概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章極限定理初步

第五章

極限定理初步§5.1大數(shù)定律大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……■切比雪夫大數(shù)定律設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都有相同的期望和方差,E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,i=1,2,…，則對(duì)任意的ε>0，有切比雪夫大數(shù)定律表明：當(dāng)n無限增大時(shí),n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值幾乎等于常數(shù)因此可用算術(shù)平均值作為μ的估計(jì)1821—1894設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，■伯努利大數(shù)定律1654－1705伯努利大數(shù)定律表明：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n幾乎等于事件A的概率p。因此可用事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)概率的估計(jì)?！?.2中心極限定理

中心極限定理的客觀背景在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.*空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.*如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，*炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，令■獨(dú)立同分布中心極限定理(林德伯格-列維中心極限定理)則Yn的分布函數(shù)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即例1：作加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)四舍五入取整，各個(gè)加數(shù)的取整誤差可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的，都服從(-0.5,0.5)上均勻分布。現(xiàn)在有1200個(gè)數(shù)相加，問取整誤差總和的絕對(duì)值超過10的概率是多少？

高爾頓釘板試驗(yàn)圖中每一個(gè)粉紅點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個(gè)釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有n排釘子,從入口中間處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以1/2的概率滾向左邊,也以1/2的概率滾向右邊.如果n較大,可以看到許多珠子從入口處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示，堆成的曲線近似于正態(tài)分布.分析： 每次碰到第i顆釘子后向左/向右的概率相等都為1/2，則定義變量則X1,…Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量

E(Xi)=0,D(Xi)=1則小球最后的位置 X=X1+X2+…+Xn在n相當(dāng)大的時(shí)候，接近于N(0,n)分布■二項(xiàng)分布中心極限定理(棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理)設(shè)隨機(jī)變量 ，令定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí),服從二項(xiàng)分布的變量X近似服從正態(tài)分布N(np,np(1-p)).則Yn的分布函數(shù)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即棣莫弗1667-1754例1.某互聯(lián)網(wǎng)站有10000個(gè)相互獨(dú)立的用戶，已知每個(gè)用戶在平時(shí)任一時(shí)刻訪問網(wǎng)站的概率為0.2。求在任一時(shí)刻1900~2100個(gè)用戶訪問該網(wǎng)站的概率。例2.甲乙兩個(gè)戲院在競爭1