拉壓桿的變形與疊加原理

當(dāng)桿件承受軸向載荷時，其軸向和橫向尺寸均發(fā)生變化。桿件沿軸線方向的變形稱為軸向變形；垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形?！?.8拉壓桿的變形與疊加原理FF1集裝箱運載橋DABCP軸向拉桿下面我們將所圈區(qū)域放大2目的：剛度問題；拉壓靜不定問題

方法：幾何法，疊加法，能量法FFR2FR1CAB30①②P剛度問題拉壓靜不定問題3

工程上使用的大多數(shù)材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的初始階段都是線彈性的，亦即當(dāng)應(yīng)力低于材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這就是胡克定律，可以寫成1ＥoabFF一、拉壓桿的軸向變形4由得ll+lb+bbFF——胡克定律EA——拉壓剛度（抗拉剛度）胡克定律5三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系：二、拉壓桿的橫向變形試驗表明橫向正應(yīng)變?yōu)椴此?Poisson)比ll+lb+bbFF6只適用于計算在長度l內(nèi)FN及EA均為常值的情況，即在l長度內(nèi)變形是均勻?！猯1l2ABF1CF2三、分段均勻和非均勻拉壓桿的變形l1l2ABF1CF27如果變形是分段均勻的，則總變形按右式分段求和：桿變形的計算方法1l1l2ABF1CF2l1l2ABF1CF28如果變形是非均勻的，例如考慮自重的豎桿、變截面桿等，軸力N(x)或截面積A(x)是x的函數(shù)。則總變形按右式積分求和：桿變形的計算方法2lABlABF9ABCF1ABCF2l1l2ABF1CF2由此可見，幾個載荷同時作用時產(chǎn)生的總效果，等于各個載荷單獨作用時產(chǎn)生的效果的總和。此原理稱為疊加原理。（線性范圍）=四、疊加原理10[例1]如圖螺栓內(nèi)徑為d=10.1mm,擰緊后在計算長度l=80mm內(nèi)產(chǎn)生的總伸長量為l=0.03mm。螺栓材料的彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3

。試計算螺栓內(nèi)的應(yīng)力、螺栓的預(yù)緊力和螺栓的橫向變形。解：擰緊后螺栓內(nèi)的軸向正應(yīng)變?yōu)?1l1l2ABFCF[例2]如圖所示圓截面桿，已知F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa，為保證桿件正常工作，要求其軸向總伸長量不超過0.10mm，即許用變形[l]=0.10mm。試求截面直徑d。解：分析。這是一個剛度設(shè)計問題，需要通過計算變形來確定桿的直徑。因此首先需要計算桿的變形與其直徑之間的關(guān)系。12l1l2ABFCFF=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa，[l]=0.10mm。1、計算軸力2、計算軸向變形總伸長：3、剛度設(shè)計要求：l

[l]取d=8.7mm13[例3]如圖所示渦輪葉片，當(dāng)渦輪等速旋轉(zhuǎn)時承受離心力作用。葉片橫截面面積為A，彈性模量為E，單位體積的質(zhì)量為，渦輪的角速度為，試計算葉片上的正應(yīng)力與軸向變形。解：1、葉片的外力2、葉片的內(nèi)力與應(yīng)力（截面法Fx=0）xdxR0nnFN(x)R0R1dxnndF14xdxR0nn3、葉片的變形微段dx的變形葉片的總變形FN(x)15解：1、葉片的外力2、dF單獨作用效果n-n截面上的正應(yīng)力：葉片的變形：3、所有離心力作用效果的總和n-n的正應(yīng)力：葉片的總變形：R0dR1xnndF另法：疊加原理16

桁架是由二力桿鉸接，外力作用在節(jié)點的結(jié)構(gòu)模型。其變形通常用節(jié)點的位移來表示。[例4]圖示桁架，①②桿材料為鋼，E＝200GPa，橫截面積A1＝200mm2，A2＝250mm2，①桿長l1＝2m。試求P＝10kN時，節(jié)點A的位移。CAB30①②P五、桁架的節(jié)點位移17解：1．求軸力2．計算變形（拉伸）（壓縮）由節(jié)點A的平衡條件可得桿①、桿②的軸力分別為（伸長）（縮短）CAB30①②PFN1FN2PA30183．求A點位移。變形后的A點是分別以C點和B點為圓心，以CD和BE為半徑所作圓弧的交點A"。由于變形很小，上述弧線可近似地用切線代替，于是過D點和E點，分別作CD和BE的垂線，其交點A′即可視為A的新位置。（伸長）（縮短）DCAB30①②PEA"A'19因此，A點的水平位移和垂直位移為：DAEFG

應(yīng)該強調(diào)指出，在小變形條件下，通?？砂唇Y(jié)構(gòu)原有幾何形狀和尺寸計算支反力和內(nèi)力，也可采用以切線代圓弧的方法確定位移。利用小變形概念，可以使許多問題的分析計算大為簡化。20構(gòu)件因變形而貯存的能量，叫做應(yīng)變能或變形能，用V表示。對于由零開始地緩慢加載，由能量守恒定律可知，貯存在構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)變能V，在數(shù)值上等于外力所作的功W，即，W=V。利用應(yīng)變能的概念，可以作出構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的變形或位移計算，從而解決構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的剛度或靜不定等問題，這種方法就稱為應(yīng)變能法或能量法?！?.9拉壓和剪切應(yīng)變能ABF121條件：載荷從0開始緩慢的增加。W等于P-l曲線下的面積。當(dāng)p時，有一、軸向拉壓應(yīng)變能22對于在長度l內(nèi)、N=P及EA均為常值的情況，即均勻拉伸：利用以上兩式以及能量守恒定律有：從上式可以看出，V恒為正。對于線彈性情況，p時，23圖a所示桁架，①②桿材料為鋼質(zhì)，E＝200GPa．橫截面積A1＝200mm2，A2＝250mm2，①桿長l1＝2m。試用能量法求P＝10kN時，節(jié)點A的垂直位移。解：1．求軸力。由節(jié)點A的平衡條件可得桿①、桿②的軸力分別為[例4]CAB30①②P（拉伸）（壓縮）FN1FN2PA30242．應(yīng)變能計算。CAB30①②P253．位移計算。設(shè)節(jié)點A的鉛垂位移為，由于與P同向，則外力所作的功為W=P/2，由能量守恒定律可得為正，說明與P同向的假設(shè)是正確的。由于V恒為正，因此當(dāng)只有一個外載荷P作功時，必與P同向。！這里介紹的能量法只能求載荷方向的位移。從而有：CAB30①②P26dxdzdyyxz

v為單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變能密度。p時，有,代入上式得:單向受力二、拉壓與剪切應(yīng)變能密度，p27dxdzdyyxzp時，有，代入上式得:剪切應(yīng)變能密度： 剪切應(yīng)變能：純剪切，p28FDdh剛桿剛套橡皮管(a)rF(b)圖(a)所示精密儀器底板隔振器，由圓截面鋼桿、圓環(huán)截面橡皮管和鋼套組成，且相互之間牢固連接，設(shè)鋼桿和鋼套可視為剛體，橡皮管的切變模量為G，試求鋼桿的位移。解：1．應(yīng)力分析。由于鋼桿和鋼套與橡皮管牢固連接，因此，當(dāng)F作用時，橡皮管內(nèi)外壁相當(dāng)于受到一對剪力的作用，因此，可以假設(shè)橡皮管處于純剪切狀態(tài)，且設(shè)切應(yīng)力沿高度方向均勻分布。取一同軸圓柱面，其應(yīng)力分布如圖(b)，由力的平衡可得得[例5]292．應(yīng)變能