第三章向量線性關(guān)系秩

第三章向量組的線性相關(guān)性

本章引入n維向量的概念,討論向量組的線性相關(guān)性,建立向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩的概念,并給出矩陣秩的概念及其與向量組秩的關(guān)系.§1n維向量及其運(yùn)算

定義3.1由n個(gè)數(shù)a1,a2,…,an組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為n維向量，記為或

組成向量的數(shù)稱為向量的分量,ai

稱為向量的第i個(gè)分量.分量全是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量,分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.線性代數(shù)只討論實(shí)向量.

如果兩個(gè)向量維數(shù)相等且對(duì)應(yīng)分量都相等稱它們相等.

分量都是零的向量稱為零向量,記為0.

將向量的分量都改變符號(hào)得到的向量,稱為向量的負(fù)向量,記為-.

定義中兩種形式分別稱為行向量和列向量,

也可以分別看成1n矩陣和n1矩陣,向量可以按矩陣運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行相應(yīng)運(yùn)算,于是列向量也可寫(xiě)成：=(a1,a2,…,an)T.

常用的向量運(yùn)算是向量的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算,統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算,完全按矩陣運(yùn)算處理,所以滿足:(ⅰ)交換律：+=+(ⅱ)結(jié)合律:(+)+=+(+)(ⅲ)+0=(ⅳ)+()=0(ⅴ)1=(ⅶ)數(shù)的分配律：(k+l)=k+l(ⅷ)向量的分配律：k(+)=k+k.(ⅵ)結(jié)合律：(kl)=k(l)

所有n維列(行)向量的全體,對(duì)其上所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算,構(gòu)成了一個(gè)n維線性空間,或稱向量空間.

在解析幾何中,曾引進(jìn)向量的數(shù)量積

xy=|x||y|cos且在直角坐標(biāo)系中，有

定義3.2設(shè)有n維向量=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T,令

但n維向量沒(méi)有3維向量那樣直觀的長(zhǎng)度和夾角的概念,我們可以按數(shù)量積的直角坐標(biāo)計(jì)算公式來(lái)推廣,先定義n維向量?jī)?nèi)積的概念,反過(guò)來(lái)定義n維向量的長(zhǎng)度和夾角.

[,]=a1b1+a2b2+…+anbn稱[,]為向量與的內(nèi)積.

內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算,其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).內(nèi)積也可以用矩陣運(yùn)算表示,當(dāng)與都是列向量時(shí),有,而且,僅當(dāng)=0時(shí),[,]=0.

內(nèi)積具有下列性質(zhì)(其中,,

為n維向量,k為實(shí)數(shù)):[,]=T=T。利用這些性質(zhì)還可以證明Schwarz不等式:

下面定義n維向量的長(zhǎng)度和夾角。

當(dāng)||=1時(shí),稱為單位向量.為向量的長(zhǎng)度(或范數(shù)),記為||或‖‖.

由Schwarz不等式,對(duì)任意非零向量和都有

定義3.3設(shè)n維向量=(a1,a2,…,an)T,稱非負(fù)實(shí)數(shù)

當(dāng)≠0時(shí),是與同方向的單位向量.

可見(jiàn),[,]=0,于是有

為向量和的夾角.

定義3.4對(duì)任意非零向量,,稱

定義3.5若[,]=0,則稱向量與正交.向量與的內(nèi)積[,]也可以表示成：[,]＝||||cos<,>§2向量組的線性相關(guān)性

若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或行向量)組成的集合叫做向量組.

如:m×n

矩陣A=(aij)對(duì)應(yīng)n個(gè)m維列向量向量組1,2,…,n稱為A的列向量組.

即A=(1,2,…,n).

m×n

矩陣A=(aij)也對(duì)應(yīng)m個(gè)n維行向量……………

1=(a11,a12,…,a1n),

2=(a21,a22,…,a2n),

m=(am1,am2,…,amn),向量組1,2,…,m,稱為矩陣A的行向量組,即反之,由有限個(gè)向量組成的向量組也可構(gòu)成一個(gè)矩陣.

線性方程組Ax=b也可以用向量表示成:

x11+x22+…+xnn=

定義3.6對(duì)向量和向量組:1,2,…,n,若存在一組數(shù)k1,k2,…,kn,使:=k11+k22+…+knn,則稱向量可由向量組1,2,…,n線性表示,也稱向量是向量組1,2,…,n的線性組合.其中,1,2,…,n是矩陣A的列向量組,＝b.

例1

設(shè)T=(2,1,0,1),1T=(1,1,0,0),2T=(0,1,0,1),3T=(1,0,0,1),問(wèn)能否由向量組1,2,3線性表示.

解設(shè)=k11+k22+k33,即

(2,1,0,1)=(k1k3,k1+k2,0,k2+k3)于是有解得:k1=1,k2=2,k3=1.即=1223所以向量可由向量組,

2,3線性表示.

表示式也可寫(xiě)成

一般地,對(duì)列向量,=k11+k22+…+kss

可寫(xiě)成

對(duì)行向量,=k11+k22+…+kss

可寫(xiě)成

定義3.7若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使:k11+k22+…+kss=0則稱向量組1,2,…,s線性相關(guān),否則稱線性無(wú)關(guān).只有當(dāng)k1,k2,…,ks全為零時(shí)才成立.k11+k22+…+kss=0

可見(jiàn)向量組1,2,…,s線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是:

例2

討論向量組

1T=(1,1,0,0),2T=(0,1,0,1),3T=(1,0,0,1)的線性相關(guān)性.

解設(shè)k11+k22+k33=0

,即

(k1k3,k1+k2,0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得:k1=k2=k3=0.

所以1,2,3線性無(wú)關(guān).

例3討論向量組

1T=(1,1,2),2T=(0,1,1),3T=(2,3,3)的線性相關(guān)性.

解設(shè)k11+k22+k33=0

,即

(k1+2k3,k1+k2+3k3,2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得:k1=2k2=2k3.比如取k1=2,則有21+2

3=0

所以1,2,3線性相關(guān).

顯然,一個(gè)向量組成的向量組線性相關(guān)=0

向量組1,2,…,s線性相關(guān)x11+x22+…+xss=0有非零解.(稱此向量組為n維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組)例4討論n維向量組的線性相關(guān)性.

解設(shè)k1e1+k2e2+…+knen=0,

即所以,向量組e1,e2,…,en線性無(wú)關(guān).(k1,k2,

…,kn)=0,

所以k1=k2=…=kn=0n維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組e1,e2,…,en是線性無(wú)關(guān)的,而且對(duì)任意n維向量T=(a1,a2,…,an),都有=a1e1+a2e2+…+anen例5k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0就是(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0所以所以向量組1,2,3線性無(wú)關(guān).

解得:k1=k2=k3=0

已知向量組1,2,3線性無(wú)關(guān),1=1+2,2=2+3,3=3+1,討論向量組1,2,3

的線性相關(guān)性.

解設(shè)k11+k22+k33=0

,即

定義3.8一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組.由單位向量構(gòu)成的正交向量組稱為規(guī)范正交向量組.

證

設(shè)1,2,…,m是正交向量組,有一組數(shù)k1,k2,…,km使用i與上式兩邊做內(nèi)積,得n維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組e1,e2,…,en就是一個(gè)規(guī)范正交向量組.

定理3.1正交向量組必線性無(wú)關(guān).

k11+k22

+…+kmm=0由于i≠0,所以[i,i]>0,因此,ki＝0(i＝1,2,…,m).

ki(i,i

)=0所以,向量組1,2,…,m線性無(wú)關(guān).

命題3.2若向量組有一個(gè)部分組線性相關(guān),則此向量組線性相關(guān).所以有:k11+k22+…+krr+0r+1+…+0s=0

推論1

含有零向量的向量組必線性相關(guān).

證明不妨設(shè)1,2,…,r,…,s中1,2,…,r線性相關(guān),存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,kr,使:k11+k22+…+krr=0.而k1,k2,…,kr,0,…,0不全為零,所以1,2,…,s線性相關(guān).

推論2線性無(wú)關(guān)向量組的任一部分組也線性無(wú)關(guān).不妨設(shè)k10,則有:

證明必要性:設(shè)1,2,…,s線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使:k11+k22+…+kss=0.

充分性:不妨設(shè)1可由2,…,s線性表示,即存在一組數(shù)k2,,…,ks使:1=k22+…+kss

,于是有

定理3.3

向量組1,2,…,s(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可被其余向量線性表示.1+k22+…+kss

=0這里1,k2,…,ks不全為零,所以1,2,…,s線性相關(guān).兩個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩向量共線;三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這三向量共面;n個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是它們?cè)谝粋€(gè)n-1維空間.

定理3.4

設(shè)向量組1,2,…,r線性無(wú)關(guān),而向量組1,2,…,r,線性相關(guān),則可由1,2,…,r線性表示,且表示式唯一.

證明由已知,存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,kr,l,使k11+k22+…+krr+l

=0若l=0,則k11+k22+…+krr=0,矛盾.所以l0,于是若有:=k11+k22+…+krr=l11+l22+…+lrr即,表示式是唯一的.則有:(k1

l1)1+(k2

l2)2+…+(krl1)r=0所以:k1

l1=k2

l2=

…=krl1=0

設(shè)向量組1,2,…,s稱為向量組1,2,…,s的加長(zhǎng)向量組.

前面加長(zhǎng)向量組的概念中只加了一個(gè)分量,而且加在了最后一個(gè)分量.也可以加多個(gè)分量,分量也可以加在任何位置,都稱為原向量組的加長(zhǎng)向量組.

定理3.5線性無(wú)關(guān)向量組的加長(zhǎng)向量組也線性無(wú)關(guān).

證明只證明在最后加一個(gè)分量的情況,其它類(lèi)似.所以有:k11+k22+…+kss=0,故k1=k2=

…=ks=0

設(shè)k11+k22+…+kss=0

,即所以1,2,…,s線性無(wú)關(guān).§3向量組的秩

向量組間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì):

設(shè)有兩個(gè)向量組分別為:

(Ⅰ):1,2,…,r;(Ⅱ):1,2,…,s.

定義3.9若向量組(Ⅰ)中的每個(gè)向量都可以由向量組

(Ⅱ)線性表示,則稱向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表示;若向量組(Ⅰ)和向量組(Ⅱ)可以互相線性表示,則稱向量組(Ⅰ)和向量組(Ⅱ)等價(jià).(ⅰ)反身性:任何向量組都與自身等價(jià);(ⅲ)傳遞性:若(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià),(Ⅱ)與(Ⅲ)等價(jià),則(Ⅰ)

與(Ⅲ)也等價(jià).(ⅱ)對(duì)稱性:若(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià),則(Ⅱ)與(Ⅰ)也等價(jià);

證先正交化

顯然,列向量組1,2,…,r可由列向量組1,2,…,s線性表示的充分必要條件是:存在sr矩陣C,使

(1,2,…,r)=(1,2,…,s)C

定理3.6如果向量組1,2,…,m線性無(wú)關(guān),則有規(guī)范正交向量組e1,e2,…,em與之等價(jià).1=1,

再將1,2,…,m單位化,取

則1,2,…,m就是所求規(guī)范正交向量組.

上述由線性無(wú)關(guān)向量組1,2,…,m,得到正交向量組1,2,…,m的方法稱為Schimidt(施密特)正交化過(guò)程.

例3.6

求一個(gè)與向量組1＝(1,1,1)T,2=(1,2,3)T,3=(2,－1,2)T等價(jià)的規(guī)范正交向量組。

解先將向量組1,2,3正交化,令1=1＝(1,1,1)T,再將向量組1,2,3規(guī)范化,即取

定義3.10

若實(shí)方陣A滿足AAT=E,

則稱A是正交矩陣.1,2,3就是與向量組1,2,3等價(jià)的規(guī)范正交向量組.

若記A=(1,2,…,n)，則有可見(jiàn),ATA=E的充分必要條件是:注意:iTj=a1ia1j+a2ia2j+…+anianj=[i,j]

所以說(shuō),n階實(shí)矩陣A是正交矩陣A的行(列)向量組是規(guī)范正交向量組.

例如,下列矩陣都是正交矩陣:(ⅰ)1,2,…,r線性無(wú)關(guān);(ⅱ)1,2,…,r,線性相關(guān)(是向量組中任一向量).

定義3.11若向量組中的某個(gè)部分組1,2,…,r,滿足:則稱1,2,…,r是此向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱為極大無(wú)關(guān)組.

例3.7求向量組1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T,4=(1,1,1)T的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

所以1,2,3就是向量組1,2,3,4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

解由于1,2,3線性無(wú)關(guān),而且4=1+2+3

類(lèi)似地,1,3,4和2,3,4都是向量組1,2,3,4的極大線性無(wú)關(guān)組.

所以1,2,4也是向量組1,2,3,4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

由于1,2,4也線性無(wú)關(guān),而且3=41

2

定理3.7向量組與它的任一極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià).

可見(jiàn),一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是不唯一的.

推論向量組中任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià).時(shí)(其中A是矩陣),有A=0

證明設(shè)A=(aij)rs

,則有

引理若列向量組1,2,…,r線性無(wú)關(guān),則當(dāng)由于1,2,…,r線性無(wú)關(guān),所以aij=0,即A=0.(1,2,…,r)A=0證明設(shè)向量組1,2,…,r和1,2,…,s等價(jià)且都線性無(wú)關(guān)，則存在sr矩陣A和rs矩陣B,使(1,2,…,r)=(1,2,…,s)A

定理3.8

等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.由引理有：BA=Er,同理有AB=Es

(1,2,…,s)=(1,2,…,r)B于是有(1,2,…,r)=(1,2,…,r)BA即(1,2,…,r)(EBA)=0所以，A,B是方陣，即r＝s．

推論一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是唯一的.易知，向量組1,2,…,s線性無(wú)關(guān)R{1,2,…,s}=s.

若一向量組的所有向量都是零向量，規(guī)定其秩為0.

向量組1,2,…,s的秩記為：R{1,2,…,s}

定義3.12

一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),稱為向量組的秩.

或記為：rank{1,2,…,s}例7中向量組1,2,3,4的秩R{1,2,3,4}=3.

定理3.9

若向量組1,2,…,s可由向量組1,2,…,t線性表示，則

推論2

向量組1,2,…,p線性無(wú)關(guān),且可由向量組1,2,…,q

線性表示，則pq.

推論1

等價(jià)的向量組具有相等的秩．

R{1,2,…,s}R{1,2,…,t}

證明記極大線性無(wú)關(guān)組為:1,2,…,p和1,2,…,q則：向量組1,2,…,p可由1,2,…,q線性表示，于是1,2,…,q是向量組1,2,…,p,1,2,…,q的極大線性無(wú)關(guān)組.再由1,2,…,p線性無(wú)關(guān)知pq.

推論3

向量組1,2,…,p可由向量組1,2,…,q

線性表示，且p>q,則向量組1,2,…,p線性相關(guān).

推論4

任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).§4矩陣的秩

第二章指出,任意矩陣都與標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià),r就是矩陣A的秩,但由于r的唯一性沒(méi)有證明,因此用另一種說(shuō)法給出矩陣秩的定義.

定義3.13

在矩陣Amn中,任選k個(gè)行與k個(gè)列(km,kn),位于這k行,k列交叉處的k2個(gè)元素,按原相互位置關(guān)系所形成的k階行列式稱為A的一個(gè)k階子式．

一個(gè)mn矩陣的k階子式共有個(gè).

定義3.14

設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且A的所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0,那么D稱為矩陣A的最高階非零子式,r稱為矩陣A的秩,記為R(A).并且規(guī)定零矩陣的秩等于0.

由于R(A)就是A的最高階非零子式D的階數(shù),所以

若A有某個(gè)s階子式不等于0，則R(A)s；

若A的所有t階子式全等于0，則R(A)<t;

對(duì)任意mn矩陣A都有:0R(A)min{m,n};

對(duì)任意矩陣A都有:R(AT)=R(A).

對(duì)n階方陣A,由于只有一個(gè)n階子式|A|,所以|A|≠0時(shí),R(A)=n;|A|=0時(shí),R(A)<n.即An可逆?R(An)=n.

所以,可逆矩陣也稱為滿秩矩陣,不可逆矩陣(奇異矩陣)也稱為降秩矩陣.

例3.8

求下列矩陣的秩.解由于|A|=0,但所以,R(A)=2.由于B的所有四階子式全為0,但所以,R(B)=3.可見(jiàn),階梯矩陣的秩等于非零行行數(shù).

定理3.10

初等變換不改變矩陣的秩.

證明設(shè)R(A)=r,且D是A的某個(gè)r階非零子式.如果或,則在B中一定能找到與D對(duì)應(yīng)的r階子式D1滿足D1=D或D1=-D或D1=kD,所以D1≠0,故R(B)r.

如果,若D中不包含A的第i行,則D也是B的r階非零子式,所以,R(B)r.

若D中包含A的第i行和第j行,則B中對(duì)應(yīng)D的r階子式D1=D≠0,所以,R(B)r.

若D中包含A的第i行不含第j行,則B中對(duì)應(yīng)D的r階子式D1=D+D2,D2也是B的r階子式,而D1、D2至少有一個(gè)不等于零,所以,R(B)r.

所以,對(duì)A作一次初等變換變成B時(shí)有R(B)R(A).由于初等變換是可逆的,B也可以作一次初等變換變成A,所以R(A)R(B),因此,R(A)=R(B).

由于對(duì)矩陣做一次初等行變換矩陣的秩不變,所以,對(duì)矩陣做有限次初等行變換矩陣的秩也不變.

如果對(duì)A作一次初等列變換變成B,則對(duì)AT作一次初等行變換變成BT,所以R(AT)=R(BT),于是R(A)=R(B).

推論若A~B,則R(A)=R(B).這就給我們提供了求一般矩陣秩的有效方