概率論復(fù)習(xí)二2

概率的性質(zhì)(p15)注意事項但反過來，如果P（A）=0，未必有A=Φ概率的有限可加性注：一般減法公式P(B－A)=P(B)－P(AB)。同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.條件概率

乘法公式

全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用。綜合運用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0樣本空間的劃分（互斥完備事件組）全概率公式p20全概率公式例1:某商店從三個廠購買了一批燈泡,甲廠占25%,乙廠占35%,丙廠占40%,各廠的次品率分別為5%,4%,2%,求消費者買到一只次品燈泡的概率解以B表示“消費者買到一只次燈泡”,A1,A2,A3分別表示買到的燈泡是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的燈泡，根據(jù)題意得：P(A1)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=2%根據(jù)全概率公式有：稱此為貝葉斯公式.

貝葉斯公式貝葉斯資料逆概公式——執(zhí)果索因例：用血清蛋白法診斷肝癌，設(shè)C表示“被檢驗者患有肝癌”A表示“被檢驗者被判斷患有肝癌”。由臨床觀測發(fā)現(xiàn)，對于肝癌者，此法準(zhǔn)確率高達95%，即P(A|C)=0.95；對于非肝癌患者，此法準(zhǔn)確率也高達90%，即已知肝癌患病率為萬分之四，即P(C)=0.0004,現(xiàn)有一人被此檢驗法診斷為患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率P(C|A)解：由貝葉斯公式1.條件概率全概率公式貝葉斯公式乘法定理

事件A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響可視為事件A與B相互獨立.定義:則稱事件A與事件B相互獨立設(shè)A,B為兩事件,若2.兩個事件相互獨立的性質(zhì)性質(zhì)1.

A,B獨立獨立獨立獨立.性質(zhì)2.

A、B兩個事件獨立，則第二章隨機變量及其分布定義：設(shè)X為一隨機變量,則對任意實數(shù)x，(X≤x)是一個隨機事件，稱為隨機變量X的分布函數(shù)定義域為（－∞，＋∞）；值域為［０，１］。分布函數(shù)的定義例:

設(shè)隨機變量X只取兩個值0和1，且P(X=1)=p，P(X=0)=q,

(

p

+

q

=1,0<p<1),試求X的分布函數(shù).解分布函數(shù)的求法綜上所述,X的分布函數(shù)為o1x1-p1例解綜上所述,X的分布函數(shù)為1.定義則稱X

為離散型隨機變量.XP或若隨機變量X的可能取值為：離散隨機變量的分布列若隨機變量X

的可能取值是有限個或可列個,

稱上述公式或表格為r.v.X

的概率分布或分布列.或2.分布列的性質(zhì)反之，若一個數(shù)列滿足（1）（2），它也可以作為某一個r.v.的分布列。離散型隨機變量的分布兩點分布均勻分布二項分布泊松分布幾何分布超幾何分布二項分布泊松分布兩點分布一、連續(xù)型r.v.的概率密度定義及性質(zhì)1.定義

設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在一個非負(fù)可積函數(shù)p(x),

使得則稱X是連續(xù)型r.v.，稱p(x)為r.v.

X的概率密度（密度函數(shù)）(p.d.f.).

(2)規(guī)范性2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)非負(fù)性

p(x)0，(-<x<)；注1:

對滿足上述兩條性質(zhì)的任意函數(shù)必是某一隨機變量的密度函數(shù).注2:利用密度函數(shù)可以求事件的概率(1)求A,(2)X的分布函數(shù)F(x),(3)例1：已知隨機變量X的概率密度為解:(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)有（2）（3）二、幾個常用的連續(xù)型分布則稱X在[a,b]內(nèi)服從均勻分布。記作X~U[a,b].

1.均勻分布

U(a,b)若r.v.X的p.d.f.為2.指數(shù)分布

則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布,記作X~E().若r.v.X的p.d.f.為定義例：某種晶體管壽命服從參數(shù)為1/1000的指數(shù)分布(單位：小時)。某電子儀器裝配有此晶體管5個，并且每個晶體管損壞與否相互獨立。求此電子儀器在1000小時內(nèi)恰好有兩個晶體管損壞的概率。解：設(shè)Xi表示第i只晶體管的壽命,（i=1,2,3,4,5）則Xi的密度函數(shù)為則以Y表示5只晶體管中壽命不小于1000小時的只數(shù)，則

正態(tài)分布(或高斯分布)注意:特別當(dāng)

可以得到一種重要的正態(tài)分布－－標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)分布函數(shù)例設(shè)X～N(108,9),計算解：（2）求常數(shù)a,使（3）求常數(shù)a,使查表得：例設(shè)X～N(108,9),計算解：（2）求常數(shù)a,使（3）求常數(shù)a,使即查表得：隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)隨機變量X的分布列為求Y=2X2+1的分布列．解例由題設(shè)可得如下表格X－1012pk

0.20.30.40.1x-1012Y=2x2+13139P0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的分布列為Y

139pk

0.30.60.1設(shè)X為一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為p(x)。y=g(x)為一個連續(xù)函數(shù)，求隨機變量Y=g(X)的概率密度函數(shù)(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)根據(jù)分布函數(shù)的定義(2)對FY(y)求導(dǎo)，得到pY(y)

連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布一般方法此法也叫“分布函數(shù)法”.例.設(shè)R.v.X的密度函數(shù)為求的密度函數(shù)。解：例

已知

X~N(0,1),解：

(1)先求Ｙ分布函數(shù)當(dāng)y<0時，F(xiàn)Y(y)=0；當(dāng)y≥0時，[yy[][(2)故第三章隨機向量及其分布定義

設(shè)二維r.v.(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),若存在非負(fù)可積函數(shù)p(x,y),使得對于任意實數(shù)x,y有：

則稱p(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)簡稱概率密度函數(shù)簡記

p.d.f.1.二維連續(xù)r.v.聯(lián)合概率密度的定義及性質(zhì)四、二維連續(xù)型隨機變量除p.d.f.的一般性質(zhì)外還有下述性質(zhì)2.性質(zhì)(3)(4)注:利用(X,Y)的概率密度函數(shù),可以求事件的概率若G是平面上的區(qū)域，則例:設(shè)r.v.(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)求（1）常數(shù)c,（2）聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)

（3）P(YX).解：（1）由二維連續(xù)型隨機變量的邊緣密度函數(shù)1.定義:我們把分量X及Y的密度函數(shù)稱為二維隨機變量(X,Y)關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù).分別記為2.求法:例

設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解：X的邊緣密度為Y的邊緣密度為第四章

隨機變量的數(shù)字特征和特征函數(shù)1.r.v.取值的平均值——數(shù)學(xué)期望2.r.v.取值離開平均值的偏離程度—方差3.描述兩個r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容:數(shù)學(xué)期望，記作

E(X),即設(shè)連續(xù)型r.v.X

的p.d.f.

為若廣義積分為X的數(shù)學(xué)期望記作E(X),

注：連續(xù)型r.v.的數(shù)學(xué)期望E（X）同樣描述了X取值的平均值，它是一個數(shù)不再是r.v.（1）定義連續(xù)型r.v.的數(shù)學(xué)期望否則,稱E(X)不存在.絕對收斂,則稱此積分即分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布常見r.v.的數(shù)學(xué)期望小結(jié)：1.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)

X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（以下設(shè)ＥＸ，ＥＹ存在）3.設(shè)

X,Y是兩個隨機變量,則有4.設(shè)

X,Y是相互獨立的隨機變量,則有定義：若存在,則稱其為隨機稱DX為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記作方差的定義

即變量X的方差,

記為DX或

Var(X)注1：方差非負(fù)，即DX0,把注2：DX描述r.v.X的取值偏離平均值的偏離

程度.分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X

是一個隨機變量,C是常數(shù),則有(3)設(shè)X,Y相互獨立,D(X),D(Y)存在,則定理

設(shè)r.v.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=，方差為DX=2，則對于任意實數(shù)>0,有切比雪夫(chebyshev)不等式注：chebyshev不等式的等價形式稱為X,Y的協(xié)方差.記為

COV(X,Y)

(１)利用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).3.計算

定義

若

(X,Y)為二維離散型，