第3章MATLAB矩陣分析與處理

計(jì)算機(jī)學(xué)院郭江鴻21B434

82519604第3章MATLAB

矩陣分析與處理參考教材:MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用(第二版)劉衛(wèi)國主編高等教育出版社3.1特殊矩陣3.2矩陣求逆與線性方程組求解3.3矩陣求值3.4矩陣的特征值與特征向量習(xí)題&作業(yè)3.1特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。調(diào)用格式：zeros(m):產(chǎn)生m*m的零矩陣。zeros(m,n)：產(chǎn)生m*n的零矩陣。例3.1分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的幺矩陣。

(1)建立一個(gè)3×3幺矩陣。

ones(3)

(2)建立一個(gè)3×2幺矩陣。

ones(3,2)

(3)設(shè)A為2×3矩陣，建立一個(gè)與矩陣A同樣大小的幺矩陣。

A=[123;456];%產(chǎn)生2×3矩陣A

zeros(size(A))%產(chǎn)生與矩陣A同維的零矩陣rand(m,n):生成m*n維0~1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣。randn(m,):生成m*n維均值為0，方差為1正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)矩陣。a=rand(1000,1);b=randn(1000,1);subplot(2,1,1);hist(a);%柱狀圖subplot(2,1,2);hist(b)例3.2建立隨機(jī)矩陣：(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)產(chǎn)生m*n維[a,b]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：

y=a+(b-a)*rand(m,n)產(chǎn)生m*n維，均值為，方差為2隨機(jī)數(shù)矩陣：

y=mu+sigma*randn(m,n)3.2矩陣求逆與線性方程組求解3.2.1矩陣的逆

對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù):

inv(A)3.2.2用矩陣求逆方法求解線性方程組在線性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1，有

A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得

x=A-1b例3.3用求逆矩陣的方法解線性方程組。

命令如下：A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];b=[5,-2,6]';x=inv(A)*b

%等價(jià)于x=A\b3.3

矩陣求值3.3.1方陣的行列式

求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是:

det(A)

A=rand(5)d=det(A)

3.3.2矩陣的秩與跡1．矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是

rank(A)2．矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是

trace(A)

如：

A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9];

rank(A)trace(A)

ans=3ans=163.3.3矩陣的條件數(shù)在求解AX=b時(shí)，A和b中個(gè)別元素的微小擾動(dòng)會(huì)引起解的很大變化，稱A為病態(tài)矩陣，反之為良性。用條件數(shù)來描述，越大越病態(tài)，越?。ㄚ吔?）越好。

A的條件=A的范數(shù)與A-1的范數(shù)乘積

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：

(1)cond(A,1)計(jì)算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。

(2)cond(A)或cond(A,2)計(jì)算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。

(3)cond(A,inf)計(jì)算A的∞—范數(shù)下的條件數(shù)。

如：

A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9];

cond(A)

ans=87.9754

B=[2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4];

cond(B)

ans=3.7515

顯然，B矩陣性能要好于A矩陣。

3.4矩陣的特征值與特征向量矩陣A作用于一向量V，結(jié)果只相當(dāng)于該向量乘以一常數(shù)λ。即A*V=V*λ，則V為該矩陣A的特征向量，λ為該矩陣A的特征值。

計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是

eig(A)常用的調(diào)用格式有2種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。例3.4用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%A的伴隨矩陣（友矩陣）

x1=eig(A)%求A的特征值

x2=roots(p)

%x1與x2結(jié)果相同：

2.1837

1.0000+1.0000i

1.0000-1.0000i

-0.9252+0.7197i

-0.9252-0.7197i

若用：[V，D]=eig(A);結(jié)果：特征向量為V，

特征值為D：

實(shí)驗(yàn)：習(xí)題&作業(yè)1．寫出完成下列操作的命令。（1）建立3階單位矩陣A。（2）建立5x6隨機(jī)矩陣A，其元素為[100，200]范圍內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)。（3）產(chǎn)生均值為1，方差為0.2的500個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。（4）產(chǎn)生和A同樣大小的幺矩陣。（5）將矩陣A對(duì)角線的元素加30。2.建立一個(gè)方陣A，求A的逆矩陣和A的行列式的值，并驗(yàn)證A與A-1是互逆的。3.求下面線性方程組的解。4.求下列矩陣的秩、跡、條件數(shù)。（1）（2）

5.求矩陣A的特征值和相應(yīng)的特征向量。MATLAB功能演示（1）求高次方程

2x5-3x3+71x2-9x+13=0

的全部根。p=[2,0,-3,71,-9,13];x=roots(p)x=-3.49141.6863+2.6947i1.6863-2.6947i0.0594+0.4251i0.0594-0.4251iMATLAB功能演示（2）求解線性方程組a=[2,3,-1;8,2,3;45,3,9];b=[2;4;23];X=inv(a)*b%或者X=a\bX=0.55310.2051-0.2784MATLAB功能演示（3）求積分quad('x.*log(1+x)',0,1)ans=0.2500MATLAB功能演示（4）符號(hào)運(yùn)算symsabcxx=solve('a*x*x+b*x+c=0')x=1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))MATLAB功能演示（5）分別繪制函數(shù)y1=2-|x|和y2=sin(x)的曲線。x=-2*pi:pi/180:2*pi;y1=2.^(-abs(x));y2=sin(x);plot(x,y1,':',x,y2);MATLAB功能演示（6）在xy平面