機械工程控制基礎課件第5章：系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第五章

系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據5.3Nyquist（乃奎斯特）穩(wěn)定判據5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念一穩(wěn)定的概念Ab、不穩(wěn)定的擺AAA″a、穩(wěn)定的擺收斂（穩(wěn)定）等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）發(fā)散（不穩(wěn)定）x0(t)t用圖形表示：注意：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的內部條件，與輸入無關系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象，必須有適當的反饋作用控制理論所討論的穩(wěn)定性是指輸入為零時的系統(tǒng)穩(wěn)定二穩(wěn)定的定義和條件1定義在初始條件下，且不存在輸入作用，系統(tǒng)的時間響應隨時間的推移，逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，則為不穩(wěn)定。2條件線性定常系統(tǒng)經過Laplace變換（考慮到初始條件）其中：N(s)----與初始條件有關的s的多項式當輸入為零時：Si--------系統(tǒng)的根Ai-------與初始條件有關的系數L-1當Re[si]<0時穩(wěn)定不穩(wěn)定時間響應txo(t)特征根的分布ReImtxo(t)ReIm穩(wěn)定txo(t)ReIm不穩(wěn)定txo(t)ReIm臨界穩(wěn)定ttxo(t)xo(t)ReImReIm系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的全部特征根都必須具有負實部；反之，若系統(tǒng)特征根只要有一個或一個以上具有正實部時，系統(tǒng)不穩(wěn)定例系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定s1=-1s2=-2s3=-5s1=1s2=-2s3=-55.2Routh(勞斯）穩(wěn)定判據勞斯判據是基于方程式根和系數之間的關系建立的一、系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

D(s)=ansn+an-1sn-1+……..+a1s+a0當ai>0(i=1,2……n)時系統(tǒng)穩(wěn)定例：特征方程D(s)=s5+7s4+3s2+2s+1，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性∵s3的系數為0，不滿足勞斯判據的必要條件∴系統(tǒng)不穩(wěn)定例：特征方程D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性用勞斯判據的必要條件無法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、勞斯表閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

D(s)=ansn+an-1sn-1+……..+a1s+a0二系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、Routh穩(wěn)定判據

Routh表中的第一列各元的符號均為正數，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

若第一列各元的符號有改變，則改變的次數等于特征方程有右根的個數。++例系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，試判斷的穩(wěn)定性11∵勞斯表第一列元素不全為正，則系統(tǒng)不穩(wěn)定s5162

s4731s2s3s1s0有兩個右根二階系統(tǒng)：特征方程D(s)=a2s2+a1s+a0系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：a2>0,a1>0,a0>0階次較低的系統(tǒng)，Routh判據可表示為：勞斯陣列為：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2三階系統(tǒng)：

特征方程D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0a3>0,a2>0,a1>0,a0>0a2a1-a3a0>0系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：s3

a3

a1s2

a2

a0s1s0a0例：控制系統(tǒng)的方框圖如下，試確定當輸入為單位速度信號時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess<0.2s的K值的范圍-Ks(s+5)(s+1)Xi(s)Xo(s)解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳函Gk(s)可確定為I型系統(tǒng)則在單位速度信號輸入時，系統(tǒng)的速度偏差系數為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為K>25系統(tǒng)穩(wěn)定時的K值范圍∴系統(tǒng)穩(wěn)定且ess<0.2的K的取值范圍為25<0<30穩(wěn)定條件5×6-1×K>0K>00<K<30例3：設某系統(tǒng)的特征方程如下，試確定待定參數及，以便使系統(tǒng)穩(wěn)定。D(s)=s3+(+1)s2+(+-1)s+-1=0s31+-1s2+1-1s1+1(+)(+1)(+-1)-(-1)=(+)0so-1系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件+1>0-1>0(+)>0>0>1>-1>0>1+>0三、Routh判據的特殊情況1、勞斯陣列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各項不等于零或不全為零。處理方法：用一個很小的正數

代替該行第一列的零，并據此計算出陣列中的其余各項。然后令

0，按前述方法進行判別。如果零(

)上下兩項的符號相同，則系統(tǒng)存在一對虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果零(

)上下兩項的符號不同，則表明有一個符號變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例系統(tǒng)的特征方程s4+2s3+s2+2s+1=0，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性∵第一列元素不全為正數∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個右根s4111s322s201s1s01+++-+2、勞斯陣列表某一行全為零勞斯陣列出現(xiàn)全零行表明系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根，即存在大小相等符號相反的實根和（或）一對共軛虛根和（或）對稱于實軸的兩對共軛復根；或存在更多這種大小相等，但在s平面位置徑向相反的根。j0-aaReIm0-jajaj0-aa-jbjb處理方法：利用該零行上面一行元素構成輔助多項式，取輔助多項式導數的系數代替該零行，繼續(xù)計算勞斯陣列中其余各項。令輔助多項式等于零得到輔助方程，解此方程可得這些成對的特征根。顯然，輔助多項式的階次總是偶數。例如：∴閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

系統(tǒng)具有兩對共軛虛根5.3Nyquist穩(wěn)定判據一幅角原理其中：zi---零點pi---極點令：設F(s)在[s]平面上（除有限個奇點外）為單值的連續(xù)正則函數，并設[s]平面上解析點s映射到[F(s)]平面上為點F(s)，或為從原點指向此映射點的向量F(s).若在[s]平面上任意選定一封閉曲線Ls，只要此曲線不經過F(s)的奇點，則在[F(s)]平面上必有一對應的映射曲線LF，也是一封閉曲線。當解析點s按順時針沿Ls變化一周時，向量F(s)將按順時針方向旋轉N周，即F(s)以原點為中心順時針旋轉N周，這就等于曲線LF順時針包圍原點N次。Lsj[s]ReImF(s)s1F(s1)LFs2F(s2)若令：Z為包圍于Ls內的零點數，P為包圍于Ls的極點數，則：N=Z-P向量F(s)的相位角為：假設Ls內只包含了一個零點zi，其他零極點均位于Ls之外。jωσziz2p1p2s-zis-p1[s]Ls當s沿Ls按順時針移動一周時:向量(s-zi)的相位角變化了-2，而其他各向量的相位角變化為0。即向量F(s)的相位角總的變化量為-2.jωσziz2p1p2s-z1s-p1ImReF(si)[s][F(s)]LsLF若[s]平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個零點，則在[F(s)]平面上的映射曲線LF將繞原點順時針轉Z圈。若[s]平面上的封閉曲線包圍著F(s)的P個極點，則在[F(s)]平面上的映射曲線LF將繞原點逆時針轉P圈。若Ls包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，則在[F(s)]平面上的映射曲線LF將繞原點順時針轉N=Z-P圈。二、Nyquist穩(wěn)定判據1、開環(huán)、閉環(huán)傳函零、極點與F(s)函數之間關系G(s)H(s)-Xi(s)X0(s)開環(huán)傳函的表達形式為GK(s)=G(s)H(s)閉環(huán)傳函為令輔助函數F(s)=1+GK(s)GB(s)F(s)GK(s)零點極點零點極點零點極點相同相同2、Nyqusit穩(wěn)定判據j[s]+j∞0-j∞L1L2R=∞設F(S)在[s]右半平面有Z個零點和P個極點時，當s沿[s]平面上的Nyquist軌跡移動一周時，在[F]平面上的影射曲線LF順時針包圍原點

N=（Z-P）圈∵系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：Z=0∴

N=-P即系統(tǒng)穩(wěn)定時，F(xiàn)平面上的曲線逆時針包圍原點P圈ReIm[F]F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)ImRe[GH](-1,j0)GK(s)Nyquist穩(wěn)定判據：當由-∞到+∞時，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性GK(j)逆時針方向包圍（-1，j0)點P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。P為GK(s)在右半平面的極點數。

（若由0到+∞時，則為P/2圈）注意：由-∞到從0的Nyquist軌跡與由0到+∞的Nyquist軌跡互為以實軸為對稱軸的對稱曲線表述1：開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist軌跡不包圍（-1.j0)點。P=0開環(huán)穩(wěn)定由N=Z-P得：N=0例1：一個開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)的Nyquist曲線如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性∵Nyquist曲線不包圍（-1,j0)點∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(-1,j0)0∞ImRe-∞(-1,j0)∞∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定-∞∵Nyquist曲線順時針包圍（-1，j0)點2圈例2：0ImReP=0若：開環(huán)不穩(wěn)，存在著右極點，數量為P閉環(huán)穩(wěn)定的條件是：Z=0由N=Z-P，得到閉環(huán)穩(wěn)定的條件：N=-P表述2開環(huán)不穩(wěn)定時，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點P圈（P為開環(huán)正極點個數）開環(huán)不穩(wěn)，有一個正極點（P=1）∞∵Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點1圈∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定0(-2,j0)-∞ImRe(-1,j0)開環(huán)不穩(wěn)，有一個正極點（P=1）-∞∵Nyquist曲線順時針包圍(-1,j0)點1圈∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定0∞(-2,j0)ImRe(-1,j0)-∞∵Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點1圈(N=1)∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=1=NReIm(-1,j0)=0∞P=1例0ImRe∞開環(huán)傳函：當=0時，|Gk(s)|=∞=0+(0+)三開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖當s沿無窮小半圓逆時針方向移動時G(j0-)=∞∠λ×90oG(j0)=∞∠0oG(j0+)=∞∠λ×(-90o)0-0+ReIm在[GH]平面上的Nyquist軌跡將沿無窮大半徑從=0-(或=0)按順時針方向轉λ×180o(或λ×90o）到=0+。-0-λ=1∵Nyquist軌跡順時針包圍（-1，j0)點2圈∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定0+ImRe(-1,j0)例:系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。=0-=-∞P=1∵開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點1圈∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(-1,j0)ReIm=0+=∞例：開環(huán)傳函的Nyquist圖如下圖所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P=0λ=1=0-=-∞∵N=-2≠P()=-180+(arctan4-arctan-arctan2)＞-180o

(0+)(-1,j0)Re=0+=∞例：開環(huán)傳函圖如圖所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Im的Nyquist∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定四穿越的概念開環(huán)Nyquist軌跡在（-1,j0)點以左穿過負實軸的稱為穿越正穿越----相位增加負穿越-----相位減小相位大相位小ReIm(-1,j0)+1-1+0.5-0.5Nyquist穩(wěn)定判據的表述形式3：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，Nyquist曲線（由-到+）在負實軸上的正、負穿越次數之差等于開環(huán)正極點個數。即：當P=N+-N-時(由-到+）,系統(tǒng)穩(wěn)定或當0.5P=N+-N-時（由0到+）,系統(tǒng)穩(wěn)定N+=2N-=4∵N+-N-=-2

P=1∴系統(tǒng)不穩(wěn)定-1+1-1-1,j0)P=1ImReλ=1=0+=∞=0-=-∞-1-1+1五關于Nyquist判據的幾點說明Nyquist判據是在[GH]平面內判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性Nyquist判據應用簡單開環(huán)不穩(wěn)定時，閉環(huán)系統(tǒng)仍然可穩(wěn)定六、影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的因數1、開環(huán)增益KK=1K=10穩(wěn)定不穩(wěn)定K↑→系統(tǒng)穩(wěn)定性↓G(s)=Ks(s+1)(s+2)0+ReIm0+2、系統(tǒng)的型次系統(tǒng)的型次↑→系統(tǒng)穩(wěn)定性↓穩(wěn)定不穩(wěn)定=0-=-∞=0+=+∞ImRe=0+=+∞ImRe=0-=-∞3、系統(tǒng)的階次

階次的增大→系統(tǒng)穩(wěn)定性↓當開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時，在三階或三階以上時，閉環(huán)系統(tǒng)才可能不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定ReIm=0=+∞=-∞ReIm=0=+∞=-∞(-1,j0)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定穩(wěn)定T1<T2T1=T2T1>T2()=arctanT1-arctanT2-180ReIm=0+=0-=+∞φ(0+)>-180o=-∞=0ImRe=0+=+∞=0-φ(0+)<-180o=-∞4、各環(huán)節(jié)時間常數大小5、開環(huán)傳函零、極點個數零點多，可緩解不穩(wěn)定的傾向例如：5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據一、Nyquist圖和Bode圖的對應關系1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist圖上以原點為圓心的單位圓對應對數幅頻特性圖上的0分貝線。單位圓以外的Nyquist曲線，對應L()>0的部分；單位圓內部的Nyquist曲線對應L()<0的部分。

Nyquist圖上負實軸對應對數相頻特性圖上的－180°線。

Nyquist曲線與(-1,j0)點以左實軸的穿越點相當于L()>0的所有頻率范圍內的對數相頻特性曲線與－180°線的穿越點。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist圖中的正穿越對應于對數相頻特性曲線當增大時從下向上穿越－180°線(相角滯后減小)；負穿越對應于對數相頻特性曲線當

增大時，從上向下穿越－180°線(相角滯后增大)。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist曲線的輔助線反映在對數相頻特性曲線上。即將對數相頻特性曲線的起始點(0+)與(0+)+v90°線相連(v為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數目)。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°C---------剪切頻率（幅值交界頻率）g--------相位交界頻率ReImL()0cgcg()二、Bode判據不穩(wěn)定系統(tǒng)，C>gP=0=1ImRe（-1,j0)=0+=0-Cg穩(wěn)定系統(tǒng)，C<gImRe（-1,j0)P=0=1=0+gC=0-∵C<g∴系統(tǒng)穩(wěn)定L()()Cg-π0∵C>g∴系統(tǒng)不穩(wěn)定L()()gC-π0Bode穩(wěn)定判據表述1：

當開環(huán)穩(wěn)定時，若在L()>0的所有頻率下，其相頻曲線都在-線以上的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定L()()Cg0-π系統(tǒng)不穩(wěn)定L()()gC0-π表述2：開環(huán)不穩(wěn)定時，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：在L()>0的所有頻率下，系統(tǒng)的相頻特性曲線在-線上的正負穿越次數之差等于系統(tǒng)開環(huán)正極點個數的一半正穿越次數開環(huán)正極點個數負穿越次數N+=1,N-=2大小≠閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定N+-N-=-1L()0P=2()+1-1-15.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性K<6,穩(wěn)定K>6,不穩(wěn)定K=6,臨界穩(wěn)定ImRe結論：開環(huán)Nyquist曲線與(-1,j0)點的接近程度可以反映系統(tǒng)閉環(huán)的相對穩(wěn)定性，即穩(wěn)定程度一、相位裕度幅值穿越頻率c開環(huán)Nyquist曲線與單位圓的交點對應的頻率c稱為幅值穿