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極點(diǎn)配置基本概念開環(huán)系統(tǒng):(1)
(狀態(tài)反饋)閉環(huán)系統(tǒng):(2)反饋規(guī)律極點(diǎn)配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)的分布情況決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)。所謂極點(diǎn)配置(或稱為特征值配置)就是如何使得已給系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)處于所希望的位置。系統(tǒng)(1)通過狀態(tài)反饋可任意配置極點(diǎn)的充分必要條件是系統(tǒng)完全能控。(對單輸入單輸出和多輸入多輸出均成立)。構(gòu)造狀態(tài)反饋來調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)。單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置開環(huán)系統(tǒng):閉環(huán)系統(tǒng):若希望(給定)閉環(huán)極點(diǎn)為:
狀態(tài)反饋:求實(shí)向量K,使得
單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置1.適合維數(shù)較高,控制矩陣中非零元素較多(4)(5)令(6)求2.適合維數(shù)較低,控制矩陣中只有一個非零元素的情況問題的提出精確的極點(diǎn)配置必須以精確的數(shù)學(xué)模型為依據(jù)由于不確定性及各種擾動的存在,使得精確的極點(diǎn)配置不可實(shí)現(xiàn)精確的極點(diǎn)配置并非是唯一的途徑,將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在復(fù)平面上的一個適當(dāng)區(qū)域,即可保證系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性系統(tǒng)的區(qū)域穩(wěn)定
1.區(qū)域R是以虛軸為邊界的左半平面,則R—穩(wěn)定性即是連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.R—穩(wěn)定性是以直線為邊界的左半平面,則系統(tǒng)的R—穩(wěn)定性即是—穩(wěn)定性。3.如果R是左半平面內(nèi)的某個開圓盤D,則系統(tǒng)R—穩(wěn)定性稱為D—穩(wěn)定性。LMI區(qū)域的描述定義對復(fù)平面中的區(qū)域D,如果存在一個實(shí)對稱矩陣,使得 則稱D是一個線性矩陣不等式區(qū)域(簡記為LMI區(qū)域)。矩陣值函數(shù) 稱為LMI區(qū)域D的特征函數(shù),特征函數(shù)維的Hermite矩陣,表示矩陣是負(fù)定的。是復(fù)數(shù)變量。的取值是和實(shí)矩陣說明:LMI區(qū)域是凸的LMI區(qū)域是關(guān)于復(fù)平面上的實(shí)軸對稱的常見的LMI區(qū)域左半開復(fù)平面相應(yīng)的特征值函數(shù)相應(yīng)的特征值函數(shù)左半復(fù)平面的垂直條形區(qū)域相應(yīng)的特征值函數(shù)
D-穩(wěn)定性分析定義
對復(fù)平面中給定的LMI區(qū)域D和實(shí)矩陣如果實(shí)矩陣A的所有特征值都位于區(qū)域D中,即,則稱實(shí)矩陣A是D-穩(wěn)定的。設(shè)是一個正定矩陣,則它的實(shí)部Re(x)是一個對稱正定矩陣。證明:從(3)定理:給定LMI區(qū)域其中:,使得則實(shí)矩陣是D-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個對稱正定實(shí)矩陣證明:假定存在對稱陣X滿足MD(A,X)<0.設(shè)λ是矩陣A的任意特征值,且有應(yīng)用Kronecker乘積的性質(zhì),可得由MD(A,X)<0和X>0可推出即由于的任意性,根據(jù)D-穩(wěn)定的定義,可得矩陣A是D-穩(wěn)定的,定理得證。D穩(wěn)定性定理的應(yīng)用
LMI區(qū)域?yàn)樽蟀腴_復(fù)平面對于左半開復(fù)平面,其特征函數(shù)是則由D穩(wěn)定性定理,可得,矩陣A的所有特征值均在左半開復(fù)平面的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X,使得Lyapunov不等式
推論給定兩個LMI區(qū)域D1和D2,矩陣A同時是D1-穩(wěn)定和D2-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個對稱正定陣X,使得第三方條形區(qū)域極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器設(shè)計及仿真第二部分條形區(qū)域矩陣A的所有特征值均在h1,h2的垂直條形區(qū)域的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X,使得:成立結(jié)論:對于系統(tǒng),存在增益矩陣K,使得系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到D(h1,h2)區(qū)域的充分必要條件是存在正定對稱矩陣X和矩陣P,使得數(shù)學(xué)模型:履帶車輛懸掛系統(tǒng)實(shí)例仿真對于已知線性定常系統(tǒng)履帶車輛懸掛系統(tǒng)給定希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在h1=-3,h2=-1的條形區(qū)域內(nèi),設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣K,畫出極點(diǎn)分布圖。程序closeall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)未加狀態(tài)反饋矩陣KQ=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(Q);X=dec2mat(Q,xfeas,X);P=dec2mat(Q,xfeas,P);sys=ss(A,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;plot([-3,-3],[-10,10]);plot([-1,-1],[-10,10]);axisequal加狀態(tài)反饋矩陣Kcloseall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);K=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)XYC=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(XYC);X=dec2mat(XYC,xfeas,X);P=dec2mat(XYC,xfeas,P)
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