長沙市望城區(qū)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

湖南省長沙市望城區(qū)2020_2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析湖南省長沙市望城區(qū)2020_2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析PAGEPAGE26湖南省長沙市望城區(qū)2020_2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析湖南省長沙市望城區(qū)2020—2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析)（全卷滿分：150分,考試用時：120分鐘）一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，下列不等式恒成立的是（）A。 B。 C. D.2.等差數(shù)列中，,，則公差等于（）A.2 B. C. D.3。命題“"的否定是（）A. B。C。 D.4.若雙曲線實軸長為2，則其漸近線方程為(）A. B. C. D.5.已知集合，,則(）A. B.C. D.6。設(shè)｛an}是等比數(shù)列，則“a1＜a2＜a3”是數(shù)列｛anA。充分而不必要條件 B。必要而不充分條件、C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.若對,都有成立，則的取值范圍是（）A. B。C. D。8。橢圓()上一點關(guān)于原點的對稱點為，為橢圓的一個焦點,若，且,則該橢圓的離心率為（）A。 B. C。 D。二、多項選擇題：本大題共4小題,每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.在公比為等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和,若，則下列說法正確的是()A. B。數(shù)列是等比數(shù)列C。 D.10.已知函數(shù),則（）A.的最小值為4 B.當(dāng)時，有C.當(dāng)時,有 D.當(dāng)時，最小值是411.已知曲線．則下列結(jié)論正確的是：（）A。若，則是橢圓，其焦點在軸上B.若，則圓,其半徑為C。若,則是雙曲線,其漸近線方程為D。若，則是兩條直線12.已知函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且f(0)=1，其導(dǎo)函數(shù)滿足,對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)g(x）在(1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù) B。x=1是函數(shù)g（x)的極小值點C函數(shù)g(x)至多有兩個零點 D。當(dāng)x≤0時，不等式恒成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分．13。拋物線上一點到點的距離等于3，則_________．14.十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載填發(fā)明的。明萬歷十二年(公元1584年），他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應(yīng)為__________。15.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，如果，則________________16.已知為正實數(shù)，直線與曲線相切,則的最小值為________。四、解答題:本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求在點處的切線；（2）求在區(qū)間上最大值和最小值．18。條件①：設(shè)數(shù)列的前項之和為，且．條件②：對，有（為常數(shù)），，并且成等差數(shù)列．在以上兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并作答．在數(shù)列中，_____________．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分．19。如圖所示，在矩形中，，,是的中點,為的中點，以為折痕將向上折起，使點折到點，且。（1）求證：面；(2）求與面所成角的正弦值.20.某商家耗資4500萬元購進(jìn)一批（虛擬現(xiàn)實)設(shè)備，經(jīng)調(diào)試后計劃明年開始投入使用，由于設(shè)備損耗和維護(hù)，第一年需維修保養(yǎng)費用200萬元，從第二年開始，每年的維修保并費用比上一年增40萬元。該設(shè)備使用后，每年的總收入為2800萬元。（1)求盈利額（萬元)與使用年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該設(shè)備使用多少年,商家的年平均盈利額最大？最大年平均盈利額是多少？21.已知四點中恰有三點在橢圓上，其中．(1）求的值；(2）若直線過定點且與橢圓交于兩點（與軸不重合）,點關(guān)于軸的對稱點為點．探究：直線是否過定點，若是,求出該定點的坐標(biāo);若不是，請說明理由．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值．長沙市望城區(qū)2020年下期普通高中期末質(zhì)量調(diào)研檢測高二數(shù)學(xué)（解析版）班級:______姓名:_______準(zhǔn)考證號：_________（全卷滿分：150分,考試用時：120分鐘)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】通過反例、不等式的性質(zhì)可依次判斷各個選項即可.【詳解】選項A.當(dāng)時,,故選項A不正確.由，則，所以成立，故選項B正確.選項C不正確.選項D當(dāng)時,，所以,故選項D不正確。故選：B2.等差數(shù)列中，，，則公差等于(）A.2 B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì),構(gòu)建方程，解得答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：所以。故選：A【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。3。命題“”的否定是()A. B。C. D.【答案】C【解析】【分析】全稱命題否定為特稱命題，改量詞否結(jié)論【詳解】解:命題“”的否定為“”，故選:C4.若雙曲線的實軸長為2，則其漸近線方程為(）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線性質(zhì)得a，表示雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，表示漸近線方程即可.【詳解】因為實軸長為2,所以，所以雙曲線為所以漸近線方程為。故選：D【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),涉及實軸和求漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題。5.已知集合，，則(）A. B.C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合，，結(jié)合集合交集的運算,即可求解.【詳解】由題意，集合，,根據(jù)集合交集概念與運算，可得。故選:C?！军c睛】本題考查集合的交集的概念及運算，其中解答中正確求解集合，結(jié)合集合的交集的概念及運算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。6.設(shè)｛an｝是等比數(shù)列,則“a1＜a2＜a3”是數(shù)列｛anA.充分而不必要條件 B。必要而不充分條件、C。充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】【詳解】或，所以數(shù)列{an｝是遞增數(shù)列若數(shù)列｛an}是遞增數(shù)列,則“a1＜a2＜a3”,因此“a1＜a2＜a3"是數(shù)列{a7。若對,都有成立，則的取值范圍是（）A。 B。C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用基本不等式得到，再根據(jù)題意得到，解不等式即可?！驹斀狻苛?，，因為，所以，當(dāng)即時取等號，又因為，都有，所以即可。由得,即，，所以，解得或。故選：B?！军c睛】易錯點點睛:利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;(3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方。8.橢圓（)上一點關(guān)于原點的對稱點為，為橢圓的一個焦點，若,且，則該橢圓的離心率為（)A. B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】是另一個焦點，由對稱性知是平行四邊形，從而得是矩形．，在直角三角形中用表示出兩直角邊，再上橢圓定義得的等式，求得離心率．【詳解】如圖,是另一個焦點，由對稱性知是平行四邊形，∵，∴，∴是矩形．,∴，∴，，∴,∴．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是找到的關(guān)系，本題利用橢圓的對稱性，引入另一焦點后形成一個平行四邊形，再根據(jù)向量數(shù)量積得垂直,從而得到矩形,在矩形中利用橢圓的定義構(gòu)造出的關(guān)系．求出離心率．二、多項選擇題:本大題共4小題，每小題5分,共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分．9.在公比為等比數(shù)列中，是數(shù)列前n項和，若,則下列說法正確的是（)A. B。數(shù)列是等比數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,結(jié)合等比數(shù)列的定義和對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可?！驹斀狻恳驗?，所以有,因此選項A正確；因為，所以，因為常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列,故選項B不正確；因為,所以選項C正確;,因為當(dāng)時，，所以選項D正確.故選：ACD【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列定義的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力。10.已知函數(shù)，則（）A.的最小值為4 B。當(dāng)時,有C。當(dāng)時，有 D。當(dāng)時，的最小值是4【答案】BC【解析】【分析】由均值不等式以及以能取等的條件對每一選項進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】選項A.當(dāng)時,，則的最小值不為4，所以選項A不正確.選項B.當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，所以，故選項B正確。選項C.當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng),即時取得等號，所以，故選項C正確。選項D。當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，所以等號不成立，即，故選項D錯誤.故選：BC【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，這時改用勾型函數(shù)的單調(diào)性求最值。11。已知曲線．則下列結(jié)論正確的是：(）A。若，則是橢圓,其焦點在軸上B。若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為D。若,則是兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】選項A.當(dāng)時，曲線，則表示焦點在軸上的橢圓；選項B。當(dāng)時，曲線可判斷；選項C.若,則是雙曲線,由,可得可判斷。選項D。。當(dāng)，時，曲線可判斷；【詳解】選項A.當(dāng)時，曲線，可化為,由,則，則表示焦點在軸上的橢圓，故A正確。選項B.當(dāng)時,曲線，表示半徑為的圓，故B不正確選項C。若，則是雙曲線，由，可得所以漸近線方程為，故C正確選項D.當(dāng)，時,曲線，即，表示兩條直線，故D正確故選：ACD12。已知函數(shù)y=f(x）在R上可導(dǎo)且f（0）=1,其導(dǎo)函數(shù)滿足,對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)g（x)在(1，+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù) B.x=1是函數(shù)g（x）的極小值點C。函數(shù)g（x)至多有兩個零點 D.當(dāng)x≤0時，不等式恒成立【答案】ABC【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用可得的正負(fù),即函數(shù)的單調(diào)性，判斷出選項AB；討論的符號，結(jié)合單調(diào)性得出函數(shù)的零點個數(shù)，判斷出選項C;利用在的單調(diào)性和最值，判斷出選項D．【詳解】函數(shù)，則，當(dāng)時,，故在單調(diào)遞增，A正確；當(dāng)時,，故在單調(diào)遞減，故x=1是函數(shù)g（x）的極小值點，B正確;若，則有兩個零點,若，則有一個零點，若,則沒有零點，故C正確;在單調(diào)遞減,則在單調(diào)遞減，，可知時，，故，即，D錯誤；故選：ABC【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，考查學(xué)生邏輯推理能力和計算能力，屬于中檔題．三、填空題：本大題共4小題,每小題5分,共20分．13.拋物線上一點到點的距離等于3,則_________．【答案】2【解析】【分析】由拋物線的定義可得，從而可得答案?！驹斀狻?4。十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載填發(fā)明的。明萬歷十二年（公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應(yīng)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可先求出公比的關(guān)系式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可知即可求出．【詳解】由題意設(shè)這13個數(shù)組成依次遞增的等比數(shù)列為,滿足,，即有．故答案為：．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于容易題．15.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，如果，則________________【答案】6【解析】【分析】由平面法向量與平面垂線的方向向量平行可得．【詳解】∵，∴,∴，∴．故答案為:6．16.已知為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】直線與曲線相切,則切點在直線與曲線上，且切點處的導(dǎo)數(shù)相等,求出，的關(guān)系，再利用基本不等式求所求分式的最值．【詳解】解：由得;由得；因為直線與曲線相切,令，則可得，代入得；所以切點為．則，所以．故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時取得最小值2．故答案為：．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的意義及基本不等式的綜合應(yīng)用．關(guān)于直線與曲線相切，求未知參數(shù)的問題，一般有以下幾步：1、分別求直線與曲線的導(dǎo)函數(shù)；2、令兩導(dǎo)數(shù)相等，求切點橫坐標(biāo)；3、代入兩方程求參數(shù)關(guān)系或值，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題,滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17。已知函數(shù)．(1）求在點處的切線；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1)；(2）18，．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再求出，用點斜式方程寫出直線方程即可.（2）求出的極大值和極小值，跟端點值進(jìn)行比較，得出最大值和最小值。【詳解】（1），則則，故切線為，即（2）當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在區(qū)間上的最大值和最小值分別是18，．【點睛】求函數(shù)最值和值域的常用方法：（1）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值;（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；（3）基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；（4）導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值；（5）換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求最值．18.條件①：設(shè)數(shù)列的前項之和為，且．條件②：對，有（為常數(shù)）,，并且成等差數(shù)列．在以上兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并作答．在數(shù)列中,_____________．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】（1）條件性選擇見解析,；（2）【解析】【分析】(1）若選條件①，則得，,再利用可求得;若選條件②，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，再由已知條件可得，,可求出，進(jìn)而可求出；(2）利用錯位相減法求和即可【詳解】選條件①，由得當(dāng)時，，又∴數(shù)列的通項公式為選條件②，（1）知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且由已知可得：即：解得（舍去）(2）（或）19。如圖所示，在矩形中，，，是的中點，為的中點，以為折痕將向上折起，使點折到點，且。（1）求證:面;(2）求與面所成角的正弦值?！敬鸢浮浚?）證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到，進(jìn)而證得面;(2）分別以、、為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解。【詳解】（1）由題意,可得,,則，取的中點，連，，可得，所以，因為，，且，所以平面，又因為平面，所以.又由與為相交直線，所以平面.（2）作交于，可知，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，,設(shè)平面的法向量為,則，令，可得平面的一個法向量為，又由，所以與面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定與證明,以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.某商家耗資4500萬元購進(jìn)一批(虛擬現(xiàn)實）設(shè)備,經(jīng)調(diào)試后計劃明年開始投入使用,由于設(shè)備損耗和維護(hù)，第一年需維修保養(yǎng)費用200萬元，從第二年開始，每年的維修保并費用比上一年增40萬元。該設(shè)備使用后，每年的總收入為2800萬元。(1)求盈利額（萬元）與使用年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2)該設(shè)備使用多少年，商家的年平均盈利額最大？最大年平均盈利額是多少？【答案】（1）;（2）15年；2020萬元.【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列求和公式表示總保養(yǎng)費，再由盈利額等于總收入減去總保養(yǎng)費再減去購買設(shè)備的資金構(gòu)建關(guān)系式;(2）表示年平均盈利額的表達(dá)式，利用基本不等式求最值,得答案.【詳解】（1）由題可知每年的保養(yǎng)費是以200萬元為首項，40萬元為公差，逐年遞增的等差數(shù)列形式,所以年的總保養(yǎng)費萬元，年的總收入為萬元，所以盈利額故關(guān)系式為；（2)由(1）可知年平均盈利額由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以故該設(shè)備使用15年,商家的年平均盈利額最大，最大年平均盈利額是2020萬元.【點睛】本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)實際構(gòu)建函數(shù)模型，其中涉及等差數(shù)列求和，基本不等式求最值,屬于較難題.21。已知四點中恰有三點在橢圓上，其中．（1)求的值