波利亞怎樣解題實(shí)例分析

怎樣解題一、熟悉問(wèn)題1、未知是什么？2、是什么？3、你能復(fù)述它嗎？二、尋找解題方法1、以前做過(guò)類似的題嗎？可以仿照以前的解題過(guò)程寫出此題嗎？2、與未知相關(guān)的定理、公式、法那么、概念都有什么？這道題是相關(guān)的定理、公式、法那么、概念的直接應(yīng)用嗎？3、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？4、你能利用和所屬的定理、公式、法那么、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？5、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法那么、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法那么、概念嗎？假設(shè)不能解題，可考慮：1、條件都用上了嗎？2、能不能得到一個(gè)比擬特殊的情況？三、書寫過(guò)程1、你能按步驟寫出你的分析過(guò)程嗎？2、你所寫的步驟都正確嗎？四、總結(jié)與回憶1、以前做過(guò)同類型的題嗎？它與同類型的其它題有什么異同？2、以前沒有解過(guò)同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？3、解題過(guò)程能簡(jiǎn)化嗎？例1、：如圖，在△ABC中，AB=AC求證：乙B=4C分析：?jiǎn)栴}1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？§：ZB=ZC問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：在三角形ABC中，AB=AC問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？答：似乎沒有。問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎沒有。不能直接用定理解出此題。問(wèn)題5、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：此題條件只有一個(gè)，似乎不能直接重新分組。問(wèn)題6、你能利用和所屬的定理、公式、法那么、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：似乎不能。問(wèn)題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法那么、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法那么、概念嗎？答：1、未知是求乙8=乙心在以前學(xué)過(guò)的定理中有根據(jù)平行線證角相等、利用角平分線證角相等、利用度數(shù)證角相等、利用全等三角形證角相等。由于這些都沒有出現(xiàn)，是不是能引入輔助元素？觀察乙B、乙C所處的位置，平行線、角平分線都不適宜、角的度數(shù)沒有出現(xiàn)，考慮運(yùn)用全等三角形來(lái)解此題。但此題中乙B、乙C處在同一個(gè)三角形中，需要將此兩角放入到兩個(gè)不同的三角形中，需引入一條線將此三角形分成兩個(gè)三角形，并將/B、乙C分別處于兩個(gè)三角形中，可在4點(diǎn)引下一條線與BC相交。2、新問(wèn)題出現(xiàn)了：如何證明力48口”力ACD?答：中含有AB=AC,4圖中可得人口=4口，尚缺少一個(gè)條件。3、新問(wèn)題：參加什么條件就可以了？答：乙BAD=乙CAD,可利用角邊角進(jìn)展判定?；?口可口，可利用邊邊邊進(jìn)展判定?；蛉丝冢??？衫弥苯侨切蔚娜鹊呐卸ㄟM(jìn)展判定。4、新問(wèn)題：如何實(shí)現(xiàn)？答：在做線的時(shí)候可以利用做圖做出其中的某一個(gè)條件。如做角人的角平分線，或做BC邊上的中線，或做BC的垂線。到此，此題可解。問(wèn)題8、如何書寫過(guò)程？答：先寫線的做法，然后寫全等證明，最后得到未知求證。問(wèn)題9、解題過(guò)程能簡(jiǎn)化嗎？答：尚無(wú)更簡(jiǎn)化方法。問(wèn)題10、以前沒有解過(guò)同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：此題條件少，沒有直接出現(xiàn)三角形，需要構(gòu)造出三角形求解?？傻玫揭粋€(gè)結(jié)論：利用三角形全等證明一個(gè)圖形中的兩角相等進(jìn)可行的。要求是要將此兩角放到兩個(gè)三角形中，然后找全等的條件。例2、求二次函數(shù)y=-3x2-6x+5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)。問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)。問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-3x2-6x+5問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？答：做過(guò)。問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：能直接運(yùn)用公式〔一b,4acb2〕求解。2a 4a問(wèn)題5、以前沒有解過(guò)同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：此類題型主要考察對(duì)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的掌握情況，以及準(zhǔn)確的計(jì)算能力。例3、：如圖，在△ABC中，AB=5,AC=3,D為BC中點(diǎn)，求AD例3、：如圖，在△ABC中，問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求AD的取值X圍。問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：在△ABC中，AB=5,AC=3,D為BC中點(diǎn)問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？答：沒有。問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊和大于第三邊，兩邊差小于第三邊。問(wèn)題5、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：條件中兩條邊的邊長(zhǎng)分別是48、人。所屬三角形為4人8。而所求AD邊長(zhǎng)所屬是△ACD或AADC。問(wèn)題6、你能利用和所屬的定理、公式、法那么、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：中的邊長(zhǎng)為48、人心要想使用三角形三邊關(guān)系，需將AB、AC和AD邊聯(lián)合到一個(gè)三角形中。考慮：需移動(dòng)AB或AC并到AC或AB與AD或包含AD的線段構(gòu)成一角三角形。移動(dòng)的方法考慮使用全等三角形的方法。延長(zhǎng)AD至￡,使AD=AE,那么可出現(xiàn)△ACD/△EBD,可得AC=BE,那么2<AE<8,可得1<AD<4。問(wèn)題7、以前沒有解過(guò)同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：1、有三角形的中線，可構(gòu)造全等三角形。2、當(dāng)條件分散時(shí)，可向定理集中。例4、：如圖，△ABC中，BF平分乙ABC,CF平分乙ACB,ED〃BC,求證：DE=BE+CD問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：線段口￡的長(zhǎng)等于EF與FD的和。問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：角平分線BF和CF,平行線DE平行于BC。問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？答：沒有。問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：角分線定理，平行線性質(zhì)。問(wèn)題5、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：從圖中可得，此題角平分線與平行線有重合局部。問(wèn)題6、你能利用和所屬的定理、公式、法那么、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得乙CBF=乙EBF,根據(jù)平行線性質(zhì)可得乙CBF=乙EFB,進(jìn)而可得乙EFB=4CBF,可以得到等腰三角形EBF,可得BE=EF。根椐對(duì)稱原那么可得CD=FD。進(jìn)而此題可解。問(wèn)題7、以前沒有解過(guò)同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：1、有角平分線和平行線，可得等腰三角形。2、求證線段和可以用分段相等的形式得到結(jié)論。例6、x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，那么m2+2mn+n2的值。問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：代數(shù)式m2+2mn+n2的值。問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一個(gè)根。問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？答：沒有。問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：不能直接運(yùn)用公式求解。問(wèn)題5、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：不能。問(wèn)題6、你能利用和所屬的定理、公式、法那么、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：根據(jù)方程根的含義可知12+1xm+n=0,進(jìn)而可得印+門=0。問(wèn)題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法那么、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法那么、概念嗎？答：根據(jù)因式分解的公式可將未知變形為m2+2mn+n2=〔m+n〕2,即假設(shè)知m+n的值可得未知。到此，此題可解。例7、如圖，在四邊形ABCD中，AB二CD,M、N、P分別是AD,BC的中點(diǎn)，乙BDC=700,cos乙ABD=Q,求乙NMP的度數(shù)。2問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求乙NMP的度數(shù)。問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：AB二CD,M、N、P分別是AD,BC的中點(diǎn)，乙BDC=70o,cos乙ABD=亙。2問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？答：沒有。問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：相關(guān)的定理有中點(diǎn)現(xiàn)的中位線，由三角函數(shù)可求出相應(yīng)的角的值；不能直接運(yùn)用公式求解。問(wèn)題5、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：1、由中位線定理可知,AB=2MP；cos乙ABD二二3可知乙48口=300；進(jìn)而可得2乙MPD=30o；2、由中位線定理可知DC=2NP；由乙BDC=700,可知乙BPN=700；進(jìn)而可得乙NPD=110o；進(jìn)而可得乙MPN=140o；3、由中位線定理和AB=CD可知MP=NP；進(jìn)而可知MP=NP；進(jìn)而可得乙PMN=乙PNM。綜合以上因素，可得乙NMP=乙MNP=200。到此，此題可解。問(wèn)題5、以前沒有解過(guò)同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：1、利用一切時(shí)機(jī)將重新分組與組合，可得新的結(jié)論，將新結(jié)論與其它相結(jié)合可得更新的結(jié)論，可能能到達(dá)終點(diǎn)。2、有中位線，可尋找相等的線段。例8、如下圖：乙xOy=900,點(diǎn)A,B分別在射線Ox,Oy上移動(dòng)，乙OAB的內(nèi)角平分線與乙OBA的外角平分線交于C,求乙ACB的度數(shù)。問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求乙ACB的度數(shù)問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：乙xOy=900,點(diǎn)A,B分別在射線Ox,Oy上移動(dòng)，乙048的內(nèi)角平分線與乙OBA的外角平分線交于C問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？答：似乎沒有。問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，角平分線定理。不能直接用定理解出此題。問(wèn)題5、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：乙480的外角的度數(shù)與4840是有關(guān)聯(lián)的，但這中間似乎很亂。清理一下：/ABO的外角/ABE在度數(shù)上等于〔90葉乙OAB］那么外角的一半乙EDB應(yīng)等于1〔900+4048］，而乙480應(yīng)等于〔900-4048］，那么乙ABC應(yīng)等于二者之和：2乙ABC=1〔900+乙OAB〕+〔900-乙OAB〕=〔135。-1乙OAB〕。2 2問(wèn)題6、你能利用和所屬的定理、公式、法那么、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？問(wèn)題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法那么、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法那么、概念嗎？答：1、未知是求乙ACB的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理，將未知轉(zhuǎn)化成求式子1800—乙CBA一乙BAC的度數(shù)。2、根據(jù)以上所得，那么有乙ACB=1800—4CBA一4BAC=1800一〔1350-14OAB〕2—14OAB=45o。原題得解。即無(wú)論A、B如何運(yùn)動(dòng)，只要角平線不改，乙ACB2永遠(yuǎn)等于450。問(wèn)題8、以前沒有解過(guò)同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：例9、如圖，△ABC為正三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至￡，使CE=CD。求證：DB=DE。問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求證：DB=DE。問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？§：^ABC為正三角形，8口是中線，CE=CD。問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：等腰三角形性質(zhì)和判定。不能直接用定理證明。問(wèn)題5、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：根據(jù)中△ABC為正三角形，BD是中線可得乙DBC=14ABC=14ACB。。2 2問(wèn)題6、你能利用和所屬的定理、公式、法那么、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：根據(jù)中CE=CD,可得乙CED=4CDE。問(wèn)題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法那么、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法那么、概念嗎？答：1、未知是求證口8=口￡,如何能出現(xiàn)？答：在以前學(xué)過(guò)的定理中等腰三角形的判斷，只要乙DBC=乙CDE即可；2、新問(wèn)題：與此相關(guān)聯(lián)的角有那些?答：與乙DBC相關(guān)聯(lián)的角是乙ACB,而乙ACB又是△DCE的外角，這似乎可行；3、有新進(jìn)展嗎？答：由三角形外角定理可得乙CED=14ACB,進(jìn)而可得乙DBC=4CDE。2原題得證。問(wèn)題8、如何書寫過(guò)程？問(wèn)題9、解題過(guò)程能簡(jiǎn)化嗎？答：尚無(wú)更簡(jiǎn)化方法。問(wèn)題10、以前沒有解過(guò)同類型的題，這種類型的題有什么特點(diǎn)呢？答：1、證同一三角形中的邊相等時(shí)，可考慮等腰三角形的判定。2、在同一三角形中有等邊就有等角。例10.AD是△ABC的角平分線，DE,DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF。問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：AD垂直平分EF問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：AD是△ABC的角平分線，DE,DF分別是△ABD和△ACD的高問(wèn)題3、以前做過(guò)類似的題嗎？答：做過(guò)。解過(guò)有關(guān)角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的證明。問(wèn)題4、與相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：角平分線定理。垂直平分線定理。不能直接用定理解出此題。問(wèn)題5、你能對(duì)條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：AD是△ABC的角平分線，DE,DF分別是448口和△ACD的高，聯(lián)和可得DE=DF。問(wèn)題6、你能利用和所屬的定理、公式、法那么、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：似乎不能。問(wèn)題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法那么、概念,你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法那么、概念嗎？答：未知是求AD垂直平分EF,在以前學(xué)過(guò)的定理中有垂直平分線定理的逆定理，只要能證明DE=DF即可。原題得證。例11、父親死后留下1600克朗給三個(gè)兒子,遺囑上說(shuō),老大應(yīng)比老二多分200克朗,老二比老三多分100克朗,問(wèn)他們各分了多少？問(wèn)題1、未知是什么？你能復(fù)述它嗎？答：求兄弟三人各分多少錢。問(wèn)題2、是什么？你能復(fù)述它嗎？答：共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二比老三多分10