山西省2023屆高三3月月考數學理試題

2023-2023學年高三月考(命題人郭偉峰)一、選擇題：（每小題5分，共60分）1.若復數是純虛數，則的值為（）A．B．C．D．2．對于集合，定義：且，，設＝，，則=（）A．（，0]B．[，0)C．D．3．右圖中，為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，為該題的最終得分，當時，等于（）A．11B．10C．8D．74．設甲：函數的值域為，乙：函數有四個單調區(qū)間，那么甲是乙的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．規(guī)定記號“”表示一種運算，即：，設函數。且關于的方程為恰有四個互不相等的實數根，則的值是（）A． B． C． D．6.已知和分別是雙曲線（，）的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.2D.7．若當時，函數取得最小值，則函數是（）A．奇函數且圖像關于點對稱B．偶函數且圖像關于點對稱C．奇函數且圖像關于直線對稱D．偶函數且圖像關于點對稱8．過點作圓的弦，其中弦長為整數的共有（）A.16條B.17條C.32條D.34條9．在平面斜坐標系中，點的斜坐標定義為：“若（其中分別為與斜坐標系的軸，軸同方向的單位向量），則點的坐標為”．若且動點滿足，則點在斜坐標系中的軌跡方程為（）A． B．C．D．10．已知為上的可導函數，且，均有，則有（）A．B．C．D．11．設是銳角三角形的外心，由向邊引垂線，垂足分別是,給出下列命題：①；②；③：：=：：;④，使得..以上命題正確的個數是（）.A．1 B．2 C．3D．4；12．在正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且平面，則與平面所成角的正切值構成的集合是（）A．B．C．D．二、填空題：（每小題5分，共20分）13．已知不等式組表示的平面區(qū)域為，直線與曲線所圍成的平面區(qū)域為，現隨機向區(qū)域內拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域內的概率為.14．對大于或等于的自然數的次方冪有如下分解方式：根據上述分解規(guī)律，則,若的分解中最小的數是73，則的值為.15．拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線對稱軸上，過可作直線交拋物線于點、，使得，則的取值范圍是．16.給出以下四個命題：①若，則；②已知直線與函數的圖像分別交于點，則的最大值為；③若數列為單調遞增數列，則取值范圍是；④已知數列的通項，前項和為，則使的的最小值為12．其中正確命題的序號為．三、解答題：17．（本小題滿分12分）已知數列的相鄰兩項是關于的方程的兩根，且.（Ⅰ）求證：數列是等比數列；（Ⅱ）求數列的前項和；（Ⅲ）設函數若對任意的都成立，求的取值范圍。18．（本小題滿分12分）2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質量標準》.其中規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的組別PM2.5（微克/立方米）頻數（天）頻率第一組(0,15]40.1第二組(15,30]120.3第三組(30,45]80.2第四組(45,60]80.2第三組(60,75]40.1第四組(75,90)40.1（Ⅰ）寫出該樣本的眾數和中位數（不必寫出計算過程）；（Ⅱ）求該樣本的平均數，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進？說明理由；（Ⅲ）將頻率視為概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質量標準的天數為，求的分布列及數學期望．19．（本小題滿分12分）如圖，四邊形中，為正三角形，，，與交于點．將沿邊折起，使點至點，已知與平面所成的角為，且點在平面內的射影落在內．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若已知二面角的余弦值為，求的大小.20．（本小題滿分12分）已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓，它的離心率為，一個焦點和拋物線的焦點重合,過直線上一點引橢圓的兩條切線，切點分別是.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若在橢圓上的點處的橢圓的切線方程是.求證:直線恒過定點；并出求定點的坐標.（Ⅲ）是否存在實數，使得恒成立？(點為直線恒過的定點)若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。21．（本小題滿分12分）已知函數SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.（I）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間(1,2)上不是單調函數,試求SKIPIF1<0的取值范圍;（II）已知SKIPIF1<0,如果存在SKIPIF1<0,使得函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得最小值,試求SKIPIF1<0的最大值.請考生在第22、23題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計分。22．在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（，為參數），在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心在極軸上，且經過極點的圓．已知曲線上的點對應的參數，射線與曲線交于點．（I）求曲線，的方程；（II）若點，在曲線上，求的值．23.已知函數(I)求不等式的解集;(II)設，若關于的不等式的解集非空，求實數的取值范圍.2023-2023學年高三1.B2．C3．C4．B5．D6.D7．C8．C9．D10．D11．B12．D13．（文）14．915．16.①②17．【解】：（1），即（3分）（2）（6分）（3）∴當n為奇數時（9分）當n為偶數時綜上所述，的取值范圍為（12分）18．【解】：（1）眾數為22.5微克/立方米,中位數為37.5微克/立方米．………4分（2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）．因為，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質量標準，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．…………8分（3）記事件表示“一天PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質量標準”，則.隨機變量的可能取值為0,1,2.且.所以，所以變量的分布列為012（天）,或（天）……12分（文）【解】（I）守成被調查人答卷情況統(tǒng)計表：同意不同意合計教師112女生246男生325 …………5分（II）（人） …………8分（III）設“同意”的兩名學生編號為1，2，“不同意”的四名學生分別編號為3，4，5，6，選出兩人則有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15種方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8種滿足題意，則恰有一人“同意”一人“不同意”的概率為 …………12分19．【解析】：（1）證明：由面，所以又所以-----4分（2）取中點，連結則，且，所以是平行四邊形，所以，且所以面;----8分（3）過作，交于，由題得在中，所以，所以-------12分（理）【解析】：(Ⅰ)易知為的中點，則，又，又，平面，所以平面（4分）(Ⅱ)方法一：以為軸，為軸，過垂直于平面向上的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則,（6分）易知平面的法向量為（7分），設平面的法向量為則由得，解得，，令，則（9分）則解得，，即，即，又，∴故.（12分）20．【解】：（I）設橢圓方程為。拋物線的焦點是，故，又，所以，所以所求的橢圓方程為……………3分（II）設切點坐標為,,直線上一點M的坐標。則切線方程分別為，。又兩切線均過點M，即，即點A,B的坐標都適合方程，而兩點之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，顯然對任意實數t，點（1,0）都適合這個方程，故直線AB恒過定點?！?分（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得，即所以…..8分不妨設，同理……10分所以即。故存在實數，使得?！?2分21．【解】：（I）由題意知,SKIPIF1<0在區(qū)間(1,2)上有不重復的零點,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0……3分令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在區(qū)間(1,2)上是增函數,所以其值域為SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0………5分（II）SKIPIF1<0,由題意知SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0①對SKIPIF1<0恒成立………7分當SKIPIF1<0時,①式顯然成立;………8分當SKIPIF1<0時,①式可化為SKIPIF1<0②,令SKIPIF1<0,則其圖象是開口向下的拋物線,所以SKIPIF1<0………9分即SKIPIF1<0,其等價于SKIPIF1<0③,因為③在SKIPIF1<0時有解,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0的最大值為SKIPI