ)注：現(xiàn)金價值—被保險人年輕時，死亡概率低，投保人交納的保費(fèi)比實(shí)際需要的多，多交的保費(fèi)將由保險公司逐年積累；被保險人年老時，死亡概率高，投保人當(dāng)期交納的保費(fèi)不足以支付當(dāng)期賠款，不足的部分將正好由被保險人年輕時多交的保費(fèi)予以彌補(bǔ)。這部分多交的保費(fèi)連同其產(chǎn)生的利息，每年累積起來，就是保單的現(xiàn)金價值。（二）利息

單利，復(fù)利，終值，現(xiàn)值，年金（三）生命表生命表：根據(jù)一定的調(diào)查時期，一定的國家或地區(qū)范圍，一定的人群類別（如性別分類）等實(shí)際而完整的統(tǒng)計資料，經(jīng)過分析整理，反映某一國家或地區(qū)一定人群的生死狀況。生命表的直觀形式是：折算成以10萬、100萬或1000萬同齡人為基數(shù)的逐年生存或死亡數(shù)字，反映的是在封閉人口條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程中，從而可以計算每個年齡人群的生存和死亡概率。年齡x年初生存人數(shù)lx年死亡人數(shù)dx生存率px死亡率qx3536373897239697138697025596904310281113121213240.9989430.9988540.9987510.9985030.0010510.0011460.0012490.001366生命表的內(nèi)容有：

1、x:當(dāng)年生存者的年齡；

2、lx:年齡為x歲的人的生存人數(shù)；

3、dX：一年內(nèi)的死亡人數(shù)，即在lX人中，從x歲到x+1歲的一年內(nèi)的死亡人數(shù)；

4、pX：生存率，x歲的人到x+1歲時仍然生存的概率；

5、qx：死亡率，x歲的人在達(dá)到x+1歲前的死亡概率；

6、ex:平均余命。（四）純保險費(fèi)計算

基本原理：收付平衡原則，精算現(xiàn)值相等（