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文檔簡介
結(jié)構(gòu)動力學(xué)與振動
MechanicalDynamicsandVibration
諶勇
chenyong@
34206332-818
董興建donxj@
34206332-818EM206辦公室機(jī)械樓A樓818/818室第一章單自由度系統(tǒng)基礎(chǔ)知識單自由度自由振動單自由度強(qiáng)迫振動任意激勵下的響應(yīng)正弦函數(shù)的描述正弦函數(shù)的描述簡諧運(yùn)動可由長度為A且以固定的角速度旋轉(zhuǎn)的向量來表示例子求兩個簡諧運(yùn)動的和方法1:三角函數(shù)法方法2:矢量運(yùn)算法例子根據(jù)矢量加法的幾何表示可求得合矢量為:復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算方法3:復(fù)數(shù)方法例子分別表示為復(fù)數(shù)形式后再按復(fù)數(shù)的加減法規(guī)則:Mass-mStiffness-k不論采用什么方法,單自由系統(tǒng)的運(yùn)動方程最終可以歸結(jié)為一個二階常微分方程組NotdrivenbyexternalforceLetthen代入方程,可以得到且:固有圓頻率所以,解的一般形式可以寫成(1)單自由系統(tǒng)的解特征值特征方程求
c1
和
c2
c1
和c2
是和初值相關(guān)的常數(shù),可有x(0)and
得到簡諧振動withand簡諧振子(2)固有頻率的討論∵∴固有頻率固有周期固有圓頻率速度、加速度通過簡單的微分關(guān)系,可以從振動位移求得振動速度及加速度Position,velocityandaccelerationofaharmonicoscillatorPosition,velocityandaccelerationofaSHMasphasors能量關(guān)系系統(tǒng)的
動能T隨時間的變化規(guī)律可寫為系統(tǒng)的
勢能U
隨時間的變化規(guī)律可寫為系統(tǒng)的總能量可以寫為自由振動的特點(diǎn)ΦΦ黏性阻尼系統(tǒng)的解令得到特征方程兩個特征根對應(yīng)的解解的一般形式臨界阻尼與阻尼比當(dāng)阻尼滿足,稱為系統(tǒng)的臨界阻尼無量綱量稱為阻尼比,此時有:解的一般形式(量綱:牛頓·秒/米)欠阻尼系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)的阻尼小于其臨界阻尼,稱為欠阻尼系統(tǒng)。即:為負(fù)數(shù)通解可寫成初始條件為任意常數(shù)給定初始條件可求得解的具體形式為常數(shù)可寫為(圖中)欠阻尼系統(tǒng)的時域曲線即為阻尼振動的角頻率阻尼增大頻率變??!根據(jù)初始條件有:臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)的兩個根相等,即:通解為此時,稱為臨界阻尼系統(tǒng)()過阻尼系統(tǒng)稱為過阻尼系統(tǒng)。其兩個實(shí)根通解為當(dāng)由初始條件可得:不同阻尼系統(tǒng)響應(yīng)臨界阻尼是使系統(tǒng)作非周期運(yùn)動的最小阻尼!根軌跡(反映了特征方程的根隨阻尼變化的規(guī)律)相軌跡對數(shù)衰減系數(shù)定義:任意兩個相鄰的振幅之比的自然對數(shù)定義t1和t2
為兩個連續(xù)的振幅相對應(yīng)的時間,則有則有因?yàn)樗粤瞀?/p>
稱為“對數(shù)衰減系數(shù)”或“對數(shù)衰減率”小阻尼情形有對數(shù)衰減率與阻尼比之間的相互關(guān)系為對數(shù)衰減率與阻尼比(用于實(shí)驗(yàn)測試阻尼)也可通過任意m個整數(shù)周期的位移來求得,∵∴則有:當(dāng),二、有阻尼情形運(yùn)動方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動方程得用三角函數(shù)公式展開令兩邊同諧波項(xiàng)相等幅頻特性相頻特性穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題!!全解!無量綱化振幅放大系數(shù)(幅值比)式中:卷積積分非周期變化的激振力大小是隨著時間變換的,最簡單的非周期激振力即為沖擊力-------幅值大但作用時間短當(dāng)沖擊力很短時,則可根據(jù)沖量定理更一般的沖量表達(dá)形式為則單位沖量定義為沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在t=0時受到一個單位沖量作用:對沖量的響應(yīng)對于欠阻尼系統(tǒng),其運(yùn)動方程為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為其中對沖量的響應(yīng)如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止,即則系統(tǒng)的初始條件變?yōu)橄到y(tǒng)的響應(yīng)為我們有:稱為
單位脈沖響應(yīng)函數(shù)對沖量的響應(yīng)如果沖量的大小是而不是1,那么初始速度變?yōu)榇藭r系統(tǒng)的響應(yīng)成為沖量及響應(yīng)如右圖所示。如果沖量是作用在任意時刻處,則該時刻速度變化為。假設(shè)沖量作用前,則系統(tǒng)響應(yīng)為脈沖發(fā)生的時刻對任意外力的作用,可將任意力看成是一系列大小變化的沖量組成的。對一般力的響應(yīng)假設(shè)在時刻,力在很短的時間作用在系統(tǒng)上,則在這一時刻的沖量就是,對于任意時刻,沖量發(fā)生的時間為,則該沖量在時刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為:則系統(tǒng)在
t
時刻的總響應(yīng)等于之前所有時刻的微沖量引
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