【教案】余弦定理、正弦定理第3課時教學設計-2022-2023學年高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

8/8§6.4.3余弦定理、正弦定理(第3課時）一、內容和內容解析內容：余弦定理、正弦定理應用舉例．內容解析：本節(jié)是高中數學人教A版必修2第六章第4節(jié)的內容．余弦、正弦定理是研究任意三角形邊角之間關系的重要開端；用余弦、正弦定理解三角形，是典型的用代數的方法來解決的幾何問題的類型；在日常生活和工業(yè)生產中的應用又十分廣泛.通過對余弦定理、正弦定理的學習，培養(yǎng)學生數學抽象、數學運算、數學建模等數學素養(yǎng).二、目標和目標解析目標：（1）會用正弦定理、余弦定理解決生產實踐中有關距離、高度、角度的測量問題,培養(yǎng)數學建模的核心素養(yǎng)．（2）培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，提升數學運算的核心素養(yǎng)．目標解析：（1）余弦定理、正弦定理的應用，主要指解三角形在實際問題中的應用，通過對實際問題的分析，建立相應的數學模型，把實際問題數學化，以此培養(yǎng)學生數學建模的核心素養(yǎng)，提高學生分析和解決問題的實際能力.（2）學生在了解相關專業(yè)術語的同時，能將專業(yè)術語數學化，結合圖形，利用余弦定理和正弦定理進行計算，以此培養(yǎng)學生文字語言、圖形語言、符號語言相互轉譯的能力．（3）數學核心素養(yǎng)是數學教學的重要目標，但數學核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機會去落實．在余弦定理、正弦定理應用舉例的教學中，將實際問題轉化為數學模型，進而利用數學模型的解解釋實際問題，是進行數學建模教學的好機會．基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關的實際應用問題．三、教學問題診斷分析1．教學問題一：將實際問題轉化為數學問題是本節(jié)課的第一個教學問題．解決方案：從日常中經常遇到的實際問題入手，結合具體體驗，完成建立數學模型的過程.2．教學問題二：專業(yè)術語的數學解讀是本節(jié)課的第二個教學問題．解決方案：借助信圖形，將文字語言、圖形語言、符號語言相互轉譯，數形結合，更加直觀.基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：能將實際問題轉化為解三角形問題．四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示．為了讓學生能夠用余弦定理、正弦定理解決相關問題，應該為學生創(chuàng)造積極探究的平臺．因此，在教學過程中使用小組討論，代表發(fā)言的形式，可以讓學生從被動學習狀態(tài)轉到主動學習狀態(tài)中來．在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．在教學過程中，重視數學建模的過程，讓學生體會到數學思想方法的應用．因此，本節(jié)課的教學是實施數學具體內容的教學與核心素養(yǎng)教學有機結合的嘗試．五、教學過程與設計教學環(huán)節(jié)問題或任務師生活動設計意圖創(chuàng)設情境生成問題[問題1]珠穆朗瑪峰是喜馬拉雅山脈的主峰，海拔8848.13米，29029英尺(此數據是在國家測繪局第一大地測量隊的協(xié)助下，于1975年測定的，1992年又對其進行了復測)，是地球上的第一高峰，位于東經86.9°，北緯27.9°.這個珠峰原“身高”是如何測定的？教師1：提出問題1．學生1：對于那次珠峰測高過程中我國所采用的技術與方法，我們可能感到不可思議，簡單來說，那就是數字的測量與解三角形的應用.以實際問題引入，激發(fā)學生的學習興趣.閱讀課本獲得新知[問題2]閱讀課本，找到以下概念：（1）基線、（2）仰角和俯角、（3）方位角、（4）方向角[問題3]你知道的三角形的面積公式有哪些？[問題4]你知道的三角形中常用的邊角性質有哪些？教師2：提出問題2．學生2：(1)基線：在測量過程中，我們把根據測量的需要而確定的線段叫做基線．為使測量具有較高的精確度，應根據實際需要選取合適的基線長度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．(2)仰角和俯角：在目標視線和水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的角叫仰角，目標視線在水平視線下方的角叫俯角(如圖①)．(3)方位角：指從正北方向按順時針轉到目標方向線所轉過的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．(4)方向角：從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°.教師3：提出問題3．學生3：在△ABC中，邊BC，CA，AB上的高分別記為ha，hb，hc，則①S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；②S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.③S△ABC＝eq\f(abc,4R)，其中R為△ABC的外接圓半徑；④S△ABC＝2R2sinAsinBsinC，其中R為△ABC的外接圓半徑；⑤S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，其中r為△ABC內切圓的半徑；⑥S△ABC＝，其中p＝eq\f(a＋b＋c,2).教師4：提出問題4．學生4：三角形中有關邊和角的常用性質：(1)三角形內角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；(2)在△ABC中，a>b?A>B?sin_A>sin_B；(3)在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.(4)在△ABC中，A為銳角?cosA>0?a2<b2＋c2；A為直角?cosA＝0?a2＝b2＋c2；A為鈍角?cosA<0?a2>b2＋c2.通過復習前面所學，引入本節(jié)新課.建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力.典例分析鞏固落實1.測量距離問題例1.如圖所示，隔河看兩目標A，B，但不能到達，在岸邊選取相距eq\r(3)千米的C，D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內)，求兩目標A，B之間的距離.例2.在平地上有A、B兩點，點A在山坡D的正東，點B在山坡D的東南，而且在A的南偏西15°，且距A為150eq\r(2)m的地方，在A處測山坡頂C的仰角為30°，求山坡的高度．3.測量角度問題例3.某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離為10km的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10km/h的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以10eq\r(3)km/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．4.三角形中的面積問題例4.在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝eq\f(31,32)且AD＝BD，求△ABC的面積.[課堂練習]1.某船開始看見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行45km后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是______km.2.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝8，則△ABC的面積等于()A．12B．eq\f(21,2)C．28D．6eq\r(3)教師5：完成例1．學生5：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3).在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，在△CBD中，由正弦定理得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝2sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝5＋eq\r(3)－(3eq\r(2)＋eq\r(6))(6-24)＝5，∴AB＝eq\r(5).故兩目標A，B間的距離為eq\r(5)千米.教師6：完成例2．學生6：如圖所示，在△ADB中，AB＝150eq\r(2)，∠ADB＝45°，∠DAB＝90°－15°＝75°，∴∠DBA＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(150\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝150eq\r(3).在Rt△ACD中，∵eq\f(CD,AD)＝tan30°，∴CD＝AD·tan30°＝150eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝150.∴山坡的高度為150米．教師7：完成例3．學生7：如圖所示，設t小時后，艦艇與漁船在B處靠近，則AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，由題意得∠ACB＝45°＋(180°－105°)＝120°，在△ABC中，根據余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以艦艇需1小時靠近漁船．此時AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).又因為∠CAB為銳角，所以∠CAB＝30°.所以艦艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.答：艦艇航行的方位角為75°，航行的時間為1小時．教師8：完成例4．學生8：設CD＝x，則AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理可知：cos∠CAD＝eq\f(（5－x）2＋42－x2,2×4×（5－x）)＝eq\f(31,32).解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知：eq\f(AD,sinC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，∴sinC＝eq\f(AD,CD)·eq\r(1－cos2∠CAD)＝4eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,32)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(7),8)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC＝eq\f(1,2)×4×5×eq\f(3\r(7),8)＝eq\f(15\r(7),4).所以△ABC的面積為eq\f(15\r(7),4).教師9：布置課堂練習1、2．學生9：完成課堂練習，并核對答案．通過例題的講解，讓學生進一步理解正、余弦定理，提高學生解決與分析問題的能力.課堂小結升華認知[問題5]通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數學思想？[課后練習]1．已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為()A．10kmB.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km2．某公司要測量一水塔CD的高度，測量人員在該水塔所在的東西方向水平線上選A，B兩個觀測點，在A處測得該水塔頂端D的仰角為α，在B處測得該水塔頂端D的仰角為β，已知AB＝a,0<β<α<eq\f(π,2)，則水塔CD的高度為()A.eq\f(asinα－βsinβ,sinα)B.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)C.eq\f(asinα－βsinα,sinβ)D.eq\f(asinα,sinα－βsinβ)3．如圖所示為起重機裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A．30mB.