廣東省汕頭市2023屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷-文(含解析)

2023年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，則（?UA）∪B=（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，3} D．{2，3，4，5}2．已知向量=（1，2），2+=（3，2），則=（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）3．已知i是虛數(shù)單位，若（2﹣i）?z=i3，則z=（）A． B． C． D．4．從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為（）A． B． C． D．5．已知，且，則tanα=（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為πB．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)C．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)D．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則當(dāng)n＞1時(shí)，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出P的值為（）A．2 B．3 C．4 D．59．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）A．4π B．12π C．24π D．48π10．下列函數(shù)中，在（﹣1，1）內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是（）A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x311．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=，則g[f（﹣7）]=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣212．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13．設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x+3y+m的最大值為4，則m的值為．14．已知直線l：y=kx+b與曲線y=x3+3x﹣1相切，則斜率k取最小值時(shí)，直線l的方程為．15．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q=2，若存在兩項(xiàng)am，an，使得=4a1，則+的最小值為．16．下列有關(guān)命題中，正確命題的序號是．①命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”；②命題“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”；③命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是假命題．④若“p或q為真命題，則p，q至少有一個(gè)為真命題．”三、解答題.本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和驗(yàn)算步驟.17．在△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b=，c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面積．18．已知{an}是公差d≠0的等差數(shù)列，a2，a6，a22成等比數(shù)列，a4+a6=26；數(shù)列{bn}是公比q為正數(shù)的等比數(shù)列，且b3=a2，b5=a6．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Tn．19．某區(qū)工商局、消費(fèi)者協(xié)會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動，著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識．組織方從參加活動的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20，30），第2組[30，40），第3組[40，50），第4組[50，60），第5組[60，70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）若電視臺記者要從抽取的群眾中選1人進(jìn)行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第4組的概率；（Ⅱ）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取3名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求至少有兩名女性的概率．20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，點(diǎn)M時(shí)BB1中點(diǎn)．（1）求證；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求點(diǎn)A到平面A1MC的距離．21．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＜1時(shí)，證明：對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．請考生在第22,23,24題中任選一題作答，選修4-1：幾何證明選講22．選修4﹣1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的割線交圓于B、C兩點(diǎn)，弦CD∥AP，AD、BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF?EC．（1）求證：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．選修4-5：不等式選講24．已知關(guān)于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a．（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2023年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，則（?UA）∪B=（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，3} D．{2，3，4，5}【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)全集U求出A的補(bǔ)集，找出A補(bǔ)集與B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，∴?UA={3，4，5}，∵B={2，3}，則（?UA）∪B={2，3，4，5}．故選D【點(diǎn)評】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．2．已知向量=（1，2），2+=（3，2），則=（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：=（1，2），2+=（3，2），則=（2+）﹣2=（3，2）﹣2（1，2）=（3，2）﹣（2，4）=（3﹣2，2﹣4）=（1，﹣2），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．3．已知i是虛數(shù)單位，若（2﹣i）?z=i3，則z=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的意義，即可得出．【解答】解：∵（2﹣i）?z=i3，∴（2+i）（2﹣i）z=﹣i（2+i），5z=﹣2i+1，∴z=，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題．4．從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，基本事件總數(shù)n==6，則這個(gè)兩位數(shù)大于30包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2，由此能求出這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率．【解答】解：從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，基本事件總數(shù)n==6，則這個(gè)兩位數(shù)大于30包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2，∴這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為P==．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．5．已知，且，則tanα=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】通過誘導(dǎo)公式求出sinα的值，進(jìn)而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案選B【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．6．已知函數(shù)f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為πB．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)C．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)D．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，它的最小正周期為=π，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故A、B正確；在區(qū)間[0，]上，2x∈[0，π]，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上是減函數(shù)；當(dāng)x=時(shí)，f（x）=0，不是最值，故函數(shù)f（x）的圖象不關(guān)于直線x=對稱，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則當(dāng)n＞1時(shí)，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：∵Sn=2an+1，a1=1，∴a1=2a2，解得a2=．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1=2an，∴an=2an+1﹣2an，化為=．∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，公比為．∴Sn=2an+1=2××=．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出P的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】計(jì)算題；圖表型；分析法；算法和程序框圖．【分析】根據(jù)輸入A的值，然后根據(jù)S進(jìn)行判定是否滿足條件S≤2，若滿足條件執(zhí)行循環(huán)體，依此類推，一旦不滿足條件S≤2，退出循環(huán)體，求出此時(shí)的P值即可．【解答】解：A=2，P=1，S=0，滿足條件S≤2，則P=2，S=，滿足條件S≤2，則P=3，S=，滿足條件S≤2，則P=4，S=不滿足條件S≤2，退出循環(huán)體，此時(shí)P=4故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后循環(huán)，直到型循環(huán)是先循環(huán)后判斷．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）A．4π B．12π C．24π D．48π【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】作出幾何體的直觀圖，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征求出外接球的半徑，得出球的表面積．【解答】解：由三視圖可知幾何體為三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，取PC中點(diǎn)O，AC中點(diǎn)D，連結(jié)OA，OD，BD，OB，則AC==2，PC==2．∴OP=OC=，OA=PC=，BD==，OD==1，∴OB==，∴OA=OB=OC=OP，∴O是棱錐P﹣ABC外接球的球心，外接球半徑r=OA=，∴外接球表面積S=4πr2=12π．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了棱錐的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，球與內(nèi)接多面體的關(guān)系，屬于中檔題．10．下列函數(shù)中，在（﹣1，1）內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是（）A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x3【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)解析式判斷單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可得出答案．【解答】解：y=logx在（﹣1，1）有沒有意義的情況，故A不對，y=x2﹣1在（﹣1，0）單調(diào)遞減，故C不對，y=﹣x3在（﹣1，1）單調(diào)遞減，故D不對，故A，C，D都不對，∵y=2x﹣1，單調(diào)遞增，f（﹣1）＜0，f（1）＞0，∴在（﹣1，1）內(nèi)存在零點(diǎn)故選：B【點(diǎn)評】本特納考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的判斷，函數(shù)解析式較簡單，屬于容易題．11．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=，則g[f（﹣7）]=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【考點(diǎn)】函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先設(shè)x＜0，則﹣x＞0，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，即可求出g（x），再代值計(jì)算即可．【解答】解：函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=，設(shè)x＜0，則﹣x＞0，則f（﹣x）=log2（﹣x+1），∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴g（x）=﹣log2（﹣x+1）（x＜0），∴f（﹣7）=g（﹣7）=﹣log2（7+1）=﹣3，∴g（﹣3）=﹣log2（3+1）=﹣2，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題．12．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性作出f（x）和y=logax在（0，+∞）上的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)列出不等式解出a．【解答】解：∵f（x））﹣f（﹣x）=0，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性作出f（x）的圖象如圖所示：∵g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，∴y=f（x）和y=logax的圖象在（0，+∞）上只有三個(gè)交點(diǎn)，∴，解得3＜a＜5．故選C．【點(diǎn)評】本題考查了零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，作出f（x）的函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13．設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x+3y+m的最大值為4，則m的值為﹣4．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合z=x+3y+m的最大值為4，建立解關(guān)系即可求解m的值．【解答】解：由z=x+3y+m得﹣，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：平移直線﹣由圖象可知當(dāng)直線﹣經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線﹣的截距最大，此時(shí)z也最大，由，解得，即A（2，2），將A代入目標(biāo)函數(shù)z=x+3y+m，得2+3×2+m=4．解得m=﹣4，故答案為：﹣4．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．14．已知直線l：y=kx+b與曲線y=x3+3x﹣1相切，則斜率k取最小值時(shí)，直線l的方程為3x﹣y+1=0．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的最小值，求出此時(shí)x的值，再求出此時(shí)的函數(shù)值，由直線方程的點(diǎn)斜式，求得斜率k最小時(shí)直線l的方程．【解答】解：由y=x3+3x+1，得y′=3x2+3，則y′=3（x2+1）≥3，當(dāng)y′=3時(shí)，x=0，此時(shí)f（0）=1，∴斜率k最小時(shí)直線l的方程為y﹣1=3（x﹣0），即3x﹣y+1=0．故答案為：3x﹣y+1=0．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是基礎(chǔ)題．15．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q=2，若存在兩項(xiàng)am，an，使得=4a1，則+的最小值為．【考點(diǎn)】基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q=2，由于存在兩項(xiàng)am，an，使得=4a1，可得=4a1，化為m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q=2，∵存在兩項(xiàng)am，an，使得=4a1，∴=4a1，∵a1≠0，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．則+=（m+n）（）==，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4時(shí)取等號．∴+的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．16．下列有關(guān)命題中，正確命題的序號是④．①命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”；②命題“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”；③命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是假命題．④若“p或q為真命題，則p，q至少有一個(gè)為真命題．”【考點(diǎn)】四種命題；命題的否定．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】分別對①②③④進(jìn)行判斷，從而得到結(jié)論．【解答】解：①命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”；故①錯(cuò)誤；②命題“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1≥0”；故②錯(cuò)誤；③命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是若sinx≠siny，則x≠y，是真命題，故③錯(cuò)誤；④若“p或q為真命題，則p，q至少有一個(gè)為真命題．”，正確；故答案為：④．【點(diǎn)評】本題考察了命題的否定以及命題之間的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題.本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和驗(yàn)算步驟.17．在△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b=，c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面積．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值．（2）由c＜b，可得C為銳角，由（1）可得cosC，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，利用三角形面積公式即可得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵b=，c=1，cosB=．∴sinB==，∴由正弦定理可得：sinC===…4分（2）∵c＜b，C為銳角，∴由（1）可得：cosC==，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，∴S△ABC=bcsinA==…12分【點(diǎn)評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18．已知{an}是公差d≠0的等差數(shù)列，a2，a6，a22成等比數(shù)列，a4+a6=26；數(shù)列{bn}是公比q為正數(shù)的等比數(shù)列，且b3=a2，b5=a6．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Tn．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）利用等差中項(xiàng)及a4+a6=26可知a5=13，進(jìn)而通過a2，a6，a22成等比數(shù)列計(jì)算可知d=3，利用q2=及=4可知q=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；（Ⅱ）通過（I）可知an?bn=（3n﹣2）?2n﹣1，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是公差d≠0的等差數(shù)列，且a4+a6=26，∴a5=13，又∵a2，a6，a22成等比數(shù)列，∴（13+d）2=（13﹣3d）（13+17d），解得：d=3或d=0（舍），∴an=a5+（n﹣5）d=3n﹣2；又∵b3=a2，b5=a6，∴q2====4，∴q=2或q=﹣2（舍），又∵b3=a2=4，∴bn=b3?qn﹣3=4?2n﹣3=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知，an?bn=（3n﹣2）?2n﹣1，∴Tn=1?20+4?21+7?22+…+（3n﹣5）?2n﹣2+（3n﹣2）?2n﹣1，2Tn=1?21+4?22+…+（3n﹣5）?2n﹣1+（3n﹣2）?2n，錯(cuò)位相減得：﹣Tn=1+3（21+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）?2n=1+3?﹣（3n﹣2）?2n=﹣5﹣（3n﹣5）?2n，∴Tn=5+（3n﹣5）?2n．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19．某區(qū)工商局、消費(fèi)者協(xié)會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動，著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識．組織方從參加活動的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20，30），第2組[30，40），第3組[40，50），第4組[50，60），第5組[60，70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）若電視臺記者要從抽取的群眾中選1人進(jìn)行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第4組的概率；（Ⅱ）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取3名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求至少有兩名女性的概率．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)第2組[30，40）的頻率為f2，利用概率和為1，求解即可．（Ⅱ）設(shè)第1組[30，40）的頻數(shù)n1，求出n1，記第1組中的男性為x1，x2，女性為y1，y2，y3，y4列出隨機(jī)抽取3名群眾的基本事件，列出至少有兩名女性的基本事件，然后求解至少有兩名女性的概率．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）設(shè)第2組[30，40）的頻率為f2=1﹣（0.005+0.01+0.02+0.03）×10=0.35；…第4組的頻率為0.02×10=0.2所以被采訪人恰好在第2組或第4組的概率為P1=0.35+0.2=0.55…（Ⅱ）設(shè)第1組[30，40）的頻數(shù)n1，則n1=120×0.005×10=6…記第1組中的男性為x1，x2，女性為y1，y2，y3，y4隨機(jī)抽取3名群眾的基本事件是：（x1，x2，y1），（x1，x2，y2），（x1，x2，y3），（x1，x2，y4）（x1，y2，y1），（x1，y3，y2），（x1，y1，y3），（x1，y4，y1），（x1，y2，y4），（x1，y3，y4），（x2，y2，y1），（x2，y3，y2），（x2，y1，y3），（x2，y4，y1），（x2，y2，y4），（x2，y3，y4），（y1，y2，y3），（y1，y2，y4），（y2，y3，y4），（y1，y3，y4）共20種…其中至少有兩名女性的基本事件是：（x1，y2，y1），（x1，y3，y2），（x1，y1，y3），（x1，y4，y1），（x1，y2，y4），（x1，y3，y4），（x2，y2，y1），（x2，y3，y2），（x2，y1，y3），（x2，y4，y1），（x2，y2，y4），（x2，y3，y4），（y1，y2，y3），（y1，y2，y4），（y2，y3，y4），（y1，y3，y4）共16種所以至少有兩名女性的概率為…【點(diǎn)評】本題考查古典概型概率公式的應(yīng)用概率的求法，考查計(jì)算能力．20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，點(diǎn)M時(shí)BB1中點(diǎn)．（1）求證；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求點(diǎn)A到平面A1MC的距離．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；平面與平面垂直的判定．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面A1MC⊥平面AA1C1C．（2）由=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），利用向量法能求出點(diǎn)A到平面A1MC的距離．【解答】證明：（1）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），=（0，4，3），=（4，0，﹣3），=（0，0，6），=（4，﹣4，0），設(shè)平面A1MC的法向量為=（x，y，z），則，取x=3，得=（3，﹣3，4），設(shè)平面AA1C1C的法向量=（a，b，c），則，取a=1，得=（1，1，0），∴=0，∴平面A1MC⊥平面AA1C1C．解：（2）∵=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），∴點(diǎn)A到平面A1MC的距離：d===．【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．21．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＜1時(shí)，證明：對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對a分類求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用分析法證明，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明成立，即證．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），當(dāng)a=﹣1時(shí)，f′（x）=，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，當(dāng)x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)a＞﹣1時(shí)，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，，當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．（2）證明：要證f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即證lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是證，即證．令g（x）=，則g′（x）=，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬難題．請考生在第22,23,24題中任選一題作答，選修4-1：幾何證明選講22．選修4﹣1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的割線交圓于B、C兩點(diǎn)，弦CD∥AP，AD、BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF?EC．（1）求證：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】選作題．【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行線的性質(zhì)可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用對頂角的性質(zhì)即可證明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，進(jìn)而證明結(jié)論；（II）利用（I）的結(jié)論可得BP=，再利用切割線定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．【解答】（I）證明：∵DE2=EF?