條形極點配置

極點配置基本概念開環(huán)系統(tǒng)：（1）

（狀態(tài)反饋）閉環(huán)系統(tǒng)：（2）反饋規(guī)律極點配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點的分布情況決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)。所謂極點配置（或稱為特征值配置）就是如何使得已給系統(tǒng)的閉環(huán)極點處于所希望的位置。系統(tǒng)（1）通過狀態(tài)反饋可任意配置極點的充分必要條件是系統(tǒng)完全能控。（對單輸入單輸出和多輸入多輸出均成立）。構(gòu)造狀態(tài)反饋來調(diào)整系統(tǒng)的極點。單輸入系統(tǒng)的極點配置開環(huán)系統(tǒng)：閉環(huán)系統(tǒng)：若希望(給定)閉環(huán)極點為：

狀態(tài)反饋：求實向量K,使得

單輸入系統(tǒng)的極點配置1.適合維數(shù)較高，控制矩陣中非零元素較多（4）（5）令(6)求2.適合維數(shù)較低，控制矩陣中只有一個非零元素的情況問題的提出精確的極點配置必須以精確的數(shù)學(xué)模型為依據(jù)由于不確定性及各種擾動的存在，使得精確的極點配置不可實現(xiàn)精確的極點配置并非是唯一的途徑，將系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在復(fù)平面上的一個適當(dāng)區(qū)域，即可保證系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性系統(tǒng)的區(qū)域穩(wěn)定

1.區(qū)域R是以虛軸為邊界的左半平面，則R—穩(wěn)定性即是連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.R—穩(wěn)定性是以直線為邊界的左半平面，則系統(tǒng)的R—穩(wěn)定性即是—穩(wěn)定性。3.如果R是左半平面內(nèi)的某個開圓盤D，則系統(tǒng)R—穩(wěn)定性稱為D—穩(wěn)定性。LMI區(qū)域的描述定義對復(fù)平面中的區(qū)域D，如果存在一個實對稱矩陣，使得 則稱D是一個線性矩陣不等式區(qū)域(簡記為LMI區(qū)域)。矩陣值函數(shù) 稱為LMI區(qū)域D的特征函數(shù),特征函數(shù)維的Hermite矩陣，表示矩陣是負(fù)定的。是復(fù)數(shù)變量。的取值是和實矩陣說明：LMI區(qū)域是凸的LMI區(qū)域是關(guān)于復(fù)平面上的實軸對稱的常見的LMI區(qū)域左半開復(fù)平面相應(yīng)的特征值函數(shù)相應(yīng)的特征值函數(shù)左半復(fù)平面的垂直條形區(qū)域相應(yīng)的特征值函數(shù)

D－穩(wěn)定性分析定義

對復(fù)平面中給定的LMI區(qū)域D和實矩陣如果實矩陣A的所有特征值都位于區(qū)域D中，即，則稱實矩陣A是D-穩(wěn)定的。設(shè)是一個正定矩陣，則它的實部Re（x）是一個對稱正定矩陣。證明：從（3）定理：給定LMI區(qū)域其中：，使得則實矩陣是D-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個對稱正定實矩陣證明：假定存在對稱陣X滿足MD(A,X)<0.設(shè)λ是矩陣A的任意特征值，且有應(yīng)用Kronecker乘積的性質(zhì)，可得由MD(A,X)<0和X>0可推出即由于的任意性，根據(jù)D-穩(wěn)定的定義，可得矩陣A是D-穩(wěn)定的，定理得證。D穩(wěn)定性定理的應(yīng)用

LMI區(qū)域為左半開復(fù)平面對于左半開復(fù)平面，其特征函數(shù)是則由D穩(wěn)定性定理，可得，矩陣A的所有特征值均在左半開復(fù)平面的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X，使得Lyapunov不等式

推論給定兩個LMI區(qū)域D1和D2，矩陣A同時是D1-穩(wěn)定和D2-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個對稱正定陣X，使得第三方條形區(qū)域極點配置狀態(tài)反饋控制器設(shè)計及仿真第二部分條形區(qū)域矩陣A的所有特征值均在h1，h2的垂直條形區(qū)域的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X，使得：成立結(jié)論：對于系統(tǒng)，存在增益矩陣K，使得系統(tǒng)的極點配置到D（h1，h2）區(qū)域的充分必要條件是存在正定對稱矩陣X和矩陣P，使得數(shù)學(xué)模型：履帶車輛懸掛系統(tǒng)實例仿真對于已知線性定常系統(tǒng)履帶車輛懸掛系統(tǒng)給定希望的閉環(huán)極點配置在h1=-3，h2=-1的條形區(qū)域內(nèi)，設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣K，畫出極點分布圖。程序closeall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)未加狀態(tài)反饋矩陣KQ=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(Q);X=dec2mat(Q,xfeas,X);P=dec2mat(Q,xfeas,P);sys=ss(A,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;plot([-3,-3],[-10,10]);plot([-1,-1],[-10,10]);axisequal加狀態(tài)反饋矩陣Kcloseall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);K=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)XYC=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(XYC);X=dec2mat(XYC,xfeas,X);P=dec2mat(XYC,xfeas,P)