黃方程-宏觀極化

3-4.三維格波的振動譜：

格波的色散關系，即q~ω關系稱晶格的振動譜?？梢酝ㄟ^實驗測量（中子非彈性性散射），也可以理論計算（固體理論).固體很多性質與晶格振動譜有關。

Si：q為矢量，總是固定q的方向作圖，q一般沿對稱軸方向，繞軸旋轉π/2，π，π/3是對稱操作。格波分為縱波和橫波。a.長聲學波橫波和縱波有不同速度b.長光學波縱波和橫波有相同的頻率Si

GaAs:橫波二重兼并長光學波有不同的頻率，離子性結果，離子性越大，差別越大

只有聲學波，扭折為晶格與電子偶合結果GaAs3-5離子晶體的長光學波光學波中，原胞中不同的原子相對地作振動晶格中的聲學波中相鄰原子都沿同一方向振動——正負離子組成的晶體，長光學波使晶格出現宏觀極化——波長很長的光學波：長光學波——波長很長的聲學波：長聲學波

——聲學波代表原胞質心的振動——光學波表示原胞中相鄰原子做反位相振動波長——原胞的線度§3.5離子晶體的長光學波

光學波中，原胞中不同的原子相對地作振動晶格中的聲學波中相鄰原子都沿同一方向振動——對于正負離子組成的晶體，長光學波使晶格出現宏觀極化——長聲學波代表原胞質心的振動——長光學波表示原胞中相鄰原子做反位相振動波長——原胞的線度01/121.長光學波的宏觀方程

——考慮兩種正負離子組成的復式格子因此長光學波稱為極化波——半波長內，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負離子組成的布喇菲原胞反向位移

——使晶體中出現宏觀的極化原胞中的兩個正負離子質量兩個正負離子偏離的位移選取描述長光學波運動的宏觀量黃昆方程——宏觀極化強度和宏觀電場強度——原胞體積由動力學系數的對稱性：——正負離子相對運動位移產生的極化和宏觀電場產生的附加極化——離子相對運動的動力學方程恒定電場下1)靜電場（）下晶體的介電極化

和比較因為2)高頻電場下晶體的介電極化

電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率在長光學波下有——橫長光學波的頻率——晶體中存在長光學縱波(LO)和長光學橫波(TO)——長光學縱波聲子稱為極化聲子(LO)，長光學縱波伴隨有宏觀的極化電場，極化聲子_______縱光學聲子——長光學橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場，電磁聲子(TO)，長光學橫波具有電磁性，可以和光場發(fā)生耦合

四、離子晶體的光學性質

正負離子的相對振動產生的電偶極矩可以和電磁波相互作用，引起在遠紅外區(qū)域的強烈吸收。因此在用唯象方程討論這種光吸收現象時，應在方程中引入表達能量損耗的耗散項。代入唯象方程得到：

考慮

形式解代入方程得到：即：（1）吸收功率正比于介電函數的虛部。（3）橫電磁波激勵橫光學格波。

將前面求得的

代入并和

比較可以得

到：

，其中介電函數的實部和虛部分別為：

（2）在

處出現一個吸收峰，峰的半高寬度為

五、極化激元

前面的討論僅考慮了庫侖力的作用，實際上振動的偶極子會產生交變的電磁場，因此嚴格求解應該是利用麥克斯韋方程組和唯象方程。研究對象即為晶格的長光學振動和電磁場相耦合的系統(tǒng)?？紤]時諧場即；

，代入并整理可以得到：

（1）縱波：

，可以得到

（2）橫波：

，可以得到：

最后可以得到：

討論：以上結果是考慮了格波與電磁波的耦合得到的新的耦合波模式。

這是低頻電磁波（低于晶格振動頻率）；即晶體中的縱光學波，是純的振動模式。

（1）當

時

（4）在

是禁止區(qū)，電磁波不能在晶體中傳播。

，這是高頻電磁波。

，也是純的格波模式；

（2）當

時

（3）在

和

與

和

相交的區(qū)域附近，耦合很強，出現的是電磁波與格波的混合模式。

兩種正負離子組成的復式格子_立方晶體長光學波—極化波半波長內，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負離子組成的布喇菲原胞反向位移晶體中出現宏觀的極化1.宏觀方程的建立-黃方程考慮兩種不同離子(正負離子)的雙離子晶體晶體，以立方晶體為例。每個原胞包含一對正負離子：質量分別用M+和M-

位移矢量：原胞體積為Ω黃先生選擇了用作為描述長光學波運動的宏觀參量，定義：

其中：為約化質量，建立了宏觀方程：分別是宏觀極化強度和宏觀電場強度。第一個是折合質量位移的運動方程第二個表示由于長光學波伴隨著離子晶體的極化，晶體出現宏觀極化強度這是黃1951年研究光學波的長波近似時首先引進的,稱黃方程優(yōu)點：用宏觀內場代替了對離子間長程庫侖力的求和，使問題大大簡化

只要知道了黃方程中的4個系數，并利用與之間的電磁學關系，就可以求出長光學波的頻率。上述4個系數不是獨立的.可以證明：

上述唯象方程中的系數可通過實驗確定為把唯象方程系數b12,b11,b22與晶體可測宏觀參量—介電常數聯系起來1）靜電場正負離子的位移恒定，

代入（2）得：

靜電學中：

其中ε0為真空電容率，ε(0)為靜態(tài)介電常數。則：（2）高頻電場情形下的介電極化電場的頻率遠高于晶格振動的頻率,晶格跟不上電場的變化，則：

其中為高頻介電常數。得2.宏觀方程的求解：長光學波的橫波頻率ωTO和縱波頻率ωLO考慮帶電離子的晶格振動時，必須考慮它們之間的電磁相互作用，一般只限于它們之間的庫侖作用。對于長光學波，可以用以上的唯象方法求解晶格振動。在宏觀理論中，將靜電方程與唯象方程的介電極化結合起來,就相當于考慮了電荷之間的庫侖作用.

各向同性介質中長光學波橫波與縱波的振動在長波限下,離子晶體可看作連續(xù)介質,振動模分為橫波T和縱波L

橫波：縱波：顯然：電場滿足靜電方程：對黃方程取旋：對方程取散：對方程取散：

則：

從LST關系可以得到一些重要結果：ωLO>ωTO從LST關系可以得到一些重要結果：（1）ωLO>ωTO

ε是電子極化和離子極化兩者的貢獻。ε(0)是兩者的貢獻，高頻下離子的貢獻可以忽略，則:ωLO>ωTO

物理機理：a縱向極化：正負離子晶格相對運動，產生極化電場,增大了晶格振動的恢復力，使ωLO增大。

b.橫向極化：電場不增加恢復力

ωLO>ωTO

+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+++--++----++--++++--++----++--++E(2).對非離子晶體,不存在極化電場

ωLO=ωTO(3).由于ωLO的增大是極化電場的作用,電場的作用力與有效電荷q有關,q越大,力越大,ωLO與ωTO的差別越大.

用（ω2LO-ω2TO）可以估算有效電荷的量。

(4).對某些介電晶體，溫度T降低,ωTO減小,由于

ωLO>ωTO，在某些溫度，ωTO0。由于：表明晶體出現了自發(fā)極化，晶體變?yōu)殍F電相。解釋鐵電相的產生時，人們用了LST關系。

ωTO0，表示離子偏離自己的平衡位置后,不再受倒恢復力,于是晶格過渡到新組態(tài),發(fā)生了相變—稱軟模相變。(軟彈簧)

3.*長光學波振動的原子理論

唯象模型、唯象方程討論了離子晶體長光學波的振動,從一般的原子理論角度也可以得到唯象方程.

離子晶體的極化有兩個方面的貢獻:(a)原胞中正、負離子的相對位移，有電偶極矩：

q*表示有效電荷。由于是長光學波，在很大范圍內u+,u-分別看成是相同的。宏觀極化強度：

Ω原胞體積。

(b)正負離子本身在外電場作用下也會發(fā)生極化變化(電場影響電子軌道,使電子云發(fā)生畸變).極化電偶極矩正比與電場:

α+，α-表示正負離子的極化率，表示作用在它上的有效電場，長波時，相應的宏觀極化強度:總的極化強度：

固體中一個原子(離子)極化時，不僅要考慮外界電場,還要考慮其它離子所產生的電場，有效電場不等于宏觀電場對各向同性介質（立方體），圍繞一個原子半徑為R的球體，球內離子產生的電場恰好抵消，球外可看作連續(xù)介質，球表面各處的極化強度P相等，球面面電荷在球心處產生的電場為：

表示宏觀電場強度，稱退極化場。將代入得則：黃方程為：比較:

同樣，先分別寫出正負離子的運動方程：

K是正負離子間的彈性恢復力系數，兩式分別乘以M-,M+相減得：將代入：黃方程：

比較得：這樣就建立黃方程?？闯鳇S方程的簡捷。4.離子晶體的光學性質：

離子晶體的長光學波對材料光學性質起重要作用。不同離子相互作用，產生電偶極矩，可以與電磁波相互作用。電磁波只與波數相同的格波作用（動量守恒），如果具有相同的頻率就可以發(fā)生共振。光波的色散關系：

ω=c0q

圖中ω=c0q與ω+(q)的交點o，相當于共振情況。彈性波波速ω~q斜率相差很大。與光波共振的格波一定是q0的格波。實際晶體的長光頻譜ω+(0)在1013~1014/s，為遠紅外區(qū).離子晶體對遠紅外光有強烈的吸收和反射。ω=c0qo

用唯象方法來討論這一現象。在唯象方程中引入耗散項，方程為：右邊第一項是彈性恢復力,第二項是電場力,第三項是討論吸收時引入的耗散項。相當于討論晶格的受迫振動，γ是一正值系數。取復數形式的解：

代入方程得：則：結果代入黃方程得：將帶入，并利用：得到介電常數可以分為實部和虛部：iγω為晶格振動貢獻在介質中，極化強度的定義：即單位體積的電偶極矩。極化強度的變化：反映電荷位移的變化。為電流元。

極化強度隨時間的變化為電流密度，則：將代入，得：在吸收介質中電流j分為兩部分：一部分與電場位相差90o,另一項與電場同相位。前者稱極化電流，后者稱位移電流。

極化電流與位移電流位相差90o,在一個周期中電場做的功為0，因而不消耗電磁場能量。傳導電流與電場同相位,具有的形式，所以要消耗電磁場的能量。復介電常數在介質中產生的電流一部分與電場同相位，造成對電磁場能量的損耗，而電磁場能量的損耗正是介質所吸收的能量，與吸收功率之間存在著內在聯系，這正是用復介電常數可以描述光吸收的實質所在。實際中γ很小在附近有一個突出的峰值，表明能量消耗主要集中在附近，稱共振吸收。

這是由于橫波的光波激勵了橫光學波（TO）格波所致。復介電常數與復折射率的關系：則：

反射系數：可以證明，如果一種固體強烈吸收某一光譜范圍的光，它就能夠有效反射同一光譜范圍的光（沒有吸收，也沒反射）。許多離子晶體在紅外區(qū)對光有強烈的選擇吸收和反射，該現象被人們用來產生單色的長紅外線。5.極化激元（極化聲子）在離子晶體或極性半導體中，橫光學波具有電磁性當電磁波入射倒晶體表面時，電磁波與橫光學波發(fā)生偶合，這種偶合的量子稱極化激元。它的色散關系不同于光（電磁場），也不同于格波。但電磁波可以與各種電磁性的元激發(fā)相互作用：類等離子體極化激元，類激子極化激元，類聲子極化激元，類表面聲子極化激元等。上面討論了離子晶體的晶格振動引起介質的極化，格波是介質里的極化波，當光照射晶體時，光波的橫向電場必然與橫光學波的格波偶合。正如同在力學中振動一樣，兩個相互偶合振子的振動狀態(tài)與單個振子的不一樣，偶合波的性質也與原來波的不一樣。前面討論中認為,電場只是庫侖作用引起的,限定實際離子晶體長波伴隨著交變電磁場，特別是橫波.嚴格的理論應用麥克斯韋方程代替靜電方程用偶合波的概念來考察晶體中格波與光波作用是1951年黃先生提出的概念。后來證明不僅格波，離子振蕩，激子，自旋波等都有類似的現象，通稱極化激元。把電磁方程和晶格的唯象方程結合以后，實際研究的對象成為晶格的長光學波振動和電磁場相偶合系統(tǒng)，通過求解得到的振動模實際上代表了格波與光波的偶合振動模。可以寫出光波的麥克斯韋方程組和晶格的唯象方程：

解的形式：將解代入方程：將代入得：

分兩種情況：（1）縱波

得到（2）橫波

由得：相互垂直

則：由得：

聯立得：利用，并代入b11，b12，b22得：得到關于極化激元得兩支解，從中可以得到兩支色散關系。（1）當時這時對根號項近似得：近似為低頻電磁波。（2）當q很大時，一般：顯然，這兩支色散曲線不同于光子的色散曲線，也不同于晶格橫光學波的色散曲線，主要有以下特點:q而兩支解在之間存在一禁區(qū)，不存在這個頻率之間的解，這種頻段的光在晶體中不能傳播(b)當時的一支就是介質中速度為的電磁波(光波),這個頻率低于晶體振動頻率；而的解就趨于頻率為的LO聲子，頻率就是縱光學波的頻率。這時光聲偶合弱，是純光模，是純聲模。(c)q很大時,為無偶合的純晶格振動模，而為速度為的電磁波。是純聲模，是純光模q（d）在q的中間區(qū)域，光—聲偶合強，這是既不是光子，也不是聲子，而是光—聲偶合振動模。這種情況與彈簧連起來的兩個諧振子系統(tǒng)很相似。雖然兩個振子在無偶合時各有自己的頻率，但當彈簧偶合后，它們不再獨立振動，共同頻率既不是又不是而是兩者的偶合頻率。３-6確定振動譜的實驗方法

晶格振動的ω～q關系，稱格波的色散關系，也稱晶格振動譜。原則上聲子對X-ray、光子和中子的散射可以通過入射波的非彈性散射反映，測量散射束可以得到聲子信息。x-ray能量104eV,聲子能量～0.01eV,散射后的能量變化忽略.中子能量0.02～0.03eV，與聲子能量同數量級，其得布洛依波長２~3?，與晶格常數同數量級，是研究晶格振動譜得有力手段。光散射只能測量少數振動模。１.實驗原理當中子入射到晶體上時，格波的振動可以引起對中子的非彈性散射。當波矢，頻率為ω的格波散射中子時，引起:

中子動量的改變?yōu)椋耗芰康母淖儯悍菑椥陨⑸淇梢钥醋鳌奥曌印钡奈蘸桶l(fā)射，+,-就表示聲子的吸收和發(fā)射。

按照德布洛依關系，可看作與晶格振動相聯系的動量，常稱“準動量”（不代表真實動量,只是作用類似于動量）?？傊?，中子與晶格相互作用滿足能量和動量守恒。

設中子的質量為Mn，入射的動量為P，出射時的動量P’，則

3.實驗裝置及實驗結果

經典的中子散射譜儀的結構如圖。中子源出射的中子經單色器(單晶Bragg散射)后，動量為能量為，入射到樣品上，散射后出射中子動量為P’,則用動量和能量守恒關系得到聲子的色散關系.

該工作始于20世紀

50年代初，當時中子源流量為:109~1012/cm.s,

直到80年代，中子源流量達到~1014/cm.s,

這種方法才普遍應用。單色器中子源準直器樣品探測器分析器

4.聲子對光子的非彈性散射

光子入射到晶體中時，受晶格散射，有兩種過程：

Stocks和反Stocks過程

光與聲子的相互作用同樣滿足動量守恒和能量守恒?？梢姽獾牟ㄊ冈趡105cm-1的量級，所得得晶格振動譜只能測長波限的很小一部分的聲子。光與聲學聲子的散射稱布里淵區(qū)散射。光與光學聲子的散射稱Raman散射。光散射與中子散射相比，其可測量范圍太小，但Raman散射常用來研究介質與光相互作用的聲子的信息，從而獲得材料的信息。入射光子ω1出射光子ω1-ω聲子q(ω)入射光子ω2聲子q(ω)出射光子ω2+q(ω)3-7局域振動理想晶體尺寸趨于無窮大，其本征振動模是一系列格波，每一個格波描述晶體中所有原子集體運動，因此格波振動模廣延于整個晶體中，當晶體存在一些雜質和缺陷時，晶體偏離完整晶體，這時雜質或缺陷附近引起局域的振動。

顯然，局域振動局限于雜質或缺陷附近，隨著離開雜質距離的增加而迅速衰減。局域振動分析很復雜，只作定性討論。

上上世紀末，瑞利研究聲學時，研究過類似的問題：如果在一個彈簧聯結起來的質點系統(tǒng)中，把質量為M的粒子換成一個質量為M+δM的粒子，這時系統(tǒng)的簡正振動頻率會發(fā)生什么變化？

Rayleigh結論:（1）如果δM<0，每個簡正頻率都提高一些，特殊的是在帶頂頻率超出了Δv，當系統(tǒng)中總粒子數很大時，Δv與粒子數N無關，隨(δM)2變化，與這種振動相對應的是一種局域模。

(2）如果如果δM>0，每個簡正頻率降低，局域模出現在帶內

Rayleigh得到：