平面向量的數(shù)乘及其幾何意義

2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義向量的加法(三角形法則)如圖,已知向量

和向量

,作向量

.ABo向量的加法(平行四邊形法則)oABC如圖,已知向量

和向量

,作向量

.向量的減法(三角形法則)如圖,已知向量

和向量

,作向量

.ABo問(wèn)題：通過(guò)上述的具體實(shí)例總結(jié)出更具一般性的向量數(shù)乘的定義

問(wèn)題：你能說(shuō)明它數(shù)乘意義嗎？1．從兩個(gè)角度看數(shù)乘向量(1)代數(shù)角度λ是實(shí)數(shù)，a是向量，它們的積仍是向量；另外，λa＝0的條件是λ＝0或a＝0.(2)幾何角度對(duì)于向量的長(zhǎng)度而言，①當(dāng)|λ|＞1時(shí)，有|λa|＞|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸長(zhǎng)到|a|的|λ|倍；②當(dāng)0＜|λ|＜1時(shí)，有|λa|＜|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上縮短到|a|的|λ|倍．在物理中位移與速度的關(guān)系：其中位移、速度，力、加速度都是向量，而時(shí)間、質(zhì)量都是數(shù)量．s=vt，f=ma.力與加速度的關(guān)系：判一判(判斷下列說(shuō)法的正誤)(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的和λ＋a與差λ－a是向量．(

)提示：×實(shí)數(shù)與向量不能作加減運(yùn)算．(2)對(duì)于非零向量a，向量－3a與向量3a方向相反．(

)提示：√－3a與3a方向相反．(3)對(duì)于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．(

)提示：√

|－6a|＝6|a|＝2×|3a|.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。思考

結(jié)論：思考

結(jié)論：2)可以是零向量嗎?思考:1)為什么要是非零向量?共線向量基本定理：向量與非零向量共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得課本P904ABCDEABCDE(2)證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題:定理的應(yīng)用:(1)有關(guān)向量共線問(wèn)題:(3)證明兩直線平行的問(wèn)題:例6:解：作圖如右OABC依圖猜想:A、B、C三點(diǎn)共線abbb已知任意兩非零向量a、b，試作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ba又AB與AC有公共點(diǎn)A，∴

A、B、C三點(diǎn)共線.

ADBMC如圖:

ABCD