數(shù)學(xué)建模微分方程第一講(暑期培訓(xùn))

微分方程模型第一講

數(shù)學(xué)建模暑期培訓(xùn)

1、微分方程的主要適用范圍

我們所關(guān)心的研究對(duì)象的特征，會(huì)隨時(shí)間(空間)的變化而變化，這種變化可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。

一般來(lái)說(shuō)，如果判斷研究對(duì)象的某些特征可能會(huì)關(guān)于時(shí)間、空間連續(xù)，那么應(yīng)該重點(diǎn)考慮利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子問(wèn)題的模型。比如，問(wèn)題中涉及到：(1)物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變(2)生物(動(dòng)植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞(4)消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程(5)信息的擴(kuò)散與傳播導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長(zhǎng)，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問(wèn)題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)比如，問(wèn)題中涉及到：(1)物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變；(2)生物(動(dòng)植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化；(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞；(4)消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程；(5)信息的擴(kuò)散與傳播。導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長(zhǎng)，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問(wèn)題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)如果研究的是事物在一段時(shí)間內(nèi)的變化情況，或者說(shuō)在這個(gè)過(guò)程中發(fā)生了什么————微分方程的求解和求數(shù)值解如果研究的是事物未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，穩(wěn)態(tài)情形，或者無(wú)法/無(wú)須獲得精確的解————可以利用微分方程幾何理論2、微分方程模型的分析方法3、方程的階數(shù)注意不同階方程的實(shí)際意義表達(dá)的是某個(gè)變量的增長(zhǎng)速度，與其當(dāng)前狀態(tài)和時(shí)間變量之間的關(guān)系。從幾何的角度來(lái)理解，表達(dá)的是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，與函數(shù)本身及自變量之間的關(guān)系。表達(dá)的是某個(gè)變量的增量，與其當(dāng)前狀態(tài)和所處時(shí)間段之間的關(guān)系。如果討論的事物，有多個(gè)變量會(huì)隨著時(shí)間變化，而且可以分析出這些變量的增長(zhǎng)速度與事物當(dāng)前狀態(tài)和時(shí)間變量之間的關(guān)系，可以考慮建立一階微分方程組。3、方程的階數(shù)二階、二階以上的常微分方程通常用于有運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象。通常經(jīng)濟(jì)、管理、生態(tài)系統(tǒng)等領(lǐng)域，較少有實(shí)際量會(huì)涉及到二階導(dǎo)數(shù)，即所謂的加速度。偏微分方程比較復(fù)雜，比如對(duì)于u(x,y)：u為產(chǎn)品銷量；x為產(chǎn)品價(jià)格；y為廣告宣傳費(fèi)用。表示固定y時(shí)，u關(guān)于x的變化速度和加速度表示u關(guān)于x的變化速度，在y變化時(shí)的變化幅度理解為：價(jià)格變動(dòng)時(shí)銷量的增幅，關(guān)于廣告費(fèi)用的變化速度。4、微分和差分方程模型的解（

1）解析解（精確解）

——適用于線性系統(tǒng)和少量非線性系統(tǒng)（伯努利方程）（2）數(shù)值解（近似解）

——對(duì)于多數(shù)的線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，但不能對(duì)系統(tǒng)的行為提供一個(gè)定性解釋。（3）定性解（定性理論分析）

——用定性理論和穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)在局部和全局

的動(dòng)態(tài)行為。定性理論適用于二維、三維系統(tǒng)。穩(wěn)定性理論適用于高維系統(tǒng)。5、微分模型和差分模型的建模方法1、根據(jù)規(guī)律建?！脭?shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來(lái)建立模型。2、用微元法建?！靡阎亩ɡ砼c規(guī)律尋求微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。3、用模擬近似法建模——在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是及其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問(wèn)題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫(huà)、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。6、微分模型的建模原理在建立微分方程的時(shí)候，所要求的其實(shí)是微分方程的一條解曲線，通過(guò)它來(lái)反映某些我們所要尋求的規(guī)律。微分方程曲線思想是，如果知道曲線上每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)以及它的起始點(diǎn)，那么就能構(gòu)造這條曲線。具體步驟如下：1、轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題中，有許多表示“導(dǎo)數(shù)”的常用詞，如“速率”、”增長(zhǎng)“（在生物學(xué)以及人口問(wèn)題研究中）、”衰變“（在放射性問(wèn)題中）以及”邊際的“（在經(jīng)濟(jì)學(xué)中）等。這些詞就是信號(hào)，這個(gè)時(shí)候要注意是哪些研究對(duì)象在變化，對(duì)這些規(guī)律的表示微分方程也許就能用得上?？紤]：我們所研究的對(duì)象是否遵循某些原則或物理定理呢？是應(yīng)該用已知的定律呢？還是必須去推導(dǎo)呢？大部分微分方程模型符合下面的模式：

凈變化率=輸入率—輸出率2、準(zhǔn)確性和總體特征微分方程是一個(gè)在任何時(shí)刻都必須正確的瞬時(shí)表達(dá)式，這是問(wèn)題的核心。建立微分方程模型，首先要把注意力放在方程文字形式的總關(guān)系上：

凈變化率=輸入率—輸出率或者：變化率（微商）=單位增加量--單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。3、單位一旦確定了哪些子項(xiàng)應(yīng)該列入微分方程中，就要確保每一項(xiàng)都采用同樣的物理單位。這是在建立微分方程過(guò)程中容易疏忽的問(wèn)題。4、約束條件約束條件是關(guān)于所研究對(duì)象在某一特定時(shí)刻的信息（比如初始時(shí)刻），它們獨(dú)立于微分方程而存在。在建立微分方程模型后，利用它們來(lái)確定模型中有關(guān)的常數(shù)，這些常數(shù)包括比例系數(shù)、原微分方程的其他參數(shù)和解中的積分常數(shù)。為了完整，充分地給出問(wèn)題的數(shù)學(xué)陳述，建模過(guò)程中應(yīng)該將這些約束條件和微分方程一起寫(xiě)出。5、概念框架前面闡述的都是使用微分方程建模的關(guān)鍵問(wèn)題。當(dāng)面臨一個(gè)典型問(wèn)題是，首先必須有一個(gè)明確的概念框架（建立其他模型也是如此），這個(gè)概念框架就是關(guān)鍵步驟。具體如下：（1）把用語(yǔ)言描述的情況轉(zhuǎn)化為文字方程。（2）陳述出所涉及的原則或物理定律。（3）建立微分方程，配備方程各子項(xiàng)的單位。（4）給定約束條件，包括初始條件或其他條件。（5）給出微分方程的解。（6）求出微分方程的常數(shù)。（7）給出問(wèn)題答案。（8）檢驗(yàn)答案是否滿足問(wèn)題的要求。在建模過(guò)程中，明確了概念框架，然后就是依次完成框架中每一步所要做的事情。7、建立微分方程模型的依據(jù)根據(jù)問(wèn)題的背景資料，或者我們自己查到的資料，隨著時(shí)間/空間的變化，問(wèn)題中的某些指標(biāo)的變化情況，與另外一些指標(biāo)的數(shù)值或變化情況呈現(xiàn)比例關(guān)系，或其他的簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系，則可以據(jù)此建立微分方程模型。建立微分方程模型時(shí)，需要注意：所建立的方程或方程組應(yīng)滿足守恒定律；如果希望得到解析解進(jìn)行深入分析，則盡量簡(jiǎn)化方程；注意掌握微分方程幾何理論，用于做定性的討論；如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的轉(zhuǎn)化為微分方程進(jìn)行定性討論；微分方程屬于比較理想化的建模方法，適合用于定性討論或精度要求不高的情形下。8、案例－物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變此類問(wèn)題一般都可以參照經(jīng)典的物理原理，建立微分方程模型，在此基礎(chǔ)上再考慮一些細(xì)節(jié)問(wèn)題即可。比如往年美國(guó)競(jìng)賽題中的摩托車特技飛躍問(wèn)題。其中x表示特技演員的位置向量，g表示重力加速度，k表示空氣阻力系數(shù)，v表示標(biāo)量運(yùn)動(dòng)速度，m表示演員+車的質(zhì)量。運(yùn)動(dòng)方程不是模型的難點(diǎn)，但卻是一個(gè)關(guān)鍵的基礎(chǔ)問(wèn)題。6、案例－生物的數(shù)量變化或密度變化自然環(huán)境中植物的生長(zhǎng)，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問(wèn)題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；傳染病的傳播與控制一個(gè)封閉的環(huán)境中，沒(méi)有天敵的某種生物，其數(shù)量變化一般都可以假設(shè)服從Logistic規(guī)律：或一個(gè)封閉的環(huán)境中，兩個(gè)種群競(jìng)爭(zhēng)，其數(shù)量變化一般都可以假設(shè)滿足競(jìng)爭(zhēng)模型：傳染病或病毒的擴(kuò)散，被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面的模型表示：如果存在退出系統(tǒng)的情形，則被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面的模型表示：涉及到狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，特別注意系統(tǒng)的守恒問(wèn)題！sirSISIR這里的不同之處在于，物質(zhì)或能量是一定的，不會(huì)有新的物質(zhì)或能量產(chǎn)生。比如不考慮重力影響時(shí)，空間中不同位置粉塵、煙霧的濃度變化可以用下面的擴(kuò)散方程描述：7、案例－物質(zhì)、能量的擴(kuò)散與傳遞粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)。

中心室周邊室給藥排除藥物在體內(nèi)的傳遞與排出問(wèn)題8、案例－消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程新產(chǎn)品入市之后，如果對(duì)銷量進(jìn)行預(yù)測(cè)？或者說(shuō)，如何描述新產(chǎn)品占領(lǐng)市場(chǎng)的過(guò)程？設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記t時(shí)刻已銷售出的產(chǎn)品數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，則基于阻滯增長(zhǎng)模型，可以認(rèn)為：記比例系數(shù)為k：研究機(jī)構(gòu)預(yù)測(cè)某種商品近期的銷量時(shí)，一般采用線性估計(jì)辦法給出銷量區(qū)間。如果希望預(yù)測(cè)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的銷量，則可以采用上面的形式。在預(yù)測(cè)商品的銷量時(shí)，連續(xù)性模型一般不便于使用，采用離散形式的阻滯增長(zhǎng)模型更方便一些。如果考慮更復(fù)雜一些的情形，比如部分早期用戶更新對(duì)銷量的影響，可以采用時(shí)滯微分方程?？紤]早期用戶更新的因素，可以采用時(shí)滯微分方程。搜集數(shù)據(jù)，計(jì)算方程中的參數(shù)，即可得到銷量的遞推公式對(duì)于這些方程的求解都可以用mathematics8.0來(lái)求，詳見(jiàn)附件12011高教社杯A題城市表層土壤重金屬污染分析隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開(kāi)展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同?，F(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土（0~10厘米深度）進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門(mén)儀器測(cè)試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。附件1列出了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值?，F(xiàn)要求你們通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)完成以下任務(wù)：(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2)通過(guò)數(shù)據(jù)分析，說(shuō)明重金屬污染的主要原因。(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問(wèn)題？(1)對(duì)于地形分布可采用：Shepard插值方法，又稱距離平方反比律或Kriging插值方法。對(duì)于污染濃度同樣采用散亂數(shù)據(jù)插值方法。而對(duì)于污染程度評(píng)價(jià)指標(biāo)可采用地質(zhì)累積指數(shù)或內(nèi)梅羅指數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)。(2)污染原因分析可采用：相關(guān)性分析和聚類分析處理具體細(xì)節(jié)可參看附件兩篇參考文獻(xiàn)！(3)分析污染物的傳播特征：建立擴(kuò)散微分方程模型背景知識(shí)：環(huán)境介質(zhì)一般是指在自然環(huán)境中能夠傳遞物質(zhì)和能量的媒介，空氣，水，土壤是最基本的環(huán)境介質(zhì)。盡管污染物在進(jìn)入不同的環(huán)境介質(zhì)之后做著復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化，但都是由以下幾種基本形式組成的：1、隨著介質(zhì)的遷移運(yùn)動(dòng)2、污染物的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)3、污染物的衰減與轉(zhuǎn)化4、污染物被環(huán)境介質(zhì)吸收或吸附5、污染物的沉淀1、遷移運(yùn)動(dòng)推流遷移是指污染物在氣流或水流作用下產(chǎn)生的空間位置上的轉(zhuǎn)移，單純的推流作用不能降低污染物的質(zhì)量和濃度2、污染物的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)由分子的隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)引起的質(zhì)點(diǎn)的擴(kuò)散現(xiàn)象，分子擴(kuò)散過(guò)程符合Fick第一定律，擴(kuò)散物質(zhì)量與其濃度梯度成正比3、污染物的衰減與轉(zhuǎn)化污染物在環(huán)境中的衰減過(guò)程可用一級(jí)動(dòng)力學(xué)規(guī)律描述，即遷移擴(kuò)散衰減污染物傳播的基本模型QCsKVC利用上述基本模型，針對(duì)本題，我們可將模型修改為：接下來(lái)只需利用回歸分析方法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最后再做模型檢驗(yàn)即可。

模型的修改：9、微分方程定性分析方法簡(jiǎn)介不求解，直接分析解的一些性態(tài)。1、x只能取正值；2、x<N；3、r和N均為正數(shù)。結(jié)論：1、隨著時(shí)間增加，x

始終單調(diào)遞增；2、時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，x

無(wú)限逼近N；3、可以大致繪出解的曲線。xx0NtN/2tmxtxy2x+4y=0

希望知道時(shí)間充分長(zhǎng)以后會(huì)如何，即研究事物最終的發(fā)展趨勢(shì)。10、穩(wěn)定性模型比如，前面提到的：(1)物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變——極限是什么？(2)生物(動(dòng)植物、微生物)的量變或密度變化——穩(wěn)定狀態(tài)？(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞——均衡狀態(tài)是怎樣的？(4)消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程——市場(chǎng)容量是多少？(5)信息的擴(kuò)散與傳播——最大影響范圍是什么？(1)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定下來(lái)之后會(huì)是什么情形？長(zhǎng)期受力的結(jié)果是什么？(2)對(duì)生態(tài)系統(tǒng)放任自流，或者加以干涉，最終會(huì)導(dǎo)致什么后果？比如，前面提到的：(1)物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變(2)生物(動(dòng)植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞(4)消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程(5)信息的擴(kuò)散與傳播(3)如果不斷有物質(zhì)或能量的補(bǔ)充，那么最終物質(zhì)和能量的分布情況如何？(4)商品不斷銷售，用戶也會(huì)報(bào)廢舊品，最終穩(wěn)定下來(lái)的市場(chǎng)銷量會(huì)是多少？(5)如果對(duì)信息的擴(kuò)散與傳播加以干涉，那么信息最后的分布情況如何？案例一、傳染病模型問(wèn)題背景：通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，了解傳染病的傳播規(guī)律，從而為傳染病的防治和撲滅提供有益的科學(xué)依據(jù)。建立傳染病要考慮的因素非常多，如傳染速度、醫(yī)療能力、死亡、新生人口數(shù)量、人口年齡性別結(jié)構(gòu)等。具體到不同的疾病，還有傳播途徑、發(fā)作速度等問(wèn)題。此外，傳染病模型可以參照用于討論計(jì)算機(jī)病毒的傳播特征等方面。模型目標(biāo)問(wèn)題

描述傳染病的傳播過(guò)程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型模型假設(shè)基本假設(shè)：傳染病是由病人通過(guò)“接觸”健康人進(jìn)行傳播的.疾病流行區(qū)域內(nèi)的人分為三類：S類——易感人群；I類——病人；R類——移出者。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)本地區(qū)總?cè)丝诓蛔?，為N。1、SI模型（只考慮S和I兩類人）(1)除染病、不染病之外，人群的個(gè)體之間沒(méi)有差異。病人與易感者的個(gè)體在人群中混合均勻，即S類、I類人群的數(shù)量只與時(shí)間有關(guān)。記s(t)為t時(shí)刻健康人占總?cè)丝诘谋壤齣(t)為t時(shí)刻病人的比例，則s(t)+i(t)=1。(2)人群數(shù)量足夠大，只考慮傳播過(guò)程中的平均效應(yīng)，即函數(shù)s(t)和i(t)可以視為連續(xù)且可微的。(3)每個(gè)I類的人每天“有效接觸”的人數(shù)（包括病人、健康人）為常數(shù)λ。這個(gè)常數(shù)實(shí)際上就是傳染率，反映本地區(qū)的衛(wèi)生水平。(4)不考慮出生與死亡，以及人群的遷入遷出因素。（簡(jiǎn)化問(wèn)題）構(gòu)造模型考慮t到t+Δt時(shí)間內(nèi)病人人數(shù)的變化，根據(jù)假設(shè)(1)，應(yīng)該分別是Ni(t)和Ni(t+Δt)，所以在Δt時(shí)間內(nèi)受感染的人數(shù)為：令Δt→0，得到微分方程：(Logistic模型)模型求解(Logistic模型)它的通解為

這個(gè)模型可以用于預(yù)報(bào)傳染病爆發(fā)早期，患病人數(shù)的發(fā)展規(guī)律，并預(yù)測(cè)傳染高峰的時(shí)間。SI模型圖形分析idi/dttmt0

1/2i1

(di/dt)m1/2i0病人比例隨時(shí)間的變化規(guī)律

病人數(shù)增長(zhǎng)速率與病人數(shù)的關(guān)系

高峰期SI模型結(jié)果分析這個(gè)模型的缺陷是顯而易見(jiàn)的.比如t→+∞時(shí)，i(t)→1，這表明本地區(qū)最后所有人都會(huì)被感染。出現(xiàn)這種結(jié)果的原因是假設(shè)系統(tǒng)中只有兩種人，即病人和易感人群，而且沒(méi)有考慮病人會(huì)被治愈的因素。1.假設(shè)(前面四條都和模型A一樣，再添加一條)（5）病人以固定的比率痊愈，再次成為易感人群。每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為μ。2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）μ表示日治愈率，表現(xiàn)的是本地區(qū)的醫(yī)療水平，所以1/μ就可以表示傳染病的平均感染期，也是一個(gè)病人從發(fā)病到被治愈經(jīng)歷的時(shí)間。根據(jù)假設(shè)5，Logistic模型被修改為：構(gòu)造模型定義一個(gè)常數(shù)σ=λ∕μ，根據(jù)λ和1/μ的定義，σ就是一個(gè)病人在整個(gè)患病期間有效接觸的平均人數(shù)，這在模型里被稱為接觸數(shù)。將σ代入方程中，得到求解這個(gè)方程，得到解為模型求解σ>1時(shí)，t→+∞則i(t)→1-1/σ。畫(huà)出解的圖象為：σ<1，t→+∞時(shí)i(t)→0.σ=λ∕μ1-1/σiti0i0模型結(jié)果分析ii00tσ<1，t→+∞時(shí)i(t)→0.

σ=λ∕μ1、假設(shè)：這里的假設(shè)類似于模型B，只是引入R類人群。分別記s(t)、i(t)、r(t)為病人、易感人群、移出者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?。s(t)+i(t)+r(t)=1。另外，日接觸率λ，日治愈率μ。3、SIR模型（免疫模型）根據(jù)假設(shè)，模型被修正為

初值條件為i(0)=i0，r(0)=r0，s(0)=s0。注意：此方程組無(wú)法求解析解?？梢郧髷?shù)值解模型求解將方程組轉(zhuǎn)化成下面的形式：其中s≥0，i≥0且s+i≤1。此方程是可以求解析解求解得到：考察隨著時(shí)間的推移，s(t)、i(t)、r(t)的變化規(guī)律。首先，t→+∞時(shí)，分別以s,i,r記各自的極限，這些極限都存在。模型分析i=0?（用反證法）假設(shè)i0，那么必然有i=>0。根據(jù)極限的定義，對(duì)于充分大的t，都應(yīng)該有i(t)>ε/2，把這個(gè)結(jié)論代入方程組。模型分析dr/dt=μi>με/2這會(huì)導(dǎo)致r(t)→+∞，這跟上面r(t)的極限也存在的結(jié)論有矛盾。所以只能有：i=0，即傳染病最終將消失。其次，考慮隨著t的變化，i-s平面上解的軌線變化情況。大概的走勢(shì)圖為：模型分析i101/σsσ=λ∕μi101/σss0>1/時(shí)，i(t)先升后降至0傳染病蔓延s0<1/時(shí)，i(t)單調(diào)降至0傳染病不會(huì)蔓延開(kāi)來(lái)1/σ是一個(gè)邊界點(diǎn)，為了讓傳染病不蔓延，需要調(diào)整s0和1/σ。具體的方法：一是降低s0，如接種疫苗，使S類人群直接變成R類；二是提高1/σ使之大于s0，σ=λ/μ,也就是降低λ而提高μ，強(qiáng)化衛(wèi)生教育和隔離病人，同時(shí)提高醫(yī)療水平。模型分析對(duì)參數(shù)σ的估計(jì)：令解兩端同時(shí)取t→+∞，因?yàn)閕=0，得到

參數(shù)估計(jì)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和此公式就可以得到σ的估計(jì)值。關(guān)于傳染病模型，我們還可以進(jìn)一步考慮更復(fù)雜的情形，如考慮出生率、死亡率、防疫措施的作用、潛伏期等。其他類型的傳染病模型SIES模型——健康－染病－潛伏期－健康不免疫SIER模型——健康－染?。瓭摲冢瞥鱿到y(tǒng)SIRS模型——健康－染?。虝r(shí)免疫－健康(易感)考慮抵抗能力考慮地域傳播考慮傳播途徑(接觸、空氣、昆蟲(chóng)、水源等)

對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，建模目的變成了時(shí)間充分長(zhǎng)以后會(huì)如何？即研究事物最終的發(fā)展趨勢(shì)。

借助微分方程穩(wěn)定性理論，不求解微分方程，描述事物某些特征的最終穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定性模型比如，商品的價(jià)格與其價(jià)值的變化關(guān)系；食肉動(dòng)物與草食性動(dòng)物數(shù)量的變化規(guī)律；侵入人體的病菌與白血球的數(shù)量變化關(guān)系。隨著時(shí)間的推移，最終的結(jié)局是什么？微分方程穩(wěn)定性方法建模穩(wěn)定性模型

由于諸多偶然因素以及參數(shù)變化的影響，通常微分方程用來(lái)做長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，效果并不夠好，在精度上難以讓人滿意。如各種人口模型。

不過(guò)即便誤差很大，但微分方程穩(wěn)定性模型反映出來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)還是有借鑒意義的。

另外，很多微分方程穩(wěn)定性模型的最終目的并不是預(yù)測(cè)，而是尋找控制手段。事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定t這些現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中都有實(shí)用背景和研究?jī)r(jià)值一、常微分方程穩(wěn)定性理論1、一階微分方程方程右端不顯含t平衡點(diǎn)穩(wěn)定的幾何特征txx0穩(wěn)定不穩(wěn)定一階微分方程通常判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性有兩種方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程為線性，即f(x)=ax+b，則a<0穩(wěn)定，

a>0不穩(wěn)定；2、若方程為非線性，即x`(t)=f(x)，考慮f`(x0)。

f`(x0)<0穩(wěn)定，f`(x0)>0不穩(wěn)定。2、二階微分方程所以討論二階微分方程的穩(wěn)定性往往就歸結(jié)為對(duì)二維一階方程組的討論二階微分方程求方程組的平衡點(diǎn)，即求解下面設(shè)法給出P0穩(wěn)定的判斷準(zhǔn)則。二階微分方程首先將方程組線性化：其系數(shù)矩陣為：二階微分方程二階微分方程的穩(wěn)定性由p

和q

的正負(fù)決定。p>0且q>0時(shí)平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定；p<0或q<0時(shí)平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定.3、一階線性差分方程4、二階線性差分方程5、一階非線性差分方程

例、捕食系統(tǒng)的Volterra方程問(wèn)題背景：

意大利生物學(xué)家D’Ancona曾致力于魚(yú)類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過(guò)程中他無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚(yú)類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚(yú)，如鯊魚(yú)、鰩魚(yú)等我們稱之為捕食者（或食肉魚(yú)）的一些不是很理想的魚(yú)類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的魚(yú)中食肉魚(yú)所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕獲的各種魚(yú)的比例近似地反映了地中海里各種魚(yú)類的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕魚(yú)量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會(huì)導(dǎo)致鯊魚(yú)、鰩魚(yú)等食肉魚(yú)比例的上升，即對(duì)捕食者有利而不是對(duì)食餌有利呢？他百思不得其解，無(wú)法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時(shí)著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型研究這一問(wèn)題。

Volterra將魚(yú)劃分為兩類。一類為食用魚(yú)（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚(yú)（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立大海中有食用魚(yú)生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚(yú)獨(dú)立生存將按增長(zhǎng)率為r1的指數(shù)律增長(zhǎng)（Malthus模型），既設(shè)：由于捕食者的存在，食用魚(yú)數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)籌算律），即：對(duì)于食餌（Prey）系統(tǒng)：λ1反映了捕食者掠取食餌的能力對(duì)于捕食者（Predator）系統(tǒng)：捕食者設(shè)其離開(kāi)食餌獨(dú)立存在時(shí)的死亡率為r2，即：但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過(guò)競(jìng)爭(zhēng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計(jì)籌算律，得到：綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程組：（3.31）方程組（3.31）反映了在沒(méi)有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來(lái)分析該方程組。2、模型分析方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即：Po(0,0)是平凡平衡點(diǎn)且明顯是不穩(wěn)定，沒(méi)必要研究方程組還有兩組平凡解：和和所以x1、x2軸是方程組的兩條相軌線。當(dāng)x1(0)、x2(0)均不為零時(shí)，，應(yīng)有x1(t)>0且x2(t)>0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。求（3.31）的相軌線將兩方程相除消去時(shí)間t，得：分離變量并兩邊積分得軌線方程：（3.32）令兩者應(yīng)具有類似的性質(zhì)用微積分知識(shí)容易證明：有：同理：對(duì)有：圖3-20(b)圖3-20(a)與

的圖形見(jiàn)圖3-20易知僅當(dāng)時(shí)（3.32）才有解記：討論平衡點(diǎn)的性態(tài)。當(dāng)時(shí)，軌線退化為平衡點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，軌線為一封閉曲線（圖3-21），即周期解。圖3-21證明具有周期解。只需證明：存在兩點(diǎn)及，<

當(dāng)<x1<時(shí)，方程（3.32）有兩個(gè)解，當(dāng)x1=或x1=時(shí)，方程恰有一解，而在x1<或x1>時(shí)，方程無(wú)解。事實(shí)上，若，記，則由的性質(zhì)，，而，使得：。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng)<x1<時(shí)。此時(shí)：由的性質(zhì)，，使成立。當(dāng)x1=或時(shí)，，僅當(dāng)時(shí)才能成立。而當(dāng)x1<或x1>時(shí)，由于，故無(wú)解。得證。確定閉曲線的走向用直線將第一象限劃分成四個(gè)子區(qū)域在每一子區(qū)域，與不變號(hào)，據(jù)此確定軌線的走向（圖3-22）圖3-22將Volterra方程中的第二個(gè)改寫(xiě)成：將其在一個(gè)周期長(zhǎng)度為T(mén)的區(qū)間上積分，得等式左端為零，故可得：同理：平衡點(diǎn)P的兩個(gè)坐標(biāo)恰為食用魚(yú)與食肉魚(yú)在一個(gè)周期中的平均值。解釋D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象引入捕撈能力系數(shù)ε，（0<ε<1），ε表示單位時(shí)間內(nèi)捕撈起來(lái)的魚(yú)占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為：平衡點(diǎn)P的位置移動(dòng)到了：由于捕撈能力系數(shù)ε的引入，食用魚(yú)的平均量有了增加，而食肉魚(yú)的平均量卻有所下降，ε越大，平衡點(diǎn)的移動(dòng)也越大。食用魚(yú)的數(shù)量反而因捕撈它而增加，真的是這樣？！

P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對(duì)直理，但在一定程度上是附合客觀實(shí)際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病蟲(chóng)害時(shí)，不要隨隨便便地使用殺蟲(chóng)劑，因?yàn)闅⑾x(chóng)劑在殺死害蟲(chóng)的同時(shí)也可能殺死這些害蟲(chóng)的天敵，（害蟲(chóng)與其天敵構(gòu)成一個(gè)雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來(lái)，使用殺蟲(chóng)劑的結(jié)果會(huì)適得其反，害蟲(chóng)更加猖獗了。（3）捕魚(yú)對(duì)食用魚(yú)有利而對(duì)食肉魚(yú)不利，多捕魚(yú)（當(dāng)然要在一定限度內(nèi)，如ε<r1）能使食用魚(yú)的平均數(shù)量增加而使食肉魚(yú)的平均數(shù)量減少。根據(jù)P-P模型，我們可以導(dǎo)出以下結(jié)論：（1）食用魚(yú)的平均量取決于參數(shù)r1與λ1（2）食用魚(yú)繁殖率r1的減小將導(dǎo)致食肉魚(yú)平均量的減小，食肉魚(yú)捕食能力λ1的增大也會(huì)使自己的平均量減??；反之，食肉魚(yú)死亡率r2的降低或食餌對(duì)食肉魚(yú)供養(yǎng)效率λ2的提高都將導(dǎo)致食用魚(yú)平均量的減少。一、兩個(gè)生物種群的競(jìng)爭(zhēng)模型考慮兩個(gè)生物種群競(jìng)爭(zhēng)同一種有限資源的問(wèn)題。在自然條件下，適應(yīng)環(huán)境能力弱的種群將趨于滅亡，適應(yīng)能力強(qiáng)的種群將增長(zhǎng)到環(huán)境允許的最大數(shù)量。種群競(jìng)爭(zhēng)模型現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到描述企業(yè)、國(guó)家等社會(huì)實(shí)體之間的競(jìng)爭(zhēng)研究中。下面通過(guò)建立模型來(lái)解釋這種現(xiàn)象，并分析出現(xiàn)各種結(jié)局的條件。生存空間論戰(zhàn)略空間論能源競(jìng)爭(zhēng)企業(yè)間的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)1.模型的建立設(shè)同一環(huán)境中有甲、乙兩個(gè)種群，x1(t)、x2(t)分別記t時(shí)刻甲、乙種群的數(shù)量；r1、r2為各自固有的增長(zhǎng)率，N1、N2為各自環(huán)境最大容量。據(jù)此建立下面的模型：其中1，2是非常關(guān)鍵的指標(biāo)，反映一個(gè)種群對(duì)另一種群的競(jìng)爭(zhēng)能力。2.穩(wěn)定性分析（競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)局）2.1求平衡點(diǎn)令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四個(gè)平衡點(diǎn)：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，pq穩(wěn)定條件P1r1-r2(1-2)-r1r2(1-2)P2-r1(1-1)+r2-r1r2(1-1)P3-(r1+r2)r1r2P4[r1(1-1)+r2(1-2)](1-12)-1r1r2(1-1)(1-2)(1-12)-12>1(1<1)1>1(2<1)不穩(wěn)定1<12<1p>0而且q>02.2平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性根據(jù)前面的方法不能給出各個(gè)平衡點(diǎn)全部的穩(wěn)定性條件。下面對(duì)1和2分情況討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件?？紤]轉(zhuǎn)到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿著t增加所表現(xiàn)出的趨勢(shì)。x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)可知，在任意時(shí)刻，x1(t)和x2(t)是增是減由

=1-x1/N1-1x2/N2

和=1-2x1/N1-x2/N2

決定。1、1<1，2>1S1S2S3ON1/2N1x1x2N2/1N2=0=0這時(shí)=0和=0將相平面分為三個(gè)區(qū)域：S1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.t增加時(shí)，所有解都將趨于P1，所以P1是穩(wěn)定的。ON1x1x2N22、1>1，2<1，P2穩(wěn)定3、1<1，2<1，P3穩(wěn)定ON1N1/2x1P3N2N2/1x2ON1/2N2x1P3x2N2N2/14、1>1，2>1，方程的解不存在統(tǒng)一的發(fā)展趨勢(shì)。一(2)生物互惠共生模型甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨(dú)自生存，乙不能；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。2)甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。3)甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。第一種情形模型假設(shè)甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1

倍甲為乙提供食物是乙消耗的2

倍平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn)有三個(gè)：P1(N1,0),P3(0,0)種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)0

1<1,2>1,12<1

P