函數(shù)的極值和最值

§3.4

函數(shù)的極值與最值定義3.4.1設(shè)f(x)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,都有極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.若存在1).,則稱為函數(shù)的極大值.2).,則稱為函數(shù)的極小值.3.4.1函數(shù)的極值及其求法xyo1注意

1)函數(shù)的極值概念是局部性的2)函數(shù)的極值可能有多個3)函數(shù)的極大值可能比極小值小4)函數(shù)的極值不在端點上取xy2由圖所示,函數(shù)的極大值為:極小值為:函數(shù)的極值在單調(diào)區(qū)間的分界點處取得.xy3定理3.4.1（極值存在的必要條件）(費爾馬定理)設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)并取得極值,則條件必要而不充分.即駐點未必是極值點.注意例y=x3在

x=0點導(dǎo)數(shù)為零，但不是極值點。1）導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是函數(shù)的極值點.若，稱點為函數(shù)的駐點.2）極值點只可能在駐點或?qū)?shù)不存在的點取到。4定理3.4.2(極值存在的充分條件)當(dāng)時,當(dāng)時,(1)則在處取得極大值.當(dāng)時,(2)當(dāng)時,則在處取得極小值.(3)在的鄰近兩側(cè)不變號,則在處沒有極值.在點連續(xù)，在的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)（可除外）設(shè)函數(shù)xy5求函數(shù)極值的方法和步驟:(1).求出(2).求使的點(駐點),及使不存在的點;(3).利用定理3.4.2判別所找點是否極值點,并判別極大(小)值.例1.求函數(shù)的極值.解.得列表:極大值極小值增減增極大值為:極小值為:6定理3.4.3（充分條件）設(shè)函數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù),且在點則當(dāng)時,為極大值;當(dāng)時,為極小值.例2.求函數(shù)的極值.解:令,得所以有極小值:定理3.4.3失效,用定理3.4.2判斷.當(dāng)時,時,不是極值點當(dāng)時,時,不是極值點7注意1)函數(shù)的最值概念是全局性的2)函數(shù)的最大值（最小值）唯一3)函數(shù)的最大值大于等于最小值4)函數(shù)的最值可在端點上取定義3.4.2設(shè)f(x)在D

上有定義,都有最大值與最小值統(tǒng)稱為最值,使函數(shù)取得最值的點稱為最值點.1).,則稱為函數(shù)的最大值.2).,則稱為函數(shù)的最小值.3.4.2函數(shù)的最值及其求法8若函數(shù)在上連續(xù)，上取得最大值、最小值.則必在xyo求最值的方法:2.若函數(shù)在內(nèi)取得最值，則此點一定取得極值1、求出最值點的存在范疇：端點、駐點、導(dǎo)數(shù)不存在的點2.計算函數(shù)在這些點處的函數(shù)值;3.比較這些函數(shù)值的大小,其中最大者與最小者就是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.x01.函數(shù)可能在端點取得最值。說明9例1.求函數(shù)在上的最大、小值.解令得當(dāng)時,不存在.函數(shù)在上的最大值為:最小值為:10幾種特殊情況:1.

若在上單調(diào),則在端點處取得最值.2.

若在內(nèi)只有一個極值點則當(dāng)為極大(小)值點時,就是最大(小)值.3.在實際問題中,則按實際情況進(jìn)行判斷.當(dāng)表示該實際問題的函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個可能的極值點時,則該實際問題一定在該點取得所求的最大值或最小值.11B20kmAC100km現(xiàn)要在AB上選定一點D向工廠C修筑一條公路例2.鐵路線上A,B兩地相距100公里,工廠C距A處20公里,AC垂直于AB.已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比為3:5.為了使貨物從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最省,