2023屆廣東省惠州市惠陽(yáng)區(qū)中考押題數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷含解析及點(diǎn)睛_第1頁(yè)
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2023中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為:﹣,1,﹣,、﹣、…,按此規(guī)律,這列數(shù)中的第100個(gè)數(shù)是()A.﹣ B. C. D.2.若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是150°,則該正多邊形的邊數(shù)是()A.6B.12C.16D.183.已知a<1,點(diǎn)A(x1,﹣2)、B(x2,4)、C(x3,5)為反比例函數(shù)圖象上的三點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x2 C.x3>x1>x2 D.x2>x3>x14.觀察下列圖案,是軸對(duì)稱而不是中心對(duì)稱的是()A. B. C. D.5.已知一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象,繞x軸上一點(diǎn)P(m,1)旋轉(zhuǎn)181°,所得的圖象經(jīng)過(guò)(1.﹣1),則m的值為()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.26.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=-1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),則下列結(jié)論:①AB=4;②b2-4ac>0;③ab<0;④a2-ab+ac<0,其中正確的結(jié)論有()個(gè).A.3 B.4 C.2 D.17.﹣23的相反數(shù)是()A.﹣8 B.8 C.﹣6 D.68.方程組的解x、y滿足不等式2x﹣y>1,則a的取值范圍為()A.a(chǎn)≥ B.a(chǎn)> C.a(chǎn)≤ D.a(chǎn)>9.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖,那么正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=在同一坐標(biāo)系中的圖象的形狀大致是()A. B.C. D.10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π,理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位,這一結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年,“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算半徑為1的圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,則S6的值為()A. B.2 C. D.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.如下圖,在直徑AB的半圓O中,弦AC、BD相交于點(diǎn)E,EC=2,BE=1.則cos∠BEC=________.12.有一個(gè)計(jì)算程序,每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘2,再除以它與1的和,多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過(guò)程如下:則第n次的運(yùn)算結(jié)果是____________(用含字母x和n的代數(shù)式表示).13.計(jì)算:3﹣(﹣2)=____.14.如圖,△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上,DE∥AC,若DB=4,AB=6,BE=3,則EC的長(zhǎng)是_____.15.閱讀理解:引入新數(shù)i,新數(shù)i滿足分配律、結(jié)合律、交換律,已知i2=﹣1,那么(1+i)?(1﹣i)的平方根是_____.16.分解因式:a3-12a2+36a=______.17.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,則事件“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和小于8且為偶數(shù)”的概率是.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)一輛快車從甲地開(kāi)往乙地,一輛慢車從乙地開(kāi)往甲地,兩車同時(shí)出發(fā),設(shè)慢車離乙地的距離為y1(km),快車離乙地的距離為y2(km),慢車行駛時(shí)間為x(h),兩車之間的距離為S(km),y1,y2與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖①所示,S與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示:(1)圖中的a=______,b=______.(2)求快車在行駛的過(guò)程中S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(3)直接寫(xiě)出兩車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間相距200km?19.(5分)某市正在舉行文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng),一商店抓住商機(jī),決定購(gòu)進(jìn)甲,乙兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品.若購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品4件,乙種紀(jì)念品3件,需要550元,若購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品5件,乙種紀(jì)念品6件,需要800元.(1)求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種紀(jì)念品每件各需多少元?(2)若該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品共80件,其中甲種紀(jì)念品的數(shù)量不少于60件.考慮到資金周轉(zhuǎn),用于購(gòu)買這80件紀(jì)念品的資金不能超過(guò)7100元,那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案7(3)若銷售每件甲種紀(jì)含晶可獲利潤(rùn)20元,每件乙種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元.在(2)中的各種進(jìn)貨方案中,若全部銷售完,哪一種方案獲利最大?最大利利潤(rùn)多少元?20.(8分)(問(wèn)題發(fā)現(xiàn))(1)如圖(1)四邊形ABCD中,若AB=AD,CB=CD,則線段BD,AC的位置關(guān)系為;(拓展探究)(2)如圖(2)在Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),分別以AB,AC為底邊,在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,連接FD,F(xiàn)E,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.試猜想四邊形FMAN的形狀,并說(shuō)明理由;(解決問(wèn)題)(3)如圖(3)在正方形ABCD中,AB=2,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)60°,得到正方形AB'C'D',請(qǐng)直接寫(xiě)出BD'平方的值.21.(10分)[閱讀]我們定義:如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng),那么稱這個(gè)三角形為“中邊三角形”,把這條邊和其邊上的中線稱為“對(duì)應(yīng)邊”.[理解]如圖1,Rt△ABC是“中邊三角形”,∠C=90°,AC和BD是“對(duì)應(yīng)邊”,求tanA的值;[探究]如圖2,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=2β,點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為s.當(dāng)β=45°時(shí),若△APQ是“中邊三角形”,試求的值.22.(10分)某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品按每件100元出售,一天可售出100件.后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低1元,其銷量可增加10件.(1)若商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品一天要獲利潤(rùn)2160元,則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?(2)設(shè)后來(lái)該商品每件降價(jià)x元,商場(chǎng)一天可獲利潤(rùn)y元.求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)x取何值時(shí),商場(chǎng)獲利潤(rùn)最大?23.(12分)((1)計(jì)算:;(2)先化簡(jiǎn),再求值:,其中a=.24.(14分)已知C為線段上一點(diǎn),關(guān)于x的兩個(gè)方程與的解分別為線段的長(zhǎng),當(dāng)時(shí),求線段的長(zhǎng);若C為線段的三等分點(diǎn),求m的值.

參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解析】

根據(jù)按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為:,1,,,,…,可知符號(hào)規(guī)律為奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正;分母為3、7、9、……,型;分子為型,可得第100個(gè)數(shù)為.【詳解】按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為:,1,,,,…,按此規(guī)律,奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,分母為3、7、9、……,型;分子為型,可得第n個(gè)數(shù)為,∴當(dāng)時(shí),這個(gè)數(shù)為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題屬于規(guī)律題,準(zhǔn)確找出題目的規(guī)律并將特殊規(guī)律轉(zhuǎn)化為一般規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.2、B【解析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則有(n-2)×180°=n×150°,解得:n=12,故選B.3、B【解析】

根據(jù)的圖象上的三點(diǎn),把三點(diǎn)代入可以得到x1=﹣,x1=,x3=,在根據(jù)a的大小即可解題【詳解】解:∵點(diǎn)A(x1,﹣1)、B(x1,4)、C(x3,5)為反比例函數(shù)圖象上的三點(diǎn),∴x1=﹣,x1=,x3=,∵a<1,∴a﹣1<0,∴x1>x3>x1.故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,解題關(guān)鍵在于把三點(diǎn)代入,在根據(jù)a的大小來(lái)判斷4、A【解析】試題解析:試題解析:根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷可得:A、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)符合題意;B、不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;C、不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;D、是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意.故選A.點(diǎn)睛:在同一平面內(nèi),如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合,那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形.這個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn),就叫做對(duì)稱中心.5、C【解析】

根據(jù)題意得出旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)解析式為y=-x-1,然后根據(jù)解析式求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.【詳解】∵一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象,繞x軸上一點(diǎn)P(m,1)旋轉(zhuǎn)181°,所得的圖象經(jīng)過(guò)(1.﹣1),∴設(shè)旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)解析式為y=﹣x﹣1,在一次函數(shù)y=﹣x+2中,令y=1,則有﹣x+2=1,解得:x=4,即一次函數(shù)y=﹣x+2與x軸交點(diǎn)為(4,1).一次函數(shù)y=﹣x﹣1中,令y=1,則有﹣x﹣1=1,解得:x=﹣2,即一次函數(shù)y=﹣x﹣1與x軸交點(diǎn)為(﹣2,1).∴m==1,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換,解題的關(guān)鍵是求出旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)解析式.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大.6、A【解析】

利用拋物線的對(duì)稱性可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),則可對(duì)①進(jìn)行判斷;利用判別式的意義和拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)可對(duì)②進(jìn)行判斷;由拋物線開(kāi)口向下得到a>0,再利用對(duì)稱軸方程得到b=2a>0,則可對(duì)③進(jìn)行判斷;利用x=-1時(shí),y<0,即a-b+c<0和a>0可對(duì)④進(jìn)行判斷.【詳解】∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),∴A(-3,0),∴AB=1-(-3)=4,所以①正確;∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn),∴△=b2-4ac>0,所以②正確;∵拋物線開(kāi)口向下,∴a>0,∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=-1,∴b=2a>0,∴ab>0,所以③錯(cuò)誤;∵x=-1時(shí),y<0,∴a-b+c<0,而a>0,∴a(a-b+c)<0,所以④正確.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):△=b2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).7、B【解析】∵=﹣8,﹣8的相反數(shù)是8,∴的相反數(shù)是8,故選B.8、B【解析】

方程組兩方程相加表示出2x﹣y,代入已知不等式即可求出a的范圍.【詳解】①+②得:解得:故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解,方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值.9、C【解析】試題分析:如圖所示,由一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,可得k>1,b<1.因此可知正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限.綜上所述,符合條件的圖象是C選項(xiàng).故選C.考點(diǎn):1、反比例函數(shù)的圖象;2、一次函數(shù)的圖象;3、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系10、C【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形求出單位圓的內(nèi)接正六邊形的面積.【詳解】如圖所示,單位圓的半徑為1,則其內(nèi)接正六邊形ABCDEF中,△AOB是邊長(zhǎng)為1的正三角形,所以正六邊形ABCDEF的面積為S6=6××1×1×sin60°=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了已知圓的半徑求其內(nèi)接正六邊形面積的應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的面積,正n邊形的性質(zhì)解答.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、【解析】分析:連接BC,則∠BCE=90°,由余弦的定義求解.詳解:連接BC,根據(jù)圓周角定理得,∠BCE=90°,所以cos∠BEC=.故答案為.點(diǎn)睛:本題考查了圓周角定理的余弦的定義,求一個(gè)銳角的余弦時(shí),需要把這個(gè)銳角放到直角三角形中,再根據(jù)余弦的定義求解,而圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角.12、【解析】試題分析:根據(jù)題意得;;;根據(jù)以上規(guī)律可得:=.考點(diǎn):規(guī)律題.13、2+2【解析】

根據(jù)平面向量的加法法則計(jì)算即可.【詳解】3﹣(﹣2)=3﹣+2=2+2,故答案為:2+2,【點(diǎn)睛】本題考查平面向量,熟練掌握平面向量的加法法則是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

由△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上,DE∥AC,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得DB:AB=BE:BC,又由DB=4,AB=6,BE=3,即可求得答案.【詳解】解:∵DE∥AC,∴DB:AB=BE:BC,∵DB=4,AB=6,BE=3,∴4:6=3:BC,解得:BC=,∴EC=BC﹣BE=﹣3=.故答案為.【點(diǎn)睛】考查了平行線分線段成比例定理,解題時(shí)注意:平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.15、2【解析】

根據(jù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】.解:∵i2=﹣1,∴(1+i)?(1﹣i)=1﹣i2=2,∴(1+i)?(1﹣i)的平方根是±,故答案為±.【點(diǎn)睛】本題考查平方根以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算,解題關(guān)鍵掌握平方根的定義.16、a(a-6)2【解析】

原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.【詳解】原式=a(a2-12a+36)=a(a-6)2,故答案為a(a-6)2【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用,熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.17、.【解析】試題分析:畫(huà)樹(shù)狀圖為:共有36種等可能的結(jié)果數(shù),其中“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和小于8且為偶數(shù)”的結(jié)果數(shù)為9,所以“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和小于8且為偶數(shù)”的概率==.故答案為.考點(diǎn):列表法與樹(shù)狀圖法.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)a=6,b=;(2);(3)或5h【解析】

(1)根據(jù)S與x之間的函數(shù)關(guān)系式可以得到當(dāng)位于C點(diǎn)時(shí),兩人之間的距離增加變緩,此時(shí)快車到站,指出此時(shí)a的值即可,求得a的值后求出兩車相遇時(shí)的時(shí)間即為b的值;(2)根據(jù)函數(shù)的圖像可以得到A、B、C、D的點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式即可.(3)分兩車相遇前和兩車相遇后兩種情況討論,當(dāng)相遇前令s=200即可求得x的值.【詳解】解:(1)由s與x之間的函數(shù)的圖像可知:當(dāng)位于C點(diǎn)時(shí),兩車之間的距離增加變緩,由此可以得到a=6,∵快車每小時(shí)行駛100千米,慢車每小時(shí)行駛60千米,兩地之間的距離為600,∴;(2)∵從函數(shù)的圖象上可以得到A、B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:(0,600)、(,0)、(6,360)、(10,600),∴設(shè)線段AB所在直線解析式為:S=kx+b,∴解得:k=-160,b=600,設(shè)線段BC所在的直線的解析式為:S=kx+b,∴解得:k=160,b=-600,設(shè)直線CD的解析式為:S=kx+b,解得:k=60,b=0∴(3)當(dāng)兩車相遇前相距200km,此時(shí):S=-160x+600=200,解得:,當(dāng)兩車相遇后相距200km,此時(shí):S=160x-600=200,解得:x=5,∴或5時(shí)兩車相距200千米【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合知識(shí),特別是本題中涉及到了分段函數(shù)的知識(shí),解題時(shí)主要自變量的取值范圍.19、(1)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品每件需100元,購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念品每件需50元.(2)有三種進(jìn)貨方案.方案一:甲種紀(jì)念品60件,乙種紀(jì)念品20件;方案二:甲種紀(jì)念品61件,乙種紀(jì)念品19件;方案三:甲種紀(jì)念品1件,乙種紀(jì)念品18件.(3)若全部銷售完,方案一獲利最大,最大利潤(rùn)是1800元.【解析】分析:(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品每件價(jià)格為x元,乙種紀(jì)念幣每件價(jià)格為y元,根據(jù)題意得出關(guān)于x和y的二元一次方程組,解方程組即可得出結(jié)論;(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品a件,根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式,解不等式得出a的取值范圍,即可得出結(jié)論;(3)找出總利潤(rùn)關(guān)于購(gòu)買甲種紀(jì)念品a件的函數(shù)關(guān)系式,由函數(shù)的增減性確定總利潤(rùn)取最值時(shí)a的值,從而得出結(jié)論.詳解:(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品每件需x元,購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念品每件需y元.由題意得:,解得:答:購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品每件需100元,購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念品每件需50元.(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品a(a≥60)件,則購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念品(80﹣a)件.由題意得:100a+50(80﹣a)≤7100解得a≤1又a≥60所以a可取60、61、1.即有三種進(jìn)貨方案.方案一:甲種紀(jì)念品60件,乙種紀(jì)念品20件;方案二:甲種紀(jì)念品61件,乙種紀(jì)念品19件;方案三:甲種紀(jì)念品1件,乙種紀(jì)念品18件.(3)設(shè)利潤(rùn)為W,則W=20a+30(80﹣a)=﹣10a+2400所以W是a的一次函數(shù),﹣10<0,W隨a的增大而減小.所以當(dāng)a最小時(shí),W最大.此時(shí)W=﹣10×60+2400=1800答:若全部銷售完,方案一獲利最大,最大利潤(rùn)是1800元.點(diǎn)睛:本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,一次函數(shù)的應(yīng)用,找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,注意第二問(wèn)應(yīng)求整數(shù)解,要求學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.20、(1)AC垂直平分BD;(2)四邊形FMAN是矩形,理由見(jiàn)解析;(3)16+8或16﹣8【解析】

(1)依據(jù)點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上,點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,即可得出AC垂直平分BD;(2)根據(jù)Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),可得AF=CF=BF,再根據(jù)等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,即可得到AD=DB,AE=CE,進(jìn)而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°,即可判定四邊形AMFN是矩形;(3)分兩種情況:①以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,②以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,分別依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理,即可得到結(jié)論.【詳解】(1)∵AB=AD,CB=CD,∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上,點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,∴AC垂直平分BD,故答案為AC垂直平分BD;(2)四邊形FMAN是矩形.理由:如圖2,連接AF,∵Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),∴AF=CF=BF,又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,∴AD=DB,AE=CE,∴由(1)可得,DF⊥AB,EF⊥AC,又∵∠BAC=90°,∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°,∴四邊形AMFN是矩形;(3)BD′的平方為16+8或16﹣8.分兩種情況:①以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如圖所示:過(guò)D'作D'E⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于E,由旋轉(zhuǎn)可得,∠DAD'=60°,∴∠EAD'=30°,∵AB=2=AD',∴D'E=AD'=,AE=,∴BE=2+,∴Rt△BD'E中,BD'2=D'E2+BE2=()2+(2+)2=16+8②以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如圖所示:過(guò)B作BF⊥AD'于F,旋轉(zhuǎn)可得,∠DAD'=60°,∴∠BAD'=30°,∵AB=2=AD',∴BF=AB=,AF=,∴D'F=2﹣,∴Rt△BD'F中,BD'2=BF2+D'F2=()2+(2-)2=16﹣8綜上所述,BD′平方的長(zhǎng)度為16+8或16﹣8.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,主要考查了正方形的性質(zhì),矩形的判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形,依據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解.解題時(shí)注意:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.21、tanA=;綜上所述,當(dāng)β=45°時(shí),若△APQ是“中邊三角形”,的值為或.【解析】

(1)由AC和BD是“對(duì)應(yīng)邊”,可得AC=BD,設(shè)AC=2x,則CD=x,BD=2x,可得∴BC=x,可得tanA===(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),連接AC,交PQ于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,可得AC是QP的垂直平分線.可求得△AEF∽△CEP,=,分兩種情況:當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等,即AE=PQ時(shí),==,∴=;當(dāng)腰AP與它的中線QM相等時(shí),即AP=QM時(shí),QM=AQ,(3)作QN⊥AP于N,可得tan∠APQ===,tan∠APE===,∴=,【詳解】解:[理解]∵AC和BD是“對(duì)應(yīng)邊”,∴AC=BD,設(shè)AC=2x,則CD=x,BD=2x,∵∠C=90°,∴BC===x,∴tanA===;[探究]若β=45°,當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),△APQ是等腰直角三角形,不可能是“中邊三角形”,如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),連接AC,交PQ于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,∵PC=QC,∠ACB=∠ACD,∴AC是QP的垂直平分線,∴AP=AQ,∵∠CAB=∠ACP,∠AEF=∠CEP,∴△AEF∽△CEP,∴===,∵PE=CE,∴=,分兩種情況:當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等,即AE=PQ時(shí),==,∴=;當(dāng)腰AP與它的中線QM相等時(shí),即AP=QM時(shí),QM=AQ,如圖3,作QN⊥AP于N,∴MN=AN=PM=QM,∴QN=MN,∴ntan∠APQ===,∴ta∠APE===,∴=,綜上所述,當(dāng)β=45°時(shí),若△APQ是“中邊三角形”,的值為或.【點(diǎn)睛】本題是一道相似形綜合運(yùn)用的試題,考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,銳角三角形函數(shù)值的運(yùn)用

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