第一章數(shù)制和碼制

數(shù)字電路與數(shù)字系統(tǒng)哈爾濱理工大學(xué)本章內(nèi)容1.1概述1.2幾種常用的數(shù)制1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換1.4二進(jìn)制算數(shù)運(yùn)算1.5幾種常用的編碼1.2幾種常用的數(shù)制數(shù)制：就是數(shù)的表示方法，把多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法以及按從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則進(jìn)行計(jì)數(shù)稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱數(shù)制最常用的是十進(jìn)制，除此之外在數(shù)字電路和計(jì)算機(jī)中常用的是二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制一、十進(jìn)制進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”。任意一個(gè)n位整數(shù)、m位小數(shù)的十進(jìn)制可表示為其中：ki－稱為數(shù)制的系數(shù)，表示第i位的系數(shù)，十進(jìn)制ki的取值為0~9十個(gè)數(shù)，i取值從（n－1）～0的所有正整數(shù)到－1～－m的所有負(fù)整數(shù)10i－表示第i位的權(quán)值，10為基數(shù)，即采用數(shù)碼的個(gè)數(shù)n、m－為正整數(shù)，n為整數(shù)部分的位數(shù)，m為小數(shù)部分的位數(shù)例如：(249.56)10＝2×102＋4×101＋9×100

+5×10–1＋2×10－2其中n＝3，m＝2若用N表示任意進(jìn)制（稱為N進(jìn)制）的基數(shù)，則展成十進(jìn)制數(shù)的通式為如N＝10為十進(jìn)制，N＝2為二進(jìn)制，N＝8為八進(jìn)制，N＝16為十六進(jìn)制。其中N為基數(shù)，ki為第i位的系數(shù)，Ni表示第i位的權(quán)值二、二進(jìn)制：其中ki－取值只有兩個(gè)數(shù)碼：0和12i－為二進(jìn)制的權(quán)，基數(shù)為2n、m－為正整數(shù)如（11011.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20

+1×2－1+0×2-2+1×2－3

=（27.625)10進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，任意一個(gè)n位整數(shù)、m位小數(shù)的二進(jìn)制可表示為一個(gè)數(shù)碼的進(jìn)制表示，可用下標(biāo)，如（N）2表示二進(jìn)制；（N）10表示十進(jìn)制；（N）8表示八進(jìn)制，（N）16表示十六進(jìn)制有時(shí)也用字母做下標(biāo)，如（N）B表示二進(jìn)制，B－Binary；（N）D表示十進(jìn)制，D－Decimal；（N）O表示八進(jìn)制，O－Octal；（N）H表示十六進(jìn)制，H－Hexadecimal；三、八進(jìn)制進(jìn)位規(guī)則是“逢八進(jìn)一”，其基數(shù)為8。任意一個(gè)n位整數(shù)、m位小數(shù)的八進(jìn)制可表示為ki－取值有8個(gè)數(shù)碼：0～78i－為八進(jìn)制的權(quán)，基數(shù)為8n、m－為正整數(shù)如（13.74)8=1×81+3×80+7×8－1+4×8-2=（11.9375)10其中四、十六進(jìn)制進(jìn)位規(guī)則是“逢十六進(jìn)一”，其基數(shù)為16。任意一個(gè)n位整數(shù)、m位小數(shù)的十六進(jìn)制可表示為ki－取值有16個(gè)數(shù)碼：0～9、A（10）、B

（11）、C（12）、D（13）、E（14）、

F（15）16i－為十六進(jìn)制的權(quán)，基數(shù)為16n、m－為正整數(shù)如（F9.1A)16=15×161+9×160+1×16－1+10×16-2=（249.1015625)10其中目前在計(jì)算機(jī)上常用的是8位、16位和32位二進(jìn)制數(shù)表示和計(jì)算，由于8位、16位和32位二進(jìn)制數(shù)都可以用2位、4位和8位十六進(jìn)制數(shù)表示，故在編程時(shí)用十六進(jìn)制書寫非常方便1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換一、二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)數(shù)制轉(zhuǎn)換：不同進(jìn)制的數(shù)碼之間的轉(zhuǎn)換叫做數(shù)制轉(zhuǎn)換例如：即將二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，方法是將二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)按下列公式進(jìn)行展開，然后按十進(jìn)制相加即可。a.十進(jìn)制的整數(shù)轉(zhuǎn)換：二、十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：將十進(jìn)制的整數(shù)部分用基數(shù)2去除，保留余數(shù)，再用商除2，依次下去，直到商為0為止，其余數(shù)即為對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分即將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，原則是“整數(shù)除2，小數(shù)乘2”b.十進(jìn)制的小數(shù)轉(zhuǎn)換將小數(shù)用基數(shù)2去乘，保留積的整數(shù)，再用積的小數(shù)繼續(xù)乘2，依次下去，直到乘積是0為或達(dá)到要求的精度，其積的整數(shù)部分即為對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分例1.3.1將（173.39)D轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù),要求精度為1%。a.整數(shù)部分解：其過程如下即(173)D=(10101101)Bb.小數(shù)部分由于精度要求為1％，故應(yīng)該令取對(duì)數(shù)，可得取m＝7滿足精度要求，過程如下即(0.39)D=(0.0110001)B故（173.39)D

=(10101101.0110001)B三、二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制和十六進(jìn)制方法：由于3位二進(jìn)制數(shù)可以有8個(gè)狀態(tài)，000~111，正好是8進(jìn)制，而4位二進(jìn)制數(shù)可以有16個(gè)狀態(tài)，0000～1111，正好是16進(jìn)制，故可以把二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行分組。八進(jìn)制三位分為一組，不夠補(bǔ)零，十六進(jìn)制四位分為一組。依此類推，對(duì)于十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制，只要把基數(shù)2換成其它進(jìn)制的基數(shù)即可。注：若將八進(jìn)制或十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，即按三位或四位轉(zhuǎn)成二進(jìn)制數(shù)展開即可。例1.3.4將(87)D轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)解：先將87轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制，過程如圖,則(87)D＝（1010111)B=（001010111)B=(127)O

=(57)H提醒：若要將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制或16進(jìn)制，可先轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，再分組，轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制或十六進(jìn)制。1.4.2反碼、補(bǔ)碼和補(bǔ)碼運(yùn)算在用二進(jìn)制數(shù)碼表示一個(gè)數(shù)值時(shí)，其正負(fù)是怎么區(qū)別的呢？二進(jìn)制數(shù)的正負(fù)數(shù)值的表述是在二進(jìn)制數(shù)碼前加一位符號(hào)位，用“0”表示正數(shù)，用“1”表示負(fù)數(shù)，這種帶符號(hào)位的二進(jìn)制數(shù)碼稱為原碼。一、原碼：例如：＋17的原碼為010001，－17的原碼為110001二、反碼反碼是為了在求補(bǔ)碼時(shí)不做減法運(yùn)算。二進(jìn)制的反碼求法是：正數(shù)的反碼與原碼相同，負(fù)數(shù)的原碼除了符號(hào)位外的數(shù)值部分按位取反，即“1”改為“0”，“0”改為“1”，例如＋7和－7的原碼和反碼為：＋7的原碼為0111，反碼為0111－7的原碼為1111，反碼為1000注：0的反碼有兩種表示，＋0的反碼為0000，－0的反碼為1111三、補(bǔ)碼：1.模（模數(shù)）的概念：把一個(gè)事物的循環(huán)周期的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)事件的模或模數(shù)。當(dāng)做二進(jìn)制減法時(shí)，可利用補(bǔ)碼將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成加法運(yùn)算。在講補(bǔ)碼之前先介紹模（或模數(shù)）的概念如一年365天，其模數(shù)為365；鐘表是以12為一循環(huán)計(jì)數(shù)的，故模數(shù)為12。十進(jìn)制計(jì)數(shù)就是10個(gè)數(shù)碼0～9，的循環(huán)，故模為10。以表為例來介紹補(bǔ)碼運(yùn)算的原理：對(duì)于圖1.4.1所示的鐘表當(dāng)在5點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)表停在10點(diǎn)，若想撥回有兩種方法：a.逆時(shí)針撥5個(gè)格，即10－5＝5，這是做減法。b.順時(shí)針撥七個(gè)格，即10＋7＝17，由于模是12，故1相當(dāng)于進(jìn)位12，1溢出，故為7格，也是17－12＝5，這是做加法。由此可見10＋7和10－5的效果是一樣的，而5＋7＝12，將故7稱為－5的補(bǔ)數(shù)，即補(bǔ)碼，也可以說減法可以由補(bǔ)碼的加法來代替2.補(bǔ)碼的表示正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼相同，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是符號(hào)位為“1”，數(shù)值位按位取反再加“1”，即“反碼加1”例如：[+7][-7]原碼01111111反碼01111000補(bǔ)碼01111001注意：1.采用補(bǔ)碼后，可以方便地將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成加法運(yùn)算，而乘法和除法通過移位和相加也可實(shí)現(xiàn)，這樣可以使運(yùn)算電路結(jié)構(gòu)得到簡(jiǎn)化；2.正數(shù)的補(bǔ)碼是它所表示的數(shù)的真值，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼部分不是它所示的數(shù)的真值。3.與原碼和反碼不同，“0”的補(bǔ)碼只有一個(gè)，即（00000000）B4.已知原碼，求補(bǔ)碼和反碼：正數(shù)的原碼和補(bǔ)碼、反碼相同；負(fù)數(shù)的反碼是符號(hào)位不變，數(shù)值位取反，而補(bǔ)碼是符號(hào)位不變，數(shù)值位取反加“1”。如：原碼為10110100，其反碼為11001011，補(bǔ)碼為1100100。5.已知補(bǔ)碼，求原碼：正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼相同；負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼求原碼應(yīng)該是數(shù)值位減“1”再取反，但對(duì)于二進(jìn)制數(shù)來說，先減“1”取反和先取反再加“1