大學(xué)物理學(xué)-第五章機(jī)械波

§5.1波的產(chǎn)生和傳播§5.2平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程§5.3波的能量與能流聲壓與聲強(qiáng)

§5.4波的衍射現(xiàn)象惠更斯原理§5.5波的疊加與干涉駐波§5.6多普勒效應(yīng)

第5章波動(dòng)作業(yè)：4、5、6、7、8、9、10、12、13、14、15、16、17、1§1波的產(chǎn)生和傳播1.

機(jī)械波的產(chǎn)生產(chǎn)生條件:波源彈性媒(介)質(zhì)振動(dòng)的傳播過程稱為波動(dòng)，簡(jiǎn)稱波。機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)（各質(zhì)元間以彈性力相聯(lián)系）中的傳播稱為機(jī)械波，如聲波、水波、地震波等；交變的電磁場(chǎng)通過本身的相互激發(fā)在空間傳播，形成電磁波，如無線電波、光波、X射線等。近代物理的研究表明，微觀粒子也具有波動(dòng)性，稱為物質(zhì)波。波動(dòng)是物質(zhì)的一種常見的運(yùn)動(dòng)形式，具有一定傳播速度，并伴隨有能量的傳播，能產(chǎn)生干涉和衍射現(xiàn)象等。本篇主要討論機(jī)械波的規(guī)律。緒言2橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行波動(dòng)現(xiàn)象是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質(zhì)點(diǎn)仍在其各自平衡位置附近作振動(dòng)。2.橫波和縱波3軟繩軟彈簧波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向在機(jī)械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)。空氣中的聲波是縱波。液體表面的波動(dòng)情況較復(fù)雜，不是單純的縱波或橫波。4結(jié)論：(1)質(zhì)元并未“隨波逐流”波的傳播不是媒質(zhì)質(zhì)元的傳播(2)“上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游”的質(zhì)元振動(dòng)(3)某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻于“下游”某處出現(xiàn)---波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播(4)

同相點(diǎn)----質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)相同波長(zhǎng)相位差2相鄰波是相位的傳播沿波的傳播方向,各質(zhì)元的相位依次落后。b點(diǎn)比a點(diǎn)的相位落后：abxx傳播方向重要結(jié)論！5波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向。波陣面：在波動(dòng)過程中，把振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面(簡(jiǎn)稱波面)。波前：在任何時(shí)刻，波面有無數(shù)多個(gè)，最前方的波面即是波前。波前只有一個(gè)。平面波：波面為平面球面波：波面為球面3.波陣面和波射線平面波波線波陣面球面波波陣面波線6波的特征量1.波長(zhǎng)：兩相鄰?fù)帱c(diǎn)間的距離,或一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)波傳過的距離。2.波的頻率:媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)(元)的振動(dòng)頻率即單位時(shí)間傳過媒質(zhì)中某點(diǎn)的波的個(gè)數(shù)。3.波速u:波速是振動(dòng)狀態(tài)的傳播速度，數(shù)值上等于單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)狀態(tài)傳播的距離。波速u主要決定于媒質(zhì)的性質(zhì)和波的類型(橫波、縱波)當(dāng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于介質(zhì)分子間的距離時(shí)，宏觀上介質(zhì)可視為是連續(xù)的；若波長(zhǎng)小到分子間距尺度時(shí)，介質(zhì)不再具備連續(xù)性，此時(shí)不能傳播彈性波。彈性波在介質(zhì)中傳播時(shí)存在一個(gè)頻率上限。74.波的傳播速度波速u

—振動(dòng)狀態(tài)(位相)的傳播速度，又稱相速。波速完全由媒質(zhì)的性質(zhì)(彈性和慣性)來確定。如液體、氣體中的縱波，波速：容變彈性模量質(zhì)量密度(慣性)固體中的橫波，波速：切變彈性模量縱波，波速：楊氏彈性模量柔繩中的橫波，波速：繩中的張力質(zhì)量線密度8一列平面簡(jiǎn)諧波（假定是橫波）坐標(biāo)原點(diǎn)任設(shè)（不必設(shè)在波源處）波沿X

軸正向傳播

若波沿+x向傳播，空間任一點(diǎn)

p(x,y,z)的振動(dòng)相位只和x與t有關(guān)，而和其它空間坐標(biāo)無關(guān)——平面簡(jiǎn)諧波。

§5.2平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程如何描述任意時(shí)刻t、波線上距原點(diǎn)為x

的任一點(diǎn)P

的振動(dòng)規(guī)律？取任意一條波線為x軸注意：P點(diǎn)振動(dòng)相位落后0點(diǎn)設(shè)O點(diǎn)振動(dòng)方程：uXY0P91.平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式波源帶動(dòng)彈性媒質(zhì)中與其相鄰的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生振動(dòng)，振動(dòng)相繼傳播到后面各相鄰質(zhì)點(diǎn)，其振動(dòng)時(shí)間和相位依次落后。10沿x

軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式O

點(diǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程：由P

點(diǎn)的振動(dòng)得到波動(dòng)表示式：同一時(shí)刻，沿

x

軸正向，波線上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)間和相位依次超前。yxo11例:已知求：平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式解：SoxPb點(diǎn)比a點(diǎn)的相位落后：重要結(jié)論！12例:已知

解：sxoP求：平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式133.波動(dòng)表式的物理意義（1）給定x，波動(dòng)表式給出該處質(zhì)元的振動(dòng)方程。（2）給定t，波動(dòng)表式給出該時(shí)刻各質(zhì)元離開平衡位置位移的分布情況，即該時(shí)刻的波形圖。波形曲線(波形圖)反映某時(shí)刻t各質(zhì)元位移在空間的分布情況。

(

t時(shí)刻用照相機(jī)為所有質(zhì)元拍的團(tuán)體照)oxut

y14x=u

tt

時(shí)刻波形t+t

時(shí)刻波形不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)有不同的波形曲線（3）t

和

x

都變，波動(dòng)表式給出任意質(zhì)元在任意時(shí)刻t

的位移。即給出波形隨時(shí)間而變化的情況。（1）給定x，波動(dòng)表式給出該處質(zhì)元的振動(dòng)方程。（2）給定t，波動(dòng)表式給出該時(shí)刻各質(zhì)元離開平衡位置位移的分布情況，即該時(shí)刻的波形圖。15（1）A點(diǎn)的速度大于零；（2）B點(diǎn)靜止不動(dòng)；（3）C點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)；（4）D點(diǎn)的振動(dòng)速度小于零。請(qǐng)指出你認(rèn)為是對(duì)的答案

以波速

u沿

X

軸逆向傳播的簡(jiǎn)諧波

t

時(shí)刻的波形如下圖隨堂小議OXYuABCDA點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，y<0；速度小于零。D點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，y<0；速度小于零。ABCD16解:(1)平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式例：已知：x0=/2處求:(1)平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式，

(2)t

=

0及t

=T/4時(shí)的波形P(x)xo距離o點(diǎn)x處取P點(diǎn)17(2)t

=

0及t

=T/4時(shí)的波形t=0時(shí)刻波形t=T/4時(shí)刻波形18解：例:已知：u=20m?s-1,

沿X軸負(fù)向傳播,

t

=

0

的波形如圖所示。求：振幅，波長(zhǎng)，波的周期、波動(dòng)表式。o設(shè)0點(diǎn)振動(dòng)方程：v0019彈性波傳播到介質(zhì)中的某處，該處將具有動(dòng)能和勢(shì)能。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播?？紤]棒中的體積V，其質(zhì)量為m

(m=V)。當(dāng)波動(dòng)傳播到該體積元時(shí)，將具有動(dòng)能Wk和彈性勢(shì)能Wp。平面簡(jiǎn)諧波可以證明§3波的能量與能流聲壓與聲強(qiáng)

1.波的能量體積元的總機(jī)械能20⑴由動(dòng)能、勢(shì)能公式來看，波在傳播過程中任一質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間變化，且在同一時(shí)刻，位相相同，大小相等。即動(dòng)能達(dá)到最大值時(shí)，勢(shì)能也達(dá)到最大；動(dòng)能為零時(shí)，勢(shì)能也為零。a點(diǎn)：位移最大處，動(dòng)能為零；沒有形變，形變勢(shì)能為零。b點(diǎn)：位移為零處，動(dòng)能最大；形變最大，形變勢(shì)能最大。討論:介質(zhì)質(zhì)元（m

=

V）的機(jī)械能21因?yàn)閺椈烧褡邮潜Ｊ毓铝⑾到y(tǒng)，質(zhì)元卻與周圍介質(zhì)有相互作用。⑵質(zhì)元機(jī)械能不是常量，而是隨時(shí)間作周期性變化，這與彈簧振子總的機(jī)械能是一常數(shù)不同。整個(gè)過程，介質(zhì)不積累能量。所以波的傳播過程也是能量的傳播過程。⑶質(zhì)元能量由0

逐漸增加為m2A2，表明該質(zhì)元從外部吸收能量；由m2A2逐漸減少為0，表明該質(zhì)元向外部輸出能量。體積元的總機(jī)械能22能量密度：2.

能量密度（單位體積媒質(zhì)中波的能量）T平均能量密度：23能流在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積S

，在單位時(shí)間內(nèi)通過S

的能量。平均能流：平均能流密度(波的強(qiáng)度)

通過與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用I

來表示，即3.波的強(qiáng)度24介質(zhì)的特性阻抗

z

=

u,

I的單位:瓦特/米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不變的意義:對(duì)于球面波,若介質(zhì)不吸收能量通過兩球面的總能流相等球面波表達(dá)式：式中a為波在離原點(diǎn)單位距離處振幅的數(shù)值。254.聲波按頻率范圍劃分：次聲波f<20Hz

聲波20<f<20000Hz超聲波f>20000Hz聲強(qiáng)是聲波的平均能流密度，即單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲能量。痛覺閾：恰好能引起痛覺的最低聲強(qiáng)。聽覺閾：恰好能引起聽覺的最低聲強(qiáng)。聲強(qiáng)的上下限值隨頻率而異。在1000Hz時(shí)，正常人聽覺的最高聲強(qiáng)為1W/m2,最低聲強(qiáng)為10-12W/m2。將I0=10-12W/m2作為測(cè)定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)。聲強(qiáng)級(jí)單位為貝爾（bel）若采用分貝（dB），幾種典型聲音的聲強(qiáng)級(jí)：細(xì)語—10dB炮聲的聲強(qiáng)級(jí)—110dB聚焦超聲波的聲強(qiáng)級(jí)—210dB26聲波在理想氣體中的傳播速度：氣體的摩爾質(zhì)量：氣體的比熱容比T：氣體的溫度（K）R：氣體常量

對(duì)同種氣體、在同一狀態(tài)下，各種不同頻率的聲波傳播速度相同。標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣中的聲速常溫下（20℃)

空氣中的聲速常溫下某些媒質(zhì)中的聲速鉛1300

海水1510鐵5000玻璃6000(m·s–1)媒質(zhì)聲速聲波在媒質(zhì)中傳播的速度。聲速與媒質(zhì)的特性和媒質(zhì)的溫度有關(guān)。聲速27例:用聚焦超聲波的方式，可以在液體中產(chǎn)生強(qiáng)度達(dá)120kW/cm2的大振幅超聲波。設(shè)波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率為500kHz，液體的密度為1g/cm3，聲速為1500m/s，求這時(shí)液體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅。解因I=uA22/2，所以可見液體中聲振動(dòng)的振幅實(shí)際上是極小的。28波在彈性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí),任一點(diǎn)P的振動(dòng),將會(huì)引起鄰近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)。就此特征而言，振動(dòng)著的P點(diǎn)與波源相比，除了在時(shí)間上有延遲外，并無其他區(qū)別。因此，P

可視為一個(gè)新的波源。1678年，惠更斯總結(jié)出了以其名字命名的惠更斯原理：介質(zhì)中任一波面上的各點(diǎn)，都可看成是產(chǎn)生球面子波的波源；在其后的任一時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)面構(gòu)成新的波面。惠更斯§5.4波的衍射現(xiàn)象惠更斯原理1.惠更斯原理29障礙物的小孔成為新的波源原波陣面新波陣面S1S2t時(shí)刻t+Dt時(shí)刻uDt30當(dāng)波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，其傳播方向繞過障礙物發(fā)生偏折的現(xiàn)象，稱為波的衍射。波在窄縫的衍射效應(yīng)2.波的衍射315.5波的疊加與干涉駐波前面我們僅討論了一列波在介質(zhì)傳播的情況，如果有幾列波同時(shí)在同一介質(zhì)中傳播時(shí)而又相遇會(huì)怎么樣？波的獨(dú)立傳播定律當(dāng)幾列波同時(shí)在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，它們是各自獨(dú)立地進(jìn)行的，與其它波的存在與否無關(guān)。如樂隊(duì)合奏、二重唱，空中無線電波很多(仍能分別接收各個(gè)電臺(tái))

。如果這幾列波在空間某點(diǎn)處相遇，那么每一列波都將獨(dú)立地保持自己原有的特性(頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向等)傳播。1.波的疊加32水滴圓起獨(dú)立傳播春意盈盈，細(xì)雨綿綿。33在幾列波相遇處，質(zhì)元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該處引起的位移的矢量和。這種波動(dòng)傳播過程中出現(xiàn)的各分振動(dòng)獨(dú)立地參與疊加的事實(shí)稱為波的疊加原理。2.波的干涉相干條件：振動(dòng)方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定相干波：滿足相干條件的幾列波稱為相干波。相干波源：能發(fā)出相干波的波源稱為相干波源。

波疊加時(shí)在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動(dòng)加強(qiáng)和減弱的分布。34A2()A1()A()Pr1r221ss強(qiáng)弱分布規(guī)律兩個(gè)相干波源波源S1和S2的振動(dòng)方程分別為：S1和

S2單獨(dú)存在時(shí),在P點(diǎn)引起的振動(dòng)的方程為:35P點(diǎn)的合振動(dòng)方程為:振幅A和相位f0對(duì)于P點(diǎn)

為恒量，因此A也是恒量，并與

P點(diǎn)空間位置密切相關(guān)。36（合振幅最大）（合振幅最?。┤?0=20，上述條件簡(jiǎn)化為：（合振幅最大）（合振幅最?。┎ǔ滩?7兩列相干波源為同相位時(shí)，在兩列波的疊加的區(qū)域內(nèi)，在波程差等于零或等于波長(zhǎng)的整數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最大；在波程差等于半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最小。因若I1=I2，疊加后波的強(qiáng)度：38同頻率、同方向、相位差恒定的兩列波,在相遇區(qū)域內(nèi),某些點(diǎn)處振動(dòng)始終加強(qiáng),另一些點(diǎn)處的振動(dòng)始終減弱,這一現(xiàn)象稱為波的干涉。干涉現(xiàn)象的強(qiáng)度分布39同頻率、同方向、相位差恒定的兩列波,在相遇區(qū)域內(nèi),某些點(diǎn)處振動(dòng)始終加強(qiáng),另一些點(diǎn)處的振動(dòng)始終減弱,這一現(xiàn)象稱為波的干涉。40例5.4位于兩點(diǎn)的兩個(gè)波源，振幅相等，頻率都是100赫茲，相差為，其相距30米，波速為400米/秒，求:A,B連線之間因相干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。解：x41因干涉而靜止的點(diǎn)滿足：因?yàn)椋?2駐波的形成駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時(shí)疊加而成的。3.駐波43沿x軸的正、負(fù)方向傳播的行波合成波駐波方程振幅分布因子它的絕對(duì)值表示位于坐標(biāo)x處的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振幅。即描述振幅沿X軸的分布規(guī)律。駐波中各質(zhì)點(diǎn)均以同一頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。諧振動(dòng)因子44波節(jié)位置相鄰兩個(gè)波腹(節(jié))間的距離為/2。波腹位置合成波的振幅與位置x

有關(guān)。OXY2l2l波節(jié)波腹45OACEFGHBD波節(jié)：OBDFH

波腹：ACEG

46弦線長(zhǎng)度等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)形成駐波?！v波條件兩端固定一端固定4.弦線上的駐波47能量分布5.駐波能量分布與相位分布波節(jié)體積元不動(dòng)，動(dòng)能Ek=0。（1）其它各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)到達(dá)最大位移時(shí)：波腹及其它質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能Ek=0，波節(jié)處形變最大勢(shì)能EP最大。波腹附近各點(diǎn)速度最大Ek最大，波節(jié)及其它點(diǎn)無形變EP=0。（2）其它各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)通過平衡位置時(shí)：駐波的能量不作定向傳播，其能量轉(zhuǎn)移過程是動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)移以及波腹與波節(jié)之間的能量轉(zhuǎn)移。也可從能流密度證明：因?yàn)槟芰髅芏鹊扔谄骄芰棵芏瘸瞬ㄋ?，左行波與右行波能流密度之和為零。48相位分布同一時(shí)刻，相鄰兩波節(jié)之間的各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位相同；波節(jié)兩側(cè)的各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位相反。駐波不是振動(dòng)相位的傳播過程，駐波的波形不發(fā)生定向傳播?！榜v”字的三層含義：（1）駐波波形不傳播（2）駐波相位不傳播（3）駐波不傳播能量49駐波駐波入射波入射波反射波反射波波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)XOY由波密媒質(zhì)入射在波疏媒質(zhì)界面上反射，在界面處，形成駐波時(shí)，總是出現(xiàn)波腹。反射波的振動(dòng)相位總是與入射波的振動(dòng)相位相同。波阻：介質(zhì)的密度和波速的乘積稱為波阻。波阻較大的介質(zhì)稱為波密介質(zhì)；波阻較小的介質(zhì)稱為波疏介質(zhì)。6.半波損失50入射波入射波駐波駐波反射波反射波波密媒質(zhì)波疏媒質(zhì)2l2lXYO由波疏媒質(zhì)入射在波密媒質(zhì)界面上反射，在界面處，形成駐波時(shí)，總是出現(xiàn)波節(jié)。反射波的振動(dòng)相位總是與入射波的振動(dòng)相位相反，即差了。半波損失折合成波程差51例5.5一平面簡(jiǎn)諧波沿正向傳播，已知其所引起的坐標(biāo)原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程為：在離坐標(biāo)原點(diǎn)為處3遇一波疏/波密媒質(zhì)的分界面發(fā)生反射，求：（1）反射波方程（2）駐波方程XO波疏波密52XO波疏波密解：（1）PR53（2）波腹波節(jié)54例2：如圖所示，一平面簡(jiǎn)諧波沿X軸正方向傳播，BC為波密媒質(zhì)的反射面。波由P點(diǎn)反射，OP

=

3/4，DP

=

/6。在t=0時(shí)，O處質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)是經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求D點(diǎn)處入射波與反射波的合振動(dòng)方程。（設(shè)入射波與反射波的振幅皆為A，頻率為

。）oxDP入反波疏波密55當(dāng)觀察者與波源之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者所測(cè)得的頻率不同于波源頻率的現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)。以機(jī)械波為例，在靜止媒質(zhì)中：設(shè)觀察者和波源在同一直線上運(yùn)動(dòng)–––波源