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2023中考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.如圖,A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在⊙O上,∠AOD=70°,AO∥DC,則∠B的度數(shù)為()A.40° B.45° C.50° D.55°2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計(jì)算方法.“牟合方蓋”是由兩個(gè)圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體.如圖所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型,它的俯視圖是()A. B. C. D.3.下列說法:①平分弦的直徑垂直于弦;②在n次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)m次,則事件A發(fā)生的頻率,就是事件A的概率;③各角相等的圓外切多邊形一定是正多邊形;④各角相等的圓內(nèi)接多邊形一定是正多邊形;⑤若一個(gè)事件可能發(fā)生的結(jié)果共有n種,則每一種結(jié)果發(fā)生的可能性是.其中正確的個(gè)數(shù)()A.1 B.2 C.3 D.44.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D、E,F(xiàn)分別是CD,AD上的點(diǎn),且CE=AF.如果∠AED=62°,那么∠DBF的度數(shù)為()A.62° B.38° C.28° D.26°5.甲、乙兩人參加射擊比賽,每人射擊五次,命中的環(huán)數(shù)如下表:次序第一次第二次第三次第四次第五次甲命中的環(huán)數(shù)(環(huán))67868乙命中的環(huán)數(shù)(環(huán))510767根據(jù)以上數(shù)據(jù),下列說法正確的是()A.甲的平均成績(jī)大于乙 B.甲、乙成績(jī)的中位數(shù)不同C.甲、乙成績(jī)的眾數(shù)相同 D.甲的成績(jī)更穩(wěn)定6.如圖:A、B、C、D四點(diǎn)在一條直線上,若AB=CD,下列各式表示線段AC錯(cuò)誤的是()A.AC=AD﹣CD B.AC=AB+BCC.AC=BD﹣AB D.AC=AD﹣AB7.據(jù)財(cái)政部網(wǎng)站消息,2018年中央財(cái)政困難群眾救濟(jì)補(bǔ)助預(yù)算指標(biāo)約為929億元,數(shù)據(jù)929億元科學(xué)記數(shù)法表示為()A.9.29×109 B.9.29×1010 C.92.9×1010 D.9.29×10118.若一組數(shù)據(jù)2,3,4,5,x的平均數(shù)與中位數(shù)相等,則實(shí)數(shù)x的值不可能是()A.6 B.3.5 C.2.5 D.19.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點(diǎn),過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)M,切點(diǎn)為N,則DM的長(zhǎng)為()A. B. C. D.10.把圖中的五角星圖案,繞著它的中心點(diǎn)O進(jìn)行旋轉(zhuǎn),若旋轉(zhuǎn)后與自身重合,則至少旋轉(zhuǎn)()A.36° B.45° C.72° D.90°二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.已知(x+y)2=25,(x﹣y)2=9,則x2+y2=_____.12.把拋物線y=2x2向右平移3個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,得到的新的拋物線的表達(dá)式是_____.13.已知代數(shù)式2x﹣y的值是,則代數(shù)式﹣6x+3y﹣1的值是_____.14.因式分解:3a2-6a+3=________.15.如圖,點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上,O點(diǎn)在∠D的內(nèi)部,四邊形OABC為平行四邊形,則∠OAD+∠OCD=▲°.16.如圖,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn).若AD=6,DE=5,則CD的長(zhǎng)等于.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)在“母親節(jié)”期間,某校部分團(tuán)員參加社會(huì)公益活動(dòng),準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷售,并將所得利潤(rùn)捐給慈善機(jī)構(gòu).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,這種許愿瓶一段時(shí)間內(nèi)的銷售量y(個(gè))于銷售單價(jià)x(元/個(gè))之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示.試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出函數(shù)關(guān)系式;若許愿瓶的進(jìn)價(jià)為6元/個(gè),按照上述市場(chǎng)調(diào)查銷售規(guī)律,求利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元/個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系式;若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元,要想獲得最大利潤(rùn),試求此時(shí)這種許愿瓶的銷售單價(jià),并求出最大利潤(rùn).18.(8分)問題探究(1)如圖①,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,則線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為;(2)如圖②,在△ADC中,AD=2,CD=4,∠ADC是一個(gè)不固定的角,以AC為邊向△ADC的另一側(cè)作等邊△ABC,連接BD,則BD的長(zhǎng)是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出其最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由;問題解決(3)如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,BC=4,若BD⊥CD,垂足為點(diǎn)D,則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出其最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.19.(8分)已知,拋物線L:y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).(1)求拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)和A點(diǎn)坐標(biāo).(2)如何平移拋物線L得到拋物線L1,使得平移后的拋物線L1的頂點(diǎn)與拋物線L的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?(3)將拋物線L平移,使其經(jīng)過點(diǎn)C得到拋物線L2,點(diǎn)P(m,n)(m>0)是拋物線L2上的一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使得△PAC為等腰直角三角形,若存在,請(qǐng)直接寫出拋物線L2的表達(dá)式,若不存在,請(qǐng)說明理由.20.(8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,9),與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,5).(Ⅰ)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上,若其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q′也在拋物線上,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);(Ⅲ)若點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上,使得以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且AC為其一邊,求點(diǎn)M,N的坐標(biāo).21.(8分)我省有關(guān)部門要求各中小學(xué)要把“陽光體育”寫入課表,為了響應(yīng)這一號(hào)召,某校圍繞著“你最喜歡的體育活動(dòng)項(xiàng)目是什么?(只寫一項(xiàng))”的問題,對(duì)在校學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,從而得到一組數(shù)據(jù),如圖1是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題:該校對(duì)多少名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查?本次抽樣調(diào)查中,最喜歡足球活動(dòng)的有多少人?占被調(diào)查人數(shù)的百分比是多少?若該校九年級(jí)共有400名學(xué)生,圖2是根據(jù)各年級(jí)學(xué)生人數(shù)占全校學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分比繪制的扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你估計(jì)全校學(xué)生中最喜歡籃球活動(dòng)的人數(shù)約為多少?22.(10分)某校園圖書館添置新書,用240元購(gòu)進(jìn)一種科普書,同時(shí)用200元購(gòu)進(jìn)一種文學(xué)書,由于科普書的單價(jià)比文學(xué)書的價(jià)格高出一半,因此,學(xué)校所購(gòu)文學(xué)書比科普書多4本,求:(1)這兩種書的單價(jià).(2)若兩種書籍共買56本,總費(fèi)用不超過696元,則最多買科普書多少本?23.(12分)如圖,以AB邊為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)P,C是⊙O上一點(diǎn),連結(jié)PC交AB于點(diǎn)E,且∠ACP=60°,PA=PD.試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),已知AB=4,求CE?CP的值.24.在△ABC中,,以邊AB上一點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圈與BC相切于點(diǎn)D,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F(xiàn)如圖①,連接AD,若,求∠B的大小;如圖②,若點(diǎn)F為的中點(diǎn),的半徑為2,求AB的長(zhǎng).
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、D【解析】試題分析:如圖,連接OC,∵AO∥DC,∴∠ODC=∠AOD=70°,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=70°,∴∠COD=40°,∴∠AOC=110°,∴∠B=∠AOC=55°.故選D.考點(diǎn):1、平行線的性質(zhì);2、圓周角定理;3等腰三角形的性質(zhì)2、A【解析】
根據(jù)俯視圖即從物體的上面觀察得得到的視圖,進(jìn)而得出答案.【詳解】該幾何體的俯視圖是:.故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何體的三視圖;掌握俯視圖是從幾何體上面看得到的平面圖形是解決本題的關(guān)鍵.3、A【解析】
根據(jù)垂徑定理、頻率估計(jì)概率、圓的內(nèi)接多邊形、外切多邊形的性質(zhì)與正多邊形的定義、概率的意義逐一判斷可得.【詳解】①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,故此結(jié)論錯(cuò)誤;②在n次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)m次,則事件A發(fā)生的頻率,試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)可近似地看做事件A的概率,故此結(jié)論錯(cuò)誤;③各角相等的圓外切多邊形是正多邊形,此結(jié)論正確;④各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形,如圓內(nèi)接矩形,各角相等,但不是正多邊形,故此結(jié)論錯(cuò)誤;⑤若一個(gè)事件可能發(fā)生的結(jié)果共有n種,再每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同是,每一種結(jié)果發(fā)生的可能性是.故此結(jié)論錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假,解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理、頻率估計(jì)概率、圓的內(nèi)接多邊形、外切多邊形的性質(zhì)與正多邊形的定義、概率的意義.4、C【解析】分析:主要考查:等腰三角形的三線合一,直角三角形的性質(zhì).注意:根據(jù)斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等可以證明△BDF≌△ADE.詳解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.又∵∠BAC=90°,∴BD=AD=CD.又∵CE=AF,∴DF=DE,∴Rt△BDF≌Rt△ADE(SAS),∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°.故選C.點(diǎn)睛:熟練運(yùn)用等腰直角三角形三線合一性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵.5、D【解析】
根據(jù)已知條件中的數(shù)據(jù)計(jì)算出甲、乙的方差,中位數(shù)和眾數(shù)后,再進(jìn)行比較即可.【詳解】把甲命中的環(huán)數(shù)按大小順序排列為:6,6,7,8,8,故中位數(shù)為7;把乙命中的環(huán)數(shù)按大小順序排列為:5,6,7,7,10,故中位數(shù)為7;∴甲、乙成績(jī)的中位數(shù)相同,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可知,甲的眾數(shù)是8環(huán),乙的眾數(shù)是7環(huán),∴甲、乙成績(jī)的眾數(shù)不同,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;甲命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為:x甲乙命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為:x乙∴甲的平均數(shù)等于乙的平均數(shù),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;甲的方差S甲2=15[(6?7)2+(7?7)2+(8?7)2+(6?7)2乙的方差=15[(5?7)2+(10?7)2+(7?7)2+(6?7)2+(7?7)2因?yàn)?.8>0.8,所以甲的穩(wěn)定性大,故選項(xiàng)D正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量,方差越大,表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大,即波動(dòng)越大,數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定;反之,方差越小,表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中,各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小,即波動(dòng)越小,數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.同時(shí)還考查了眾數(shù)的中位數(shù)的求法.6、C【解析】
根據(jù)線段上的等量關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】A、∵AD-CD=AC,∴此選項(xiàng)表示正確;B、∵AB+BC=AC,∴此選項(xiàng)表示正確;C、∵AB=CD,∴BD-AB=BD-CD,∴此選項(xiàng)表示不正確;D、∵AB=CD,∴AD-AB=AD-CD=AC,∴此選項(xiàng)表示正確.故答案選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了線段上兩點(diǎn)間的距離及線段的和、差的知識(shí),解題的關(guān)鍵是找出各線段間的關(guān)系.7、B【解析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×1n的形式,其中1≤|a|<1,n為整數(shù).確定n的值是易錯(cuò)點(diǎn),由于929億有11位,所以可以確定n=11-1=1.【詳解】解:929億=92900000000=9.29×11.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法,準(zhǔn)確確定a與n值是關(guān)鍵.8、C【解析】
因?yàn)橹形粩?shù)的值與大小排列順序有關(guān),而此題中x的大小位置未定,故應(yīng)該分類討論x所處的所有位置情況:從小到大(或從大到?。┡帕性谥虚g;結(jié)尾;開始的位置.【詳解】(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為2,3,4,5,x,
處于中間位置的數(shù)是4,
∴中位數(shù)是4,
平均數(shù)為(2+3+4+5+x)÷5,
∴4=(2+3+4+5+x)÷5,
解得x=6;符合排列順序;
(2)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后2,3,4,x,5,
中位數(shù)是4,
此時(shí)平均數(shù)是(2+3+4+5+x)÷5=4,
解得x=6,不符合排列順序;
(3)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后2,3,x,4,5,
中位數(shù)是x,
平均數(shù)(2+3+4+5+x)÷5=x,
解得x=3.5,符合排列順序;
(4)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后2,x,3,4,5,
中位數(shù)是3,
平均數(shù)(2+3+4+5+x)÷5=3,
解得x=1,不符合排列順序;
(5)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后x,2,3,4,5,
中位數(shù)是3,
平均數(shù)(2+3+4+5+x)÷5=3,
解得x=1,符合排列順序;
∴x的值為6、3.5或1.
故選C.【點(diǎn)睛】考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù),涉及到分類討論思想,較難,要明確中位數(shù)的值與大小排列順序有關(guān),一些學(xué)生往往對(duì)這個(gè)概念掌握不清楚,計(jì)算方法不明確而解答不完整.注意找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序,然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來確定中位數(shù).如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè),則正中間的數(shù)字即為所求;如果是偶數(shù)個(gè),則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).9、A【解析】試題解析:連接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,∵AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點(diǎn),∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∴四邊形AFOE,F(xiàn)BGO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3,∵DM是⊙O的切線,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5-2-MN=3-MN,在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+NM)2=(3-NM)2+42,∴NM=,∴DM=3+=,故選B.考點(diǎn):1.切線的性質(zhì);3.矩形的性質(zhì).10、C【解析】分析:五角星能被從中心發(fā)出的射線平分成相等的5部分,再由一個(gè)周角是360°即可求出最小的旋轉(zhuǎn)角度.詳解:五角星可以被中心發(fā)出的射線平分成5部分,那么最小的旋轉(zhuǎn)角度為:360°÷5=72°.故選C.點(diǎn)睛:本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念:把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后,與初始圖形重合,這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11、17【解析】
先利用完全平方公式展開,然后再求和.【詳解】根據(jù)(x+y)2=25,x2+y2+2xy=25;(x﹣y)2=9,x2+y2-2xy=9,所以x2+y2=17.【點(diǎn)睛】(1)完全平方公式:.(2)平方差公式:(a+b)(a-b)=.(3)常用等價(jià)變形:,,.12、y=1(x﹣3)1﹣1.【解析】
拋物線的平移,實(shí)際上就是頂點(diǎn)的平移,先求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)平移規(guī)律,推出新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)頂點(diǎn)式可求新拋物線的解析式.【詳解】∵y=1x1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),∴把拋物線右平移3個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位,得新拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,﹣1),∵平移不改變拋物線的二次項(xiàng)系數(shù),∴平移后的拋物線的解析式是y=1(x﹣3)1﹣1.故答案為y=1(x﹣3)1﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移,其規(guī)律是是:將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)1+k
(a,b,c為常數(shù),a≠0),確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移,負(fù)左移;k值正上移,負(fù)下移”.13、【解析】
由題意可知:2x-y=,然后等式兩邊同時(shí)乘以-3得到-6x+3y=-,然后代入計(jì)算即可.【詳解】∵2x-y=,∴-6x+3y=-.∴原式=--1=-.故答案為-.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是求代數(shù)式的值,利用等式的性質(zhì)求得-6x+3y=-是解題的關(guān)鍵.14、3(a-1)2【解析】
先提公因式,再套用完全平方公式.【詳解】解:3a2-6a+3=3(a2-2a+1)=3(a-1)2.【點(diǎn)睛】考點(diǎn):提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.15、1.【解析】試題分析:∵四邊形OABC為平行四邊形,∴∠AOC=∠B,∠OAB=∠OCB,∠OAB+∠B=180°.∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形,∴∠D+∠B=180°.又∠D=∠AOC,∴3∠D=180°,解得∠D=1°.∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=1°.∴∠OAD+∠OCD=31°-(∠D+∠B+∠OAB+∠OCB)=31°-(1°+120°+1°+1°)=1°.故答案為1°.考點(diǎn):①平行四邊形的性質(zhì);②圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).16、1.【解析】
由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=2;然后在直角△ACD中,利用勾股定理來求線段CD的長(zhǎng)度即可.【詳解】∵△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn),DE=5,∴DE=AC=5,∴AC=2.在直角△ACD中,∠ADC=90°,AD=6,AC=2,則根據(jù)勾股定理,得.故答案是:1.三、解答題(共8題,共72分)17、(1)y是x的一次函數(shù),y=-30x+1(2)w=-30x2+780x-31(3)以3元/個(gè)的價(jià)格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤(rùn)4元【解析】
(1)觀察可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù),設(shè)出一次函數(shù)解析式,把其中兩點(diǎn)代入即可求得該函數(shù)解析式,進(jìn)而把其余兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入看縱坐標(biāo)是否與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.(2)銷售利潤(rùn)=每個(gè)許愿瓶的利潤(rùn)×銷售量.(3)根據(jù)進(jìn)貨成本可得自變量的取值,結(jié)合二次函數(shù)的關(guān)系式即可求得相應(yīng)的最大利潤(rùn).【詳解】解:(1)y是x的一次函數(shù),設(shè)y=kx+b,∵圖象過點(diǎn)(10,300),(12,240),∴,解得.∴y=-30x+1.當(dāng)x=14時(shí),y=180;當(dāng)x=16時(shí),y=120,∴點(diǎn)(14,180),(16,120)均在函數(shù)y=-30x+1圖象上.∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-30x+1.(2)∵w=(x-6)(-30x+1)=-30x2+780x-31,∴w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=-30x2+780x-31.(3)由題意得:6(-30x+1)≤900,解得x≥3.w=-30x2+780x-31圖象對(duì)稱軸為:.∵a=-30<0,∴拋物線開口向下,當(dāng)x≥3時(shí),w隨x增大而減?。喈?dāng)x=3時(shí),w最大=4.∴以3元/個(gè)的價(jià)格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤(rùn)4元.18、(1)BE+DF=EF;(2)存在,BD的最大值為6;(3)存在,AC的最大值為2+2.【解析】
(1)作輔助線,首先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AEG,進(jìn)而得到EF=FG問題即可解決;(2)將△ABD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BCE,連接DE,由旋轉(zhuǎn)可得,CE=AD=2,BD=BE,∠DBE=60°,可得DE=BD,根據(jù)DE<DC+CE,則當(dāng)D、C、E三點(diǎn)共線時(shí),DE存在最大值,問題即可解決;(3)以BC為邊作等邊三角形BCE,過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△DBE是等邊三角形,則DE=AC,根據(jù)在等邊三角形BCE中,EF⊥BC,可求出BF,EF,以BC為直徑作⊙F,則點(diǎn)D在⊙F上,連接DF,可求出DF,則AC=DE≤DF+EF,代入數(shù)值即可解決問題.【詳解】(1)如圖①,延長(zhǎng)CD至G,使得DG=BE,∵正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠AFG=90°,∴△ABE≌△ADG,∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠DAG+∠DAF=45°,即∠GAF=∠EAF,又∵AF=AF,∴△AEF≌△AEG,∴EF=GF=DG+DF=BE+DF,故答案為:BE+DF=EF;(2)存在.在等邊三角形ABC中,AB=BC,∠ABC=60°,如圖②,將△ABD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BCE,連接DE.由旋轉(zhuǎn)可得,CE=AD=2,BD=BE,∠DBE=60°,∴△DBE是等邊三角形,∴DE=BD,∴在△DCE中,DE<DC+CE=4+2=6,∴當(dāng)D、C、E三點(diǎn)共線時(shí),DE存在最大值,且最大值為6,∴BD的最大值為6;(3)存在.如圖③,以BC為邊作等邊三角形BCE,過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,∵AB=BD,∠ABC=∠DBE,BC=BE,∴△ABC≌△DBE,∴DE=AC,∵在等邊三角形BCE中,EF⊥BC,∴BF=BC=2,∴EF=BF=×2=2,以BC為直徑作⊙F,則點(diǎn)D在⊙F上,連接DF,∴DF=BC=×4=2,∴AC=DE≤DF+EF=2+2,即AC的最大值為2+2.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練的掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).19、(1)頂點(diǎn)(-2,-1)A(-1,0);(2)y=(x-2)2+1;(3)y=x2-x+3,,y=x2-4x+3,.【解析】
(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C代入求出拋物線L即可求解.(2)將拋物線L化頂點(diǎn)式求出頂點(diǎn)再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出即可求解.(3)將使得△PAC為等腰直角三角形,作出所有點(diǎn)P的可能性,求出代入即可求解.【詳解】(1)將點(diǎn)B(-3,0),C(0,3)代入拋物線得:,解得,則拋物線.拋物線與x軸交于點(diǎn)A,,,A(-1,0),拋物線L化頂點(diǎn)式可得,由此可得頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)(-2,-1).(2)拋物線L化頂點(diǎn)式可得,由此可得頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)(-2,-1)拋物線L1的頂點(diǎn)與拋物線L的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),即將拋物線向右移4個(gè)單位,向上移2個(gè)單位.(3)使得△PAC為等腰直角三角形,作出所有點(diǎn)P的可能性.是等腰直角三角形,,,,,求得.,同理得,,,由題意知拋物線并將點(diǎn)代入得:.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線綜合題,討論出P點(diǎn)的所有可能性是解題關(guān)鍵.20、(1)y=﹣x2+4x+5,A(﹣1,0),B(5,0);(2)Q(,4);(3)M(1,8),N(2,13)或M′(3,8),N′(2,3).【解析】
(1)設(shè)頂點(diǎn)式,再代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求解解析式,再令y=0可求解A和B點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)Q(m,﹣m2+4m+5),則其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q′(﹣m,m2﹣4m﹣5),再將Q′坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求解m的值,同時(shí)注意題干條件“Q在第一象限的拋物線上”;(3)利用平移AC的思路,作MK⊥對(duì)稱軸x=2于K,使MK=OC,分M點(diǎn)在對(duì)稱軸左邊和右邊兩種情況分類討論即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x﹣2)2+9,把C(0,5)代入得到a=﹣1,∴y=﹣(x﹣2)2+9,即y=﹣x2+4x+5,令y=0,得到:x2﹣4x﹣5=0,解得x=﹣1或5,∴A(﹣1,0),B(5,0).(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q(m,﹣m2+4m+5),則Q′(﹣m,m2﹣4m﹣5).把點(diǎn)Q′坐標(biāo)代入y=﹣x2+4x+5,得到:m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5,∴m=或(舍棄),∴Q(,).(Ⅲ)如圖,作MK⊥對(duì)稱軸x=2于K.①當(dāng)MK=OA,NK=OC=5時(shí),四邊形ACNM是平行四邊形.∵此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1,∴y=8,∴M(1,8),N(2,13),②當(dāng)M′K=OA=1,KN′=OC=5時(shí),四邊形ACM′N′是平行四邊形,此時(shí)M′的橫坐標(biāo)為3,可得M′(3,8),N′(2,3).【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,第3問中理解通過平移AC可應(yīng)用“一組對(duì)邊平行且相等”得到平行四邊形.21、(1)該校對(duì)50名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查;(2)最喜歡足球活動(dòng)的人占被調(diào)查人數(shù)的20%;(3)全校學(xué)生中最喜歡籃球活動(dòng)的人數(shù)約為720人.【解析】
(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖,求個(gè)部分?jǐn)?shù)量的和即可;(2)根據(jù)部分除以總體求得百分比;(3)根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中各部分占總體的百分比之和為1,求出百分比即可求解.【詳解】(1)4+8+10+18+10=50(名)答:該校對(duì)50名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查.(2)最喜歡足球活動(dòng)的有10人,,∴最喜歡足球活動(dòng)的人占被調(diào)查人數(shù)的20%.(3)全校學(xué)生人數(shù):400÷(1﹣30%﹣24%﹣26%)=400÷20%=2000(人)則全校學(xué)生中最喜歡籃球活動(dòng)的人數(shù)約為2000×=720(人).【點(diǎn)睛】此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用,讀懂統(tǒng)計(jì)圖,從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚的表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù);扇形統(tǒng)計(jì)圖中各部分占總體的百分比之和為1,直接反應(yīng)部分占全體的百分比的大小.22、(1)文學(xué)書的單價(jià)為10元,則科普書的單價(jià)為15元;(2)27本【解析】
(1)根據(jù)等量關(guān)系:文學(xué)書數(shù)量﹣科普書數(shù)量=4本可以列出方程,解方程即可.(2)根據(jù)題意列出不等式解答即可.【詳解】(1)設(shè)文學(xué)書的單價(jià)為x元,則科普書的單價(jià)為1.5x元,根據(jù)題意得:=4,解得:x=10,經(jīng)檢驗(yàn):x=10是原方程的解,∴1.5x=15,答:文學(xué)書的單價(jià)為10元,則科普書的單價(jià)為15元.(2)設(shè)最多
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