2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)與題型總結(jié)：第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

第十章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第一節(jié)隨機(jī)抽樣一、基礎(chǔ)知識(shí)1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(nWN),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．分層抽樣在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．3．系統(tǒng)抽樣定義：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可以將總體分成均衡的幾部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；確定分段間隔k,對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段.當(dāng)N(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k=n；當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行.這時(shí)在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性仍然相等.在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(lWk)按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)l+k,再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)l+2k，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.二、常用結(jié)論(1)不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的．系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個(gè)體的編號(hào)相差分段間隔k的整數(shù)倍.分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘抽樣比．(4)三種抽樣方法的特點(diǎn)、聯(lián)系及適用范圍類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按預(yù)先定出的規(guī)則在各部分中抽取在起始部分取樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體個(gè)數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)，米用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成考點(diǎn)一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣［典例］下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)有()從無限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本；盒子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里；用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)［解析］①不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個(gè)數(shù)是無限的，而不是有限的；②不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)樗怯蟹呕爻闃?；③明顯為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；④不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)椴皇堑瓤赡艹闃樱鄞鸢福軧［解題技法］應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問題

(1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．(2)在使用隨機(jī)數(shù)法時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去．［題組訓(xùn)練］總體由編號(hào)為01,02,???，19,20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08C.02A.08C.02D.01解析：選D由隨機(jī)數(shù)法的隨機(jī)抽樣的過程可知選出的5個(gè)個(gè)體是08,02,14,07,01，所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)是01.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為3則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為()D10D10D27解析：選C解析：選C根據(jù)題意9=1

n—13'解得n=28故在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為28=14-考點(diǎn)二系統(tǒng)抽樣TOC\o"1-5"\h\z［典例］(1)某校為了解1000名高一新生的身體生長(zhǎng)狀況，用系統(tǒng)抽樣法(按等距的規(guī)則)抽取40名同學(xué)進(jìn)行檢查，將學(xué)生從1?1000進(jìn)行編號(hào)，現(xiàn)已知第18組抽取的號(hào)碼為443,則第一組用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取的號(hào)碼為()A.16B.17C.18D.19(2)中央電視臺(tái)為了解觀眾對(duì)某綜藝節(jié)目的意見，準(zhǔn)備從502名現(xiàn)場(chǎng)觀眾中抽取10%進(jìn)行座談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進(jìn)行分組時(shí)，需剔除個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為樣間隔為［解析］(1)因?yàn)閺?000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為40的樣本，所以系統(tǒng)抽樣的分段間隔為100040隔為100040=25,設(shè)第一組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為x，則抽取的第18組編號(hào)為x+17X25=443,所以x=18.(2)把502名觀眾平均分成50組,由于502除以50的商是10,余數(shù)是2,所以每組有10名觀眾,還剩2名觀眾,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣時(shí),應(yīng)先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從502名觀眾中抽取2名觀眾,這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號(hào)為1,2,3,…,500,并均勻分成50段，每段含500=10個(gè)個(gè)體.所以需剔除2個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為10.［答案］(1)C(2)210［變透練清］(變結(jié)論)若本例(1)的條件不變，貝y編號(hào)落入?yún)^(qū)間［501,750啲人數(shù)為.解析：從1000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為40的樣本，系統(tǒng)抽樣分40組，每組1400=25個(gè)號(hào)碼，每組抽取一個(gè)，從501到750恰好是第21組到第30組，共抽取10人.答案：10(2018?南昌摸底調(diào)研)某校高三(2)班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機(jī)編號(hào)為0,1,2,…，63,依編號(hào)順序平均分成8組，組號(hào)依次為1,2,3,…，8?現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為8的樣本，若在第1組中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為5，貝在第6組中抽取的號(hào)碼為64解析：由題知分組間隔為瓦=8，又第1組中抽取的號(hào)碼為5，所以第6組中抽取的號(hào)碼為5X8＋5=45.答案：45［解題技法］系統(tǒng)抽樣中所抽取編號(hào)的特點(diǎn)系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對(duì)應(yīng)的號(hào)碼就是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號(hào)碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號(hào)碼．［提醒］系統(tǒng)抽樣時(shí)，如果總體中的個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可以先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行.考點(diǎn)三分層抽樣［典例］某電視臺(tái)在網(wǎng)上就觀眾對(duì)其某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人，其中各種態(tài)度對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示：最喜愛喜愛一般不喜歡4800720064001600電視臺(tái)為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取100人進(jìn)行詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣時(shí)，每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為()A．25,25,25,25B．48,72,64,16C．20,40,30,10D．24,36,32,8［解析］法一：因?yàn)槌闃颖葹?0冊(cè)=2oc，所以每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為4800X200=24,7200X200=36,6400X200=32,1600^200=8.法二：最喜愛、喜愛、一般、不喜歡的比例為4800:7200:6400:1600=6：9：8：2，所以每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為66+9所以每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為66+9+8+2X100=24，96+9+8+2X100=36，826+9+8+2X100=32,6+9+8+2X100=8.［答案］D［解題技法］分層抽樣問題的類型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．樣本容量⑶分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比=總體容量=各層樣本數(shù)量”各層個(gè)體數(shù)量°［題組訓(xùn)練］1?(2019?山西五校聯(lián)考)某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一1000人、高二1200人、高三n人中抽取81人進(jìn)行問卷調(diào)查，若高二被抽取的人數(shù)為30,則n=()A860B720C1020D1040301811解析：選D由已知條件知抽樣比為市=40從而1000+1200+n=40,解得n=1040，故選D.

答案：85答案：85［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］1．從2019名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽，若采用以下方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從2019名學(xué)生中剔除19名學(xué)生，剩下的2000名學(xué)生再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學(xué)生入選的概率()A.不全相等B.均不相等C.都相等，且為需D.都相等，且為￡解析：選C從N個(gè)個(gè)體中抽取M個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都等于鈴，故每名學(xué)生入選的概率都相等，且為2019.TOC\o"1-5"\h\z2．福利彩票“雙色球”中紅球的號(hào)碼可以從01,02,03，…，32,33這33個(gè)兩位號(hào)碼中選取，小明利用如下所示的隨機(jī)數(shù)表選取紅色球的6個(gè)號(hào)碼，選取方法是從第1行第9列的數(shù)字開始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個(gè)被選中的紅色球的號(hào)碼為()81472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049A.12B.33C．06D．16解析：選C被選中的紅色球的號(hào)碼依次為17,12,33,06,32,22，所以第四個(gè)被選中的紅色球的號(hào)碼為06.某班共有學(xué)生52人，現(xiàn)根據(jù)座號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本.已知5號(hào)、18號(hào)、44號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的座號(hào)是()A.23B.27C.31DC.31CC.65D.66解析：選C分段間隔為才=13，故樣本中還有一個(gè)同學(xué)的座號(hào)為18+13=31.4．某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a,b,c,且a,b,c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為()A．800雙B．1000雙C．1200雙D．1500雙解析：選C因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占12月份生產(chǎn)總數(shù)的三分之一，即為1200雙皮靴．5.(2018?南寧摸底聯(lián)考)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A.100,20B.200,20C.200,10D.100,10解析：選B由題圖甲可知學(xué)生總?cè)藬?shù)是10000,樣本容量為10000X2%=200,抽取的高中生人數(shù)是2000X2%=40,由題圖乙可知高中生的近視率為50%,所以抽取高中生的近視人數(shù)為40X50%=20，故選B.—個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0,1,2,…，99.依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組,組號(hào)依次為1,2,3,…,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本,如果在第一組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m,那么在第k組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相同.若m=6,則在第7組中抽取的號(hào)碼是()A.63B.64解析：選A若m=6,則在第7組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與13的個(gè)位數(shù)字相同，而第7組中的編號(hào)依次為60,61,62,63，…，69，故在第7組中抽取的號(hào)碼是63.采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2,…，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9.抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間［1,450］的人做問卷A,編號(hào)落入?yún)^(qū)間（450,750］的人做問卷B,其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為（）A.7B.9C.10D.15解析：選C960=32=30，故由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以9為首項(xiàng)，以30為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an=9+30（n-1）=30n-21.由450V30n—21W750,解得15.7VnW25.7.又n為正整數(shù)，所以16WnW25，故做問卷B的人數(shù)為25—16+1=10.故選C.某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量（件）1300樣本容量（件）130由于不小心，表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10,根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是件.x解析：設(shè)樣本容量為x，則3000X1300=130，?：x=300.???A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300—130=170（件）.設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y+y+10=170，?y=80.:.C產(chǎn)品的數(shù)量為30°X80=800（件）.答案：800某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個(gè)分廠產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測(cè)試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為；由所得樣品的測(cè)試結(jié)果計(jì)算出一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1020小時(shí)、980小時(shí)、1030小時(shí)，估計(jì)這個(gè)企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使用壽命為小時(shí).解析：第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為100X50%=50;該產(chǎn)品的平均使用壽命為1020X0.5+980X0.2+1030X0.3=1015.答案：501015將參加冬季越野跑的600名選手編號(hào)為：001,002,…，600,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，把編號(hào)分為50組后，在第一組的001到012這12個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽得的號(hào)碼為004，這600名選手穿著三種顏色的衣服，從001到301穿紅色衣服，從302到496穿白色衣服，從497到600穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為.解析：由題意及系統(tǒng)抽樣的定義可知，將這600名學(xué)生按編號(hào)依次分成50組，每一組各有12名學(xué)生，第k(kWN*)組抽中的號(hào)碼是4+12(k—1).令302W4+12(k—1)W496，得25|wkW42，因此抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為42—25=17(人).答案：1711.某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表初一年級(jí)初二年級(jí)初三年級(jí)女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19.

第二節(jié)用樣本估計(jì)總體一、基礎(chǔ)知識(shí)1．頻率分布直方圖(1)縱軸表示頻率

組距即小長(zhǎng)方形的高=(1)縱軸表示頻率

組距即小長(zhǎng)方形的高=頻率組距;(2)小長(zhǎng)方形的面積=組距X頻率組距=頻率;(3)各個(gè)小方形的面積總和等于1.2．頻率分布表的畫法極差第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距=組數(shù)；第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．3．莖葉圖莖葉圖是統(tǒng)計(jì)中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù)．4．中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)k，x2，…，x的平均數(shù)x=TOC\o"1-5"\h\z12nn(xi+x2+-+xn).5．樣本的數(shù)字特征如果有n個(gè)數(shù)據(jù)X[,x2，…，x，那么這n個(gè)數(shù)的12n(2)標(biāo)準(zhǔn)差s=(1)平均數(shù)X=1(x1+x2xn)(2)標(biāo)準(zhǔn)差s=[（X]—X）2+（X2—X）2卜（X”一X）2].(3)(3)方差S2=n〔(X］—x)2+(X2—x)2(x廠x)2］.二、常用結(jié)論頻率分布直方圖中的常見結(jié)論(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.平均數(shù)、方差的公式推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x”的平均數(shù)為x，則mx1+a,mx2+a,mx3+a,…，mx”+a的平均數(shù)是mx+a.若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x”的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b,…，ax”+b的方差為a2s2.考點(diǎn)一莖葉圖甲組乙蛆&59［典例］(2017?山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各525617y名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平x478均值也相等，則x和y的值分別為()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7［解析］由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65=60+y,解得y=5,又它們的平均值相等,所以jX［56+62+65+74+(70+x)］=|x(59+61+67+65+78),解得x=3.［答案］A［解題技法］莖葉圖的應(yīng)用莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù).通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對(duì)稱數(shù)據(jù)分布是否均勻等.給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，比較數(shù)字特征時(shí)，“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.［題組訓(xùn)練］

1?在如圖所示一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個(gè)數(shù)字被污染后模糊不清，2015但曾計(jì)算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61，則被污染的數(shù)字為（）3LL■4A.1B.223578C．3DC．3解析：選B由圖可知該組數(shù)據(jù)的極差為48—20=28，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為61—28=33，易得被污染的數(shù)字為2.甲乙872086128戈2152?甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)比賽得分的原始記錄如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均得分分別為7甲,7乙則下列結(jié)論正確的是（）甲乙xVx；乙比甲得分穩(wěn)定甲乙x>x；甲比乙得分穩(wěn)定甲乙匚>匚；乙比甲得分穩(wěn)定甲乙xVx；甲比乙得分穩(wěn)定甲乙解析：選A因?yàn)?解析：選A因?yàn)?＋7＋8＋16＋228+12+18+21+25x乙=5=16.8,以xVx且乙比甲成績(jī)穩(wěn)定.甲乙考點(diǎn)二頻率分布直方圖[典例]某城市100戶居民的月平均用電量（單位：千瓦時(shí)），以[160,180），[180,200）[200,220），[220,240），[240,260），[260,280），[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.（1）求直方圖中x的值;求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)．［解］⑴由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)X20=l,解得x=0.0075.即直方圖中x的值為0.0075.220+240(2)月平均用電量的眾數(shù)是一2一=230.???(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45V0.5,(0.002+0.0095+0.011+0.0125)X20=0.7>0.5,???月平均用電量的中位數(shù)在［220,240)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為a,則0.45+0.0125X(a—220)=0.5,解得a=224，即中位數(shù)為224.［變透練清］1．某校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班有出國(guó)意向的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以5為組距將數(shù)據(jù)分組為［0,5),［5,10),…，［30,35),［35,40］,所作的頻率分布直方圖是()解析：選A以5為組距將數(shù)據(jù)分組為[0,5),[5,10),…，[30,35),[35,40],各組的頻數(shù)依次為1,1,424,3,3,2,可知畫出的頻率分布直方圖為選項(xiàng)A中的圖.2.(變結(jié)論)在本例條件下，在月平均電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取戶．解析：月平均用電量在[220,240)的用戶有0.0125x20x100=25(戶).同理可得月平均用電量在[240,260)的用戶有15戶,月平均用電量在[260,280]的用戶有10戶,月平均用電量在[280,300]的用戶有[280,300]的用戶有5戶，故抽取比例為1125+15+10+5所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25x|=5(戶).答案：53．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由．解：(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08x0.5=0.04.同理，在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]6組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5xa+0.5xa,解得a=0.30.(2)估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬.理由如下：由(1)知,100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000X0.12=36000=3.6（萬）.考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征考法（一）樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯［典例］（2019?遼寧師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）某校初三年級(jí)有400名學(xué)生，隨機(jī)抽查了40名學(xué)生測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(jī)（單位：次），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．用樣本估計(jì)總體，下列結(jié)論正確的是（）該校初三學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為25該校初三學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為24該校初三學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約有80該校初三學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為8［解析］第一組數(shù)據(jù)的頻率為0.02X5=0.1,第二組數(shù)據(jù)的頻率為0.06X5=0.3，第三組數(shù)據(jù)的頻率為0.08X5=0.4,???中位數(shù)在第三組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為25+x,則xX0.08=0.5—0.1—0.3=0.1,???x=1.25,???中位數(shù)為26.25，故A錯(cuò)誤；第三組數(shù)據(jù)所在的矩形最高，第三組數(shù)據(jù)的中間值為27.5,?眾數(shù)為27.5，故B錯(cuò)誤；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.2,??超過30次的人數(shù)為400X0.2=80，故C正確；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1,??1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為400X0.1=40，故D錯(cuò)誤.故選C.［答案］C［解題技法］頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．考法(二)樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯［典例］將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91.現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示，則TOC\o"1-5"\h\z7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為.774010■■91［解析］由莖葉圖可知去掉的兩個(gè)數(shù)是87,99，所以87+90X2+91X2+94+90+x=13691X7，解得x=4.故s2=7【(87—91)2+(90—91)2x2+(91—91)2x2+(94—91)2x2］=〒.［答案［答案］367［解題技法］樣本的數(shù)字特征與莖葉圖綜合問題的注意點(diǎn)在使用莖葉圖時(shí)，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中數(shù)字的特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．莖葉圖既可以表示兩組數(shù)據(jù)，也可以表示一組數(shù)據(jù)，用它表示的數(shù)據(jù)是完整的數(shù)據(jù)因此可以從莖葉圖中看出數(shù)據(jù)的眾數(shù)(數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù))、中位數(shù)(中間位置的一個(gè)數(shù)，或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))等．考法(三)樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯［典例］(2018?周口調(diào)研)甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示．(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤?寫出計(jì)算過程)：平均數(shù)方差命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲乙(2)從下列三個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析：從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績(jī)更穩(wěn)定)；從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績(jī)好些)；從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(shì)看(分析誰更有潛力).[解]由題圖，知甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.將它們由小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.將它們由小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.1(1)x甲=^X(5+6X2+7X4+8X2+9)=7(環(huán))，—1x乙=話X(2+4+6+7X2+8X2+9X2+10)=7(環(huán))，s2=書X[(5—7)2+(6—7)2x2+(7—7)2x4+(8—7)2x2+(9—7)2]=^X(4+2+0+2+4)=1.2,s乙=占X[(2—7)2+(4—7)2+(6—7)2+(7—7)2x2+(8—7)2x2+(9—7)2x2+(10—7)2]二寺乂(25+9+1+0+2+8+9)=54填表如下：平均數(shù)方差命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲71.21乙75.43⑵①???平均數(shù)相同，s甲Vs乙,???甲成績(jī)比乙穩(wěn)定.??平均數(shù)相同，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲比乙少，?乙成績(jī)比甲好些.??甲成績(jī)?cè)谄骄鶖?shù)上下波動(dòng)，而乙處于上升勢(shì)頭，從第三次以后就沒有比甲少的情況發(fā)生，?乙更有潛力.［解題技法］利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．［題組訓(xùn)練］1．對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本中的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是()2502331244855577880011479I7fiA．46,45,56CA．46,45,56C．47,45,56D．45,47,5345＋47解析：選A樣本共30個(gè)，中位數(shù)為一一=46;顯然樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為45,故眾數(shù)為45;極差為68—12=56，故選A.2．甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)x8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個(gè)人中選擇一人參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是（）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：選C由表格中數(shù)據(jù)可知，乙、丙平均環(huán)數(shù)最高，但丙方差最小，說明成績(jī)好，且技術(shù)穩(wěn)定，選C.3.某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取40個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)得到的零件的質(zhì)量（單位：克）繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)按照［80,82），［82,84），［84,86），［86,88），［88,90），［90,92），［92,94），［94,96］分成8組，將其按從左到右的順序分別記為第一組，第二組，，第八組.則樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第組.解析：由題圖可得，前四組的頻率為（0.0375+0.0625+0.0750+0.1000）X2=0.55,則其頻數(shù)為40X0.55=22，且第四組的頻數(shù)為40X0.1000X2=8,故中位數(shù)在第四組.答案：四［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］A級(jí)1.一個(gè)頻數(shù)分布表（樣本容量為30）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在［20,60）上的頻率為0.8，則估計(jì)樣本在［40,60）內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為（）CC．2D．3AA.0B.1A．14B．15C．16D．17解析：選B由題意，樣本中數(shù)據(jù)在［20,60）上的頻數(shù)為30X0.8=24,所以估計(jì)樣本在［40,60）內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為24—4—5=15.（2019?長(zhǎng)春質(zhì)檢）如圖所示是某學(xué)校某年級(jí)的三個(gè)班在一學(xué)期內(nèi)的六次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均成績(jī)y關(guān)于測(cè)試序號(hào)x的函數(shù)圖象，為了容易看出一個(gè)班級(jí)的成績(jī)變化，將離散的點(diǎn)用虛線連接，根據(jù)圖象，給出下列結(jié)論：一班成績(jī)始終高于年級(jí)平均水平，整體成績(jī)比較好；二班成績(jī)不夠穩(wěn)定，波動(dòng)程度較大；三班成績(jī)雖然多數(shù)時(shí)間低于年級(jí)平均水平，但在穩(wěn)步提升.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

解析：選D①由圖可知一班每次考試的平均成績(jī)都在年級(jí)平均成績(jī)之上，故①正確.②由圖可知二班平均成績(jī)的圖象高低變化明顯，可知成績(jī)不穩(wěn)定，波動(dòng)程度較大，故②正確.③由圖可知三班平均成績(jī)的圖象呈上升趨勢(shì)，并且圖象的大部分都在年級(jí)平均成績(jī)圖象的下方，故③正確.故選D.（2018.貴陽(yáng)檢測(cè)）在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽中，將三個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40,則成績(jī)?cè)?0?100分的學(xué)生人數(shù)是（）B.18AB.18C.20D.25解析：選A根據(jù)頻率分布直方圖，得第二小組的頻率是0.04X10=0.4，：?頻數(shù)是40,40.?.樣本容量是肓=100，又成績(jī)?cè)?0?100分的頻率是（0.01+0.005）X10=0.15，.?.成績(jī)?cè)?0?100分的學(xué)生人數(shù)是100X0.15=15.故選A.A地B地274S679886249544.2017年4月，泉州有四處濕地被列入福建省首批重要濕地名錄，某同學(xué)決定從其中A，B兩地選擇一處進(jìn)行實(shí)地考察.因此，他通過網(wǎng)站了解上周去過這兩個(gè)地方的人對(duì)它們的綜合評(píng)分，并將評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)記錄為右圖的莖葉圖，記A，B兩地綜合評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的均值分別為匚人，匚b，方差分別為sA，sB.若以備受好評(píng)為依據(jù)，則下述判斷較合理的是（）A.因?yàn)閤A>XB，SA>SB，所以應(yīng)該去A地B?因?yàn)樨蜛>匚B，sA<sB，所以應(yīng)該去A地C?因?yàn)樨蜛<匚B，sa>sb，所以應(yīng)該去B地D?因?yàn)閤A<xB，SA<SB，所以應(yīng)該去B地11解析：選B因?yàn)閤A=6X(72+86+87+89+92+94)^86.67,xB=6X(74+73+88+86+95+94)=85,sa宀6【(72—86.67)2+(86—86.67)2+(87—86.67)2+(89—86.67)2+(92—86.67)2+(94—86.67)2]心50.56,sB=1〔(74—85)2+(73—85)2+(88—85)2+(86—85)2+(95—85)2+(94—85)2]=76,所以xA>xB,sa<sb（A數(shù)據(jù)集中，B數(shù)據(jù)分散）,所以A地好評(píng)分高，且評(píng)價(jià)穩(wěn)定.故選B.5.(2018?青島三中期中)已知數(shù)據(jù)x],x2，…，x”的平均數(shù)x=5,方差s2=4,則數(shù)據(jù)3x]+7,3x2+7,…，3x“+7的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為()A.15,36B.22,6C.15,6D.22,36解析：選BVx],x2,x3,…,xn的平均數(shù)為5,TOC\o"1-5"\h\zx,+xo+x3x,+3xo+3x,3(x’+xo+x),,???―2n=5,?：2n+7=1―2顯+7=3X5+7=22.nnn,.*x],x2,x3,…，x”的方差為4,?.3x1+7,3x2+7,3x3+7,…，3x”+7的方差是32X4=36，故數(shù)據(jù)3x]+7,3x2+7,…，3x“+7的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為22,6，故選B.6.（2018?江蘇高考）已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，B99那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為.9°1解析：這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別是89,89,90,91,91，因此這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為89+均數(shù)為89+89+90+91+915=90.答案：907.為了了解某校高三美術(shù)生的身體狀況，抽查了部分美術(shù)生的體重，將所得數(shù)據(jù)整理后，作出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1：3：5,第2個(gè)小組的頻數(shù)為15,則被抽查的美術(shù)生的人數(shù)是.解析:設(shè)被抽查的美術(shù)生的人數(shù)為n因?yàn)楹?個(gè)小組的頻率之和為(0.0375+0.0125)X5=0.25,所以前3個(gè)小組的頻率之和為0.75.又前3個(gè)小組的頻率之比為1：3：5,第2個(gè)小組的頻數(shù)為15，所以前3個(gè)小組的頻數(shù)分別為個(gè)小組的頻數(shù)為15，所以前3個(gè)小組的頻數(shù)分別為5,15,25，所以5＋15＋25n=0.75=60.答案：608.某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x,y,10,11,9?已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,貝ylx—yl的值為.解析：由題意知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,可得x＋y=20,(x－10)2＋(y－10)2=8,設(shè)x=10+t,y=10—t,由(x—10)2+(y—10)2=8得t2=4,所以lx—yl=2ltl=4.答案：49．某班100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]．求圖中a的值；根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分；(3)若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)X:y1:12:13:44:5解：⑴由頻率分布直方圖知(0.04+0.03+0.02+2a)X10=l,因此a=0.005.因?yàn)?5X0.05+65X0.4+75X0.3+85X0.2+95X0.05=73.所以這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為73分．分別求出語(yǔ)文成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人數(shù)依次為0.05X100=5,0.4X100=40,0.3X100=30,0.2X100=20.所以數(shù)學(xué)成績(jī)分?jǐn)?shù)段在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人數(shù)依次為5,20,40,25.所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù)有100－(5+20+40+25)=10.B級(jí)1．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)技工加工的合格零件數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，已知兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件的平均數(shù)都為10.求出m，n的值；求出甲、乙兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件的方差s甲和s乙并由此分析兩組技工的加工水平．11解：(1)根據(jù)題意可知：x甲=5(7+8+10+12+10+m)=10,x乙=5(9+n+10+11+12)=10,所以m=3,n=8.(2)s2=*[(7—10)2+(8—10)2+(10—10)2+(12—10)2+(13—10)2]=5.2,S2=1[(8—10)2+(9—10)2+(10—10)2+(11—10)2+(12—10)2]=2,因?yàn)閤甲=x乙，S2>S2,所以甲、乙兩組的整體水平相當(dāng),乙組更穩(wěn)定一些．2．某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)的400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)按[20,30)，[30,40),…，[80,90]分成7組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．估計(jì)總體的眾數(shù)；已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)；已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．70＋80解：(1)由頻率分布直方圖可估計(jì)總體的眾數(shù)為一2—=75.由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［50,90］內(nèi)的人數(shù)為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)X10X100=90.因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，所以樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－90－5=5.5x設(shè)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為x,則而=而，解得x=20,故估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為20.由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)為(0.04+0.02)X10X100=60.因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)相等，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為30.因?yàn)闃颖局杏幸话肽猩姆謹(jǐn)?shù)不小于70，所以樣本中男生的人數(shù)為60，女生的人數(shù)為40.由樣本估計(jì)總體，得總體中男生和女生人數(shù)的比例約為3:2.第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例—、基礎(chǔ)知識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.I體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān).兩個(gè)變量的線性相關(guān)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近,稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.AAA回歸方程％y=bx+a，其中通過求Q=’(y-bx~a)2的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到i,=f回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)rVO時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).r的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對(duì)值越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常Irl大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2X2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)變量，它們的取值分別為｛x1，x2｝和V],y2｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2X2列聯(lián)表)如下：丁1丁2總計(jì)x1aba+bX2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量利用隨機(jī)變量K2(也可表示為X)的觀測(cè)值k=(a+b)(c￥d)(a￥c)(b+d)(其中n=a+b+c+d為樣本容量)來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).，二、常用結(jié)論AA(1)求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)ab,應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(x，y)?根據(jù)K的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.A根據(jù)回歸方程計(jì)算的y值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.考點(diǎn)一回歸分析考法(一)求線性回歸方程［典例］(2019?湘東五校聯(lián)考)已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：x246810y3671012請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在網(wǎng)格紙中繪制散點(diǎn)圖；AAA請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程丁=方工+。，并估計(jì)當(dāng)x=20時(shí)y的值.^n——乙xy)—nxyi=i=l參考公式：b=—A——A——a=y—bx.乙x?—nx21=1［解］(1)散點(diǎn)圖如圖所示：1(2)依題意，x=5x(2+4+6+8+10)=6,—1y=5X(3+6+7+10+12)=76,￡x2=4+16+36+64+100=220,￡^=6+24+42+80+120=272,i=1i=1

￡兀：丁廠5xya匸：272-5X6X7.644b===一=11i1b_220—5X62401.1i1X2a/.a=7.6—1.1X6=1,a??.線性回歸方程為y=1.1x+1,故當(dāng)x=20時(shí)，y=23.考法（二）相關(guān)系數(shù)及應(yīng)用由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明.［典例］如圖是我國(guó)2012年至2018由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明.［典例］如圖是我國(guó)2012年至2018年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．參考數(shù)據(jù)：右尸9.32,i=1i=1~2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r=為(廠t)2^(y-y)2i=1i=1［解］由折線圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)及公式得t4，i=1￡(—i=1￡(——t)2=2&i=1￡(y~y)2=0.55,￡(t—t)(y—y)=￡卩廠t￡yi=40.17-4X9.32=2.89,r^0.55X2X2.646^0.".i=1i=1i=1因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.［解題技法］1．線性回歸分析問題的類型及解題方法求線性回歸方程：AA利用公式，求出回歸系數(shù)b,a待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)中心求系數(shù).利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)：把回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)b.2．模型擬合效果的判斷殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．相關(guān)指數(shù)R2越大，模型的擬合效果越好.回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)Irl越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．［題組訓(xùn)練］1.(2019?惠州調(diào)研)某商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(°C)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x/C171382月銷售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程程y=bx+a中的b=-2,氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6C,據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣銷售量約為()A.46件B.40件C.38件D.58件AAAA解析：選A由題中數(shù)據(jù)，得x=10,y=38，回歸直^y=bx+a過點(diǎn)(x,y)，且bAA=—2,代入得a=58，則回歸方程y=—2x+58，所以當(dāng)x=6時(shí)，y=46，故選A.2.近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：x1234567y6011021034066010101960根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.參考數(shù)據(jù)：yvi=1￡xv.1Ii=1100.546212.542535078.123.4717其中v.=lgy.,v=~Lvi=1根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，y=a+bx與y=c?dx(c,d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)?根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及上表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次．參考公式：AAA對(duì)于一組數(shù)據(jù)(U],v1)，(u2，v2),…，(un，vn)，其回歸直線v=a+紡的斜率和截距的工呼廠nuv=1AA最小二乘估計(jì)公式分別為〃=，a=vU.工叫—u2=1解：⑴根據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷，y=c?dx適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型．(2)y=c?dx兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lgy=lg(c?dx)=lgc+xlgd,設(shè)lgy=v，貝Uv=lgc+xlgd.*/x=4,v=2.54,￡x?=140,i=1治廠7x治廠7xvi=1lgd=￡x2—7x278.12—7X4X2.54?=140—7X42i=1把(4,2.54)代入v=lgc+xlgd,得lgc=1.54,AA...v=1.54+0.25x,.°.y=101.54+0.25x=1O1.54?(1Oo.25)x.A把x=8代入上式，得y=101.54+0.25X8=103.54=103X100.54=3470,A?y關(guān)于x的回歸方程為A=101.54.(100.25)x,活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為3470.考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)［典例］(2018?全國(guó)卷III節(jié)選)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：第…種生產(chǎn)方式第一種住產(chǎn)方式865568997(i270122345fifi89877654332811452110090(1)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(2)根據(jù)(1)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？n(ad—bc)2附.K2=°(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)V(K^k)0.0500.0100.001k亂841乩6351①刪

［解］(1)由莖葉圖知m=篤81=80.列聯(lián)表如下：(2)因?yàn)镵(2)因?yàn)镵2=40(15X15—5X5)220X20X20X20=10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515率有差異．［解題技法］2個(gè)明確明確兩類主體；明確研究的兩個(gè)問題2個(gè)關(guān)鍵準(zhǔn)確畫出2X2列聯(lián)表；準(zhǔn)確求解K3個(gè)步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表；⑵根據(jù)公式K2—冊(cè))(丄d)(a丄)(b+d)，計(jì)算K的值；(3)查表比較K2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷［題組訓(xùn)練］1.(2019?滄州模擬)某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如表:認(rèn)為作業(yè)量大認(rèn)為作業(yè)量不大總計(jì)男生18927女生81523總計(jì)262450已知P(K2±3.841)a0.05,P(K2±5.024)a0.025,P(K226.635)~0.010.則(填“有”或“沒有”)97.5%的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”.解析：因?yàn)镵2解析：因?yàn)镵2=50X(18X15—8X9)226X24X27X23~5.059>5.024,所以有97.5%的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”答案：有2．為考察某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：未發(fā)病發(fā)病總計(jì)未注射疫苗20xA注射疫苗30yB總計(jì)5050100現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為2?⑴求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,y,A,B的值.(2)繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖，并判斷疫苗是否影響到了發(fā)病率？n=a+bn=a+b+c+d.臨界值表：P(K2±k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828附：皆咖W2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解：(1)設(shè)“從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到‘注射疫苗'動(dòng)物”為事件M由已知得p(m)=，I。。=5,所以y=10，則B=40,x=40,A=60.4。2⑵未注射疫苗發(fā)病率為60=3^0.67,注射疫苗發(fā)病率為40=4=0.25.發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,由圖可以看出疫苗影響到了發(fā)病率．宀“100X(20X10—40X30)2⑶因?yàn)镵2=60X40X50X50^16,67>10,828,所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為疫苗有效．［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］A級(jí)1.對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(x.,y.)(z=1,2,-,10),得散點(diǎn)圖如圖①，對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(冷，v.)(i=1,2,-,10),得散點(diǎn)圖如圖②?由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()

變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析：選C由散點(diǎn)圖可得兩組數(shù)據(jù)均線性相關(guān)，且圖①的線性回歸方程斜率為負(fù)，圖②的線性回歸方程斜率為正，則由散點(diǎn)圖可判斷變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān).2.（2019?長(zhǎng)沙模擬）為了解某社區(qū)居民購(gòu)買水果和牛奶的年支出費(fèi)用與購(gòu)買食品的年支出費(fèi)用的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)表：購(gòu)買食品的年支出費(fèi)用x/萬元2.092.152.502.842.92購(gòu)買水果和牛奶的年支出費(fèi)用y/萬兀1.251.301.501.701.75根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a，其中b=0.59,a=y一bx，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶購(gòu)買食品的年支出費(fèi)用為3.00萬元的家庭購(gòu)買水果和牛奶的年支出費(fèi)用約為（）A.1.795萬元B.2.555萬元C.1.915萬元D.1.945萬元11解析：選Ax=5X（2.09+2.15+2.50+2.84+2.92）=2.50（萬元），y=5^（1.25+1.30+1.50+1.50+1.70+1.75）=1.50（萬元），其中b=0.59,AAA貝Ua=y—bx=0.025,y=0.59x+0.025,故年支出費(fèi)用為3.00萬元的家庭購(gòu)買水果和牛奶的年支出費(fèi)用約為y=0.59X3.00+0.025=1.795（萬元）.

3．下面四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是()從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每15分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是系統(tǒng)抽樣B?對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K的觀測(cè)值k來說，k越大，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大C.兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0AD.在回歸直線方程y=0.4x+12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.4個(gè)單位解析：選C兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故C錯(cuò)誤．4．春節(jié)期間，“厲行節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi)”之風(fēng)悄然吹開，某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015則下面的正確結(jié)論是()附表及公式：P(K2±k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828n(ad—bc)2K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到'光盤'與性別有關(guān)”在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到'光盤'與性別無關(guān)”在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到'光盤'與性別有關(guān)”有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到'光盤'與性別無關(guān)”解析：選A由列聯(lián)表得到a=45,b=10,c=30,d=15，則a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100,計(jì)算得K的觀測(cè)值k=n(ad~bc)2100X(675—300)23.030.因?yàn)?.706<3.030<3.8413.030.因?yàn)?.706<3.030<3.841,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)55X45X75X25所以有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤'與性別有關(guān)”．5．為了研究工人的日平均工作量是否與年齡有關(guān)，從某工廠抽取了100名工人，且規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，列出的2X2列聯(lián)表如下:

生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手總計(jì)25周歲以上25356025周歲以下103040總計(jì)3565100解析：由2X2解析：由2X2列聯(lián)表可知，K2=100X(25X30—10X35)240X60X35X652.93，因?yàn)?.93>2.706，所以有90%以上的把握認(rèn)為“工人是否為‘生產(chǎn)能手'與工人的年齡有關(guān)”．答案：90%6．隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng)．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款（年底余額）如下表：年份20142015201620172018時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y（千億元）567810則y關(guān)于t的回歸方程是．1旳15—1孫36解析：由表中數(shù)據(jù)得n=5,t=^t.=15=3,y=nSyi=3?=7.2.i=1i=1n又工t2—nt2=55—5X32=10,ii=1nLty-nty=120—5X3X7.2=12.i=1乙ty—nty,人i'=112從而b==10=1.2,Lt2_nt2ii=1AA—a=y—bt=7.2—1.2X3=3.6,故所求回歸方程為y=1.2t+3.6.A答案：y=1.2t+3.67．某電視廠家準(zhǔn)備在元旦舉行促銷活動(dòng)，現(xiàn)根據(jù)近