浙江省2017年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第23講等腰三角形課件

第23講等腰三角形內(nèi)容索引基礎(chǔ)診斷梳理自測，理解記憶考點(diǎn)突破分類講練，以例求法易錯(cuò)防范辨析錯(cuò)因，提升考能基礎(chǔ)診斷返回知識(shí)梳理11.等腰三角形有兩邊相等的三角形是等腰三角形.(1)性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，底邊上的

線、

線、

線“三線合一”；(2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰三角形.高中頂角的角平分2.等邊三角形有三邊相等的三角形是等邊三角形.(1)性質(zhì)：三邊相等，三內(nèi)角都等于

；(2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.60°3.三角形分類要注意的一個(gè)防范按邊分類時(shí)，一定要注意等邊三角形也是一種等腰三角形，不要把它單獨(dú)分出來.選擇題中經(jīng)常把它作為一個(gè)錯(cuò)誤項(xiàng)出現(xiàn)；按角分類時(shí)，每一個(gè)角都是銳角的三角形才是銳角三角形，只要有一個(gè)角是直角或者有一個(gè)角是鈍角，就能判定它是直角三角形或者是鈍角三角形，但已知兩角都為銳角時(shí)，要計(jì)算出第三角才能作出判定.4.等腰三角形的解答解答等腰三角形的有關(guān)問題時(shí)，常作輔助線，構(gòu)造出“三線合一”的基本圖形.在構(gòu)造輔助線時(shí)，要根據(jù)具體情況而定，表達(dá)輔助線的語句，不能限制條件過多，如“作一邊上的高并且平分這邊”、“作一邊上的中線并且平分這邊”、“作一個(gè)角的平分線并且垂直對邊”等等，這些都是不正確的.1.在△ABC中，其兩個(gè)內(nèi)角如下，則能判定△ABC為等腰三角形的是(

)A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝40°，∠B＝70° D.∠A＝40°，∠B＝80°診斷自測212345C解析在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，∴∠C＝70°＝∠B，∴△ABC為等腰三角形.2.(2015·南寧)如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，則∠C的度數(shù)為(

)1234解析∵在△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－70°＝110°，∵AD＝CD，AA.35° B.40°C.45° D.50°53.(2015·蘇州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD＝35°，則∠C的度數(shù)為(

)1234CA.35° B.45°C.55° D.60°解析∵在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，又∵∠BAD＝35°，∴∠CAD＝35°，∴根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，得∠C＝55°.51234B①若4是腰長，則三角形的三邊長為4、4、8，不能組成三角形；②若4是底邊長，則三角形的三邊長為4、8、8，能組成三角形，周長為4＋8＋8＝20.512345.(2015·陜西)如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線.若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有(

)A.2個(gè) B.3個(gè)C.4個(gè) D.5個(gè)D51234返回解析∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形.∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，51234返回∴△BCD是等腰三角形.∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形，∴∠BED＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形.∴圖中的等腰三角形有5個(gè).5考點(diǎn)突破返回例1

(2015·烏魯木齊)等腰三角形的一個(gè)外角是60°，則它的頂角的度數(shù)是

.考點(diǎn)一等腰三角形有關(guān)角的討論分析等腰三角形一個(gè)外角為60°，那相鄰的內(nèi)角為120°；三角形內(nèi)角和為180°，如果這個(gè)內(nèi)角為底角，內(nèi)角和將超過180°，所以120°只可能是頂角.答案分析規(guī)律方法120°在等腰三角形中，如果沒有明確的底角和頂角，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討論.本題主要考查三角形外角性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；判斷出60°的外角只能是頂角的外角是正確解答本題的關(guān)鍵.規(guī)律方法練習(xí)1答案分析若等腰三角形的一個(gè)角為50°，則它的頂角為

.80°或50°分析已知給出了一個(gè)內(nèi)角為50°，沒有明確是頂角還是底角，所以要進(jìn)行分類討論，分類后還要用內(nèi)角和定理去驗(yàn)證每種情況是不是都成立.當(dāng)該角為頂角時(shí)，頂角為50°；當(dāng)該角為底角時(shí)，頂角為80°.等腰三角形有關(guān)邊的討論考點(diǎn)二例2

(2016·江西)如圖是一張長方形紙片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E為AB上一點(diǎn)，AE＝5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片(△AEP)，使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是

.答案分析規(guī)律方法分析如圖所示，分三種情況討論：①當(dāng)AP1＝AE＝5時(shí)，∵∠BAD＝90°，∴△AEP1是等腰直角三角形，答案分析規(guī)律方法②當(dāng)P2E＝AE＝5時(shí)，∵BE＝AB－AE＝8－5＝3，∠B＝90°，規(guī)律方法在等腰三角形中，如果沒有明確的底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰，必須仔細(xì)分類討論.本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，注意到等腰三角形的三邊關(guān)系只需有兩邊相等即可，在解答時(shí)要注意分類討論，不要漏解.規(guī)律方法(2016·湘西)一個(gè)等腰三角形一邊長為4cm，另一邊長為5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長是(

)A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不對練習(xí)2C分析①當(dāng)4cm為等腰三角形的腰時(shí)，三角形的三邊分別是4cm,4cm,5cm符合三角形的三邊關(guān)系，故周長為13cm；②當(dāng)5cm為等腰三角形的腰時(shí)，三邊分別是5cm,5cm,4cm，符合三角形的三邊關(guān)系，故周長為14cm.答案分析考點(diǎn)三

等腰三角形的性質(zhì)與判定例3

(2016·東莞聯(lián)考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線.(1)用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)答案解以D為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AD于G，交DC于H，分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)N，作射線DN，交AM于F.作圖如右圖所示：(2)設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷△ADF的形狀.(只寫結(jié)果)答案規(guī)律方法解△ADF是等腰直角三角形.理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AF平分∠CAE，∴∠EAF＝∠FAC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠EAC＝2∠EAF＝∠B＋∠ACB，∴∠EAF＝∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD＝∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠FDC＝∠AFD，∴AD＝AF，即Rt△ADF是等腰直角三角形.規(guī)律方法本題考查了基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和推理能力，題目比較典型，難度也適中.規(guī)律方法練習(xí)3答案分析(2016·荊門)如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線.已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為(

)A.5 B.6C.8 D.10C分析

∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AB＝5，AD＝3，∴BC＝2BD＝8.例4

(2016·賀州)如圖，在△ABC中，分別以AC、BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)O，則∠AOB的度數(shù)為

.等邊三角形考點(diǎn)四答案分析規(guī)律方法120°分析如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)H.∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，∴△DCB≌△ACE，∴∠CDB＝∠CAE，∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠AHO，∴∠DCH＝∠AOH＝60°，∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°.規(guī)律方法本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)利用“8字形”證明角相等，屬于中考?？碱}型.規(guī)律方法(2016·內(nèi)江)已知等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三邊的距離之和為(

)練習(xí)4答案分析B返回分析如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝3，點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向三邊AB，BC，CA作垂線，垂足依次為D，E，F(xiàn)，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，連接PA，PB，PC，則S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，返回易錯(cuò)防范返回易錯(cuò)警示系列

23容易出錯(cuò)的等腰三角形問題試題已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，試求∠BAC的度數(shù).錯(cuò)誤答案展示解：如圖1，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝90°.圖1正確解答分析與反思剖析剖析本題考查等腰三角形的性質(zhì)，題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵.做此類題時(shí)要心細(xì)，畫出圖形可以幫我們更好地理解此題.正確解答解：題目中并沒有指明BC是等腰△ABC的底或腰.當(dāng)BC為底時(shí)，可求得∠BAC＝90°；當(dāng)BC為腰時(shí)，還應(yīng)對∠B的大小進(jìn)行討論：①當(dāng)頂角B是銳角時(shí)，如圖2，圖2∴∠B＝30°，∴∠BAC＝∠C