課件-第三章流體動力學(xué)課件

第3章

流體動力學(xué)基礎(chǔ)

1．教學(xué)目的和任務(wù)1）教學(xué)目的（1）掌握研究流體運(yùn)動的方法，了解流體流動的基本概念；（2）掌握理想流體運(yùn)動的基本規(guī)律，為后續(xù)流動阻力計(jì)算等打下基礎(chǔ)。2）基本內(nèi)容（1）正確使用流體流動的連續(xù)性方程式；（2）弄清流體流動的基本規(guī)律——伯努利方程,掌握伯努利方程的物理意義、幾何意義、使用條件及其應(yīng)用；（3）動量方程的應(yīng)用。2．重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：連續(xù)性方程、伯努利方程和動量方程。難點(diǎn)：應(yīng)用三大方程聯(lián)立求解工程實(shí)際問題。3.1研究流體運(yùn)動的兩種方法3.2研究流體運(yùn)動時(shí)的一些基本概念3.3流體運(yùn)動的連續(xù)性方程3.4無粘性流體的運(yùn)動微分方程3.5無粘性流體運(yùn)動微分方程的伯努利積分3.6粘性流體運(yùn)動的微分方程及伯努利方程3.7粘性流體總流的伯努利方程3.8測量流速和流量的儀器3.9定常流動總流的動量方程及其應(yīng)用流體動力學(xué)：研究流體運(yùn)動規(guī)律及流體運(yùn)動與力的關(guān)系

研究方法：工程流體→理想流體→實(shí)驗(yàn)修正→實(shí)際流體第3章流體動力學(xué)基礎(chǔ)3.1研究流體運(yùn)動的方法一、流體運(yùn)動要素

研究流體的運(yùn)動規(guī)律，就是要確定流體運(yùn)動要素。概念：表征流體運(yùn)動狀態(tài)的物理量，又稱流體運(yùn)動參數(shù)如位移、速度、加速度、密度、壓強(qiáng)、動量、動能等1）每一運(yùn)動要素都隨空間與時(shí)間而變化；2）各要素之間存在著本質(zhì)聯(lián)系。**流場——充滿運(yùn)動的連續(xù)流體的空間。

在流場中，每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)均有確定的運(yùn)動要素。二、研究流體運(yùn)動的兩種方法（1）拉格朗日法—“跟蹤”法、質(zhì)點(diǎn)系法以流場中每一流體質(zhì)點(diǎn)為研究對象，研究每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中各運(yùn)動要素隨時(shí)間的變化規(guī)律。將所有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律綜合起來，得到整個(gè)流場的運(yùn)動規(guī)律。認(rèn)為流體的整體運(yùn)動是每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的總和。質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識：因在每一時(shí)刻，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都占有唯一確定的空間位置，故常以某時(shí)刻t＝t0各質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)（x0=a、y0=b、z0=c

）來區(qū)分，不同質(zhì)點(diǎn)具有不同的初始坐標(biāo)值（a、b、c

）。質(zhì)點(diǎn)的空間位置（x、y、z）是（a、b、c）和t的函數(shù)，不是獨(dú)立變量：式中a、b、c、t稱為拉格朗日變量（變數(shù)）。若t取定值而a、b、c取不同的值，表示在某一瞬時(shí)t所有質(zhì)點(diǎn)在該空間區(qū)域的分布情況；反之，則表示該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。在流體力學(xué)中，通常不用拉格朗日法，而用歐拉法。

（2）歐拉法—“站崗”法以流場中每一空間位置為研究對象，不跟隨個(gè)別質(zhì)點(diǎn)。研究流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過這些固定空間位置時(shí)，運(yùn)動要素隨時(shí)間的變化規(guī)律將每個(gè)空間點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律綜合起來，得到整個(gè)流場的運(yùn)動規(guī)律。空間位置的標(biāo)識：直接用位置坐標(biāo)（x、y、z）表示，不同x、y、z代表不同的空間位置。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動參數(shù)是時(shí)間t和空間位置（x、y、z）的函數(shù)，如式中，x、y、z、t稱為歐拉變量（變數(shù)）。

任意時(shí)刻t通過某空間位置（x、y、z）的質(zhì)點(diǎn)速度u上式中，若（x、y、z）為常數(shù)，t為變數(shù)，得到不同瞬時(shí)通過某一空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)速度的變化情況；反之，得到同一時(shí)刻通過不同空間點(diǎn)的流體速度的分布情況，即瞬時(shí)流速場。不同時(shí)刻，每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)應(yīng)有不同的空間位置，即對同一質(zhì)點(diǎn)來說在流場中的位置（x、y、z）不是獨(dú)立變量，與時(shí)間變量有關(guān)。故對任一流體質(zhì)點(diǎn)來說，其位置變量（x、y、z）是時(shí)間t的函數(shù)，即

歐拉變數(shù)（x、y、z）與拉格朗日變數(shù)（a、b、c）不同，后者a、b、c各自獨(dú)立，而前者x、y、z非獨(dú)立，是隨時(shí)間變化的中間變量，在歐拉法中真正獨(dú)立的變量只有時(shí)間變量t。加速度是速度的全導(dǎo)數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)1、跡線－－拉格朗日法指流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，表示流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動情況。如圖曲線AB就是質(zhì)點(diǎn)M的跡線。在跡線上取一微元長度dl，表示該質(zhì)點(diǎn)在dt時(shí)間內(nèi)的位移微元，則速度

在各軸的分量為3.2流體流動的一些基本概念

3.2.1跡線和流線跡線的微分方程表示質(zhì)點(diǎn)的軌跡

2、流線－－歐拉法指在流場中某一瞬間作出的一條空間曲線，使同一時(shí)刻在該曲線上各位置的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的流速方向與曲線在該位置的切線方向重合。流線僅表示某一瞬時(shí)，處在這一流線各位置上的各流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況流線不是某一流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。故流線上的微元長度dl不表示某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的位移。流線的重要特征：同一時(shí)刻的不同流線，相互不可能相交。設(shè)某一位置的質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)速度為，取該位置沿切線方向的微元長度，兩者方向一致，矢量積為零其投影形式流線微分方程若已知速度分布，便可求出具體流線形狀

流線與跡線區(qū)別：

流線是某一瞬時(shí)處在流線上的無數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況，時(shí)間是參變量；

跡線則是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的軌跡，時(shí)間是自變量?！纠}3.1】有一平面流場，求t＝0時(shí)，過(-1，-1)點(diǎn)的跡線和流線?！窘狻浚焊鶕?jù)跡線方程有這里t是自變量，則有以t＝0時(shí)，x＝y(tǒng)＝－1代入得c1＝c2＝0，消去t得跡線方程根據(jù)流線方程有式中t為參數(shù)，積分得以t＝0時(shí)，x＝y(tǒng)＝－1代入得c＝0，得流線方程3.2.2定常流動和非定常流動據(jù)“質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過流場中某一固定位置時(shí)，其運(yùn)動要素是否隨時(shí)間而變”1．定常流動流場中，流體質(zhì)點(diǎn)的一切運(yùn)動要素都不隨時(shí)間變化，只是坐標(biāo)的函數(shù)，這種流動為定常流動流體運(yùn)動與時(shí)間無關(guān)，如

p=p(x,y,z)u=u(x,y,z)ρ=ρ(x,y,z)

如圖容器中水位保持不變的出水孔口處的流體的穩(wěn)定泄流，是定常流動，其流速和壓強(qiáng)不隨時(shí)間變化，為形狀一定的射流。如離心式水泵，若其轉(zhuǎn)速一定，則吸水管中流體運(yùn)動是定常流動工程中大部分流體運(yùn)動均可近似看作定常流動2．非定常流動流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動要素是時(shí)間和坐標(biāo)的函數(shù)——非定常流動如

p=p(x,y,z,t)

u=u(x,y,z,t)

如圖容器中的水位不斷下降，經(jīng)孔口流出的液體速度和壓強(qiáng)等隨時(shí)間而變化，其孔口出流是非定常流動。定常流動中，流線形狀不隨時(shí)間改變，流線與跡線重合。

非定常流動中，流線的形狀隨時(shí)間改變，流線與跡線不重合

3.2.3流管、流束與總流1.流管微小流束流管在流場中畫一封閉曲線(不是流線)，它所包圍的面積很小，經(jīng)過該封閉曲線上的各點(diǎn)作流線，由這無數(shù)多流線所圍成的管狀表面，為流管。各時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)只能在流管內(nèi)部或流管外部流動，不能穿出或穿入流管，即垂直于流管表面方向沒有分速度。2.流束充滿在流管中的全部流體，稱流束。斷面為無窮小的流束——微小流束，認(rèn)為其斷面上各點(diǎn)運(yùn)動要素相等。當(dāng)斷面A→0時(shí)，微小流束變?yōu)榱骶€。

3.總流無數(shù)微小流束的總和稱總流。水管中水流的總體、風(fēng)管中氣流的總體均為總流。如圖按周界性質(zhì)：

①有壓流：總流四周全部被固體邊界限制。如自來水管、礦井排水管、液壓管道；

②無壓流：總流周界一部分為固體限制，一部分與氣體接觸，有自由液面。如河流、明渠；

③射流：總流四周不與固體接觸。如孔口、管嘴出流。3.2.4過流斷面、流速、流量1.過流斷面

與微小流束或總流中各條流線相垂直的橫斷面，稱此微小流束或總流的過流斷面(又稱過水?dāng)嗝?，過水?dāng)嗝嬗衅矫婊蚯?；如圖。當(dāng)流線平行時(shí)，過流斷面是平面，否則是曲面2.流量

流量：單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面的流體量分體積流量Q

和質(zhì)量流量M單位時(shí)間內(nèi)流過過水?dāng)嗝娴牧黧w體積，稱體積流量，簡稱流量，單位m3/s

或l/s。單位時(shí)間內(nèi)流過過水?dāng)嗝娴牧黧w質(zhì)量，稱質(zhì)量流量，單位kg/s。體積流量與質(zhì)量流量的關(guān)系為Q=M/ρ微元流束的體積流量dQ

：因微元流束的過流斷面與速度方向垂直，故等于過流斷面面積與流速的乘積

總流的體積流量Q：等于同一過流斷面上所有微小流束的流量和，即3.流速點(diǎn)速：流場中某一空間位置處的流體質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的位移，稱為該流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過此處時(shí)的速度，簡稱點(diǎn)速用u表示嚴(yán)格講，由于粘性，同一過流斷面上各點(diǎn)的流速不等。但微元流束的過流斷面很小，各點(diǎn)流速相差不大，一般用斷面中心處的流速作為同一過流斷面的流速。在總流的同一過流斷面上引入斷面平均流速（假想的均勻分布在過流斷面上的流速）均速：體積流量與過水?dāng)嗝婷娣e的比值，用v表示工程上常說的管道中流體的流速即是v。3.3流體流動的連續(xù)性方程流體連續(xù)地充滿所占據(jù)的空間（流場），當(dāng)流體流動時(shí)在其內(nèi)部不形成空隙，這是流體運(yùn)動的連續(xù)性條件。根據(jù)流體運(yùn)動時(shí)應(yīng)遵循質(zhì)量守恒定律，將連續(xù)性條件用數(shù)學(xué)形式表示出來，即連續(xù)性方程。連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表達(dá)式。3.3.1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程——連續(xù)性微分方程取以點(diǎn)為中心的微元六面體，邊長dx，dy，dz，分別平行于直角坐標(biāo)軸x，y，z。O’點(diǎn)在t時(shí)刻的流速分量,密度ρ

前表面中心點(diǎn)M質(zhì)點(diǎn)x方向的分速度為

后表面N點(diǎn)x方向的分速度為所取六面體無限小，認(rèn)為在各表面上的流速均勻分布，則

單位時(shí)間內(nèi)沿x軸方向流入六面體的質(zhì)量

流出六面體的質(zhì)量單位時(shí)間內(nèi)在x方向流出與流入六面體的質(zhì)量差，即凈流出量為同理，單位時(shí)間內(nèi)沿y，z方向凈流出量分別為

由連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，根據(jù)質(zhì)量守恒原理：單位時(shí)間內(nèi)流出與流入六面體的質(zhì)量差的總和應(yīng)等于六面體在單位時(shí)間內(nèi)所減少的質(zhì)量。則有整理得此式為連續(xù)性微分方程的一般形式，表達(dá)了任何可能存在的流體運(yùn)動所必須滿足的連續(xù)性條件，即質(zhì)量守恒條件。適用于定常流及非定常流可壓縮流體三維流動的歐拉連續(xù)性方程

對于定常流動的連續(xù)性方程為

對于均質(zhì)不可壓縮流體（ρ為常數(shù)），則不論定常流或非定常流均有方程說明通過一固定空間點(diǎn)流體的流速分量ux、uy、uz

沿其軸向的變化率是互相約束的，表明對于不可壓縮流體其體積是守恒的。不可壓縮流體二維定常流動的連續(xù)性方程為上述方程對于理想流體和實(shí)際流體均適用。不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性方程

定常流動流體的連續(xù)性方程

課前復(fù)習(xí)：（1）拉格朗日法—“跟蹤”法、質(zhì)點(diǎn)系法以流場中每一流體質(zhì)點(diǎn)為研究對象，研究每一流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中各運(yùn)動要素隨時(shí)間的變化規(guī)律。質(zhì)點(diǎn)空間位置（x、y、z）不是獨(dú)立變量，是（a、b、c）和t的函數(shù)：若t取定值而a、b、c取不同的值，表示在某一瞬時(shí)t各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在該空間區(qū)域的分布情況；反之，則表示該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。

（2）歐拉法—“站崗”法以流場中每一空間位置為研究對象，不跟隨個(gè)別質(zhì)點(diǎn)。研究流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過這些固定的空間位置時(shí)，運(yùn)動要素隨時(shí)間的變化規(guī)律流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動參數(shù)是時(shí)間t和空間位置（x、y、z）的函數(shù)

不同時(shí)刻，每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)應(yīng)有不同的空間位置，即對同一質(zhì)點(diǎn)來說位置（x、y、z）不是獨(dú)立變量，與時(shí)間變量有關(guān)：可見，歐拉變數(shù)（x、y、z）非獨(dú)立變量，拉格朗日變數(shù)（a、b、c）獨(dú)立變量。

跡線表示一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的軌跡時(shí)間t是自變量。流線是某一瞬時(shí)處在流線上的無數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況時(shí)間t是參變量，在積分時(shí)將其作為常數(shù)。定常流動和非定常流動流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過流場中某一固定位置時(shí)，其運(yùn)動要素是否隨時(shí)間而變

復(fù)習(xí)跡線和流線的區(qū)別1.流管由無數(shù)流線所圍成的管狀封閉表面，為流管。各時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)只能在流管內(nèi)部或流管外部流動。2.流束充滿在流管中的全部流體，為流束，即流管內(nèi)所有流線的總和；斷面無窮小的流束，為微小流束，認(rèn)為其斷面上各點(diǎn)運(yùn)動要素相等。當(dāng)斷面A→0時(shí)，微小流束變?yōu)榱骶€。3.總流無數(shù)微小流束的總和稱為總流，即封閉曲線取在流場周界上。過流斷面與微小流束或總流中各條流線相垂直的橫斷面，稱為此微小流束或總流的過流斷面(又稱過水?dāng)嗝?一般來說，過流斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動要素是不等的；但對于微元流束的同一過流斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動要素在同一時(shí)刻可認(rèn)為相等。課前復(fù)習(xí)課前復(fù)習(xí)

流量：單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面的流體量體積流量

質(zhì)量流量Q=M/ρ微元流束的體積流量dQ

：過流斷面面積與流速的乘積

總流的體積流量Q：同一過流斷面上所有微小流束的流量和流速：點(diǎn)速、均速均速：體積流量與過水?dāng)嗝婷娣e的比值上述方程對于理想流體和實(shí)際流體均適用。不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性方程，適于定常流和非定常流，體積守恒定常流動流體的連續(xù)性方程

可壓縮流體三維流動的歐拉連續(xù)性方程。表達(dá)任何可能存在的流體運(yùn)動所必須滿足的連續(xù)性條件，即質(zhì)量守恒條件課前復(fù)習(xí)【例題3.2】在三元不可壓縮流動中，已知求uz的表達(dá)式。

解：由連續(xù)性方程得積分得：3.3.2微元流束與總流的連續(xù)性方程

3.3.2.1微元流束的連續(xù)性方程如圖，總流中取一微元流束，過水?dāng)嗝娣謩e為dA1、dA2，相應(yīng)速度u1、u2，密度ρ1、ρ2?？蓧嚎s流體定常流動：微元流束形狀不隨時(shí)間改變，沒有流體穿入、穿出流束表面，只有斷面dA1、dA2上流入和流出dt時(shí)間內(nèi)，經(jīng)過dA1流入的流體質(zhì)量為經(jīng)過dA2流出的流體質(zhì)量為根據(jù)質(zhì)量守恒定律，流入質(zhì)量必須等于流出質(zhì)量，即不可壓縮流體ρ1=ρ2,有不可壓縮流體定常流動微元流束連續(xù)性方程。物理意義：同一時(shí)間間隔內(nèi)流過流束上任一過流斷面的流量均相等可壓縮流體定常流動微元流束連續(xù)性方程3.3.2.2總流的連續(xù)性方程將方程兩邊對應(yīng)過水?dāng)嗝鍭1及A2

積分，得平均密度ρ1m、ρ2m替代ρ1、ρ2，引入整理上式得對不可壓縮流體，ρ為常數(shù)，則

總流連續(xù)性方程，說明可壓縮流體做定常流動時(shí)，總流質(zhì)量流量保持不變不可壓縮流體定常流動總流的連續(xù)性方程物理意義：不可壓縮流體做定常流動時(shí)，總流的體積流量保持不變；各過水?dāng)嗝嫫骄魉倥c過水?dāng)嗝婷娣e成反比，即過水?dāng)嗝婷娣e↑處，流速↓；過水?dāng)嗝婷娣e↓處，流速↑。總流的連續(xù)性方程是在流量沿程不變的條件下導(dǎo)出的。若沿程有流量流入或流出，總流的連續(xù)性方程仍然適用，只是形式有所不同。

流量的匯入和流出【例題3.3】如教材圖3.10，一旋風(fēng)除塵器，入口處為矩形斷面，面積為A2=100mm×20mm，進(jìn)風(fēng)管為圓形斷面，直徑為100mm。求當(dāng)入口流速為v2=12m/s時(shí)，進(jìn)風(fēng)管中的流速。解：根據(jù)連續(xù)性方程可知故：3.4理想流體（無粘性）的運(yùn)動微分方程表面力只有垂直于受力面的流體動壓力（動壓強(qiáng)引起）流體動壓強(qiáng)只是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)X軸向上所受表面力為X軸向上所受質(zhì)量力為根據(jù)牛頓第二定律，X軸向上的表面力和質(zhì)量力之和應(yīng)等于六面體內(nèi)流體的質(zhì)量與x軸向上的加速度的乘積，即理想流體運(yùn)動微分方程，又稱歐拉運(yùn)動微分方程，表明理想流體所受外力與加速度間的關(guān)系，對可壓縮和不可壓縮性流體都適用歐拉平衡微分方程是它的特例位變加速度：流體質(zhì)點(diǎn)因空間位置變化（位移dx,dy,dz）而引起的速度分量的變化率時(shí)變加速度：流體質(zhì)點(diǎn)速度分量隨時(shí)間的變化率3.5理想流體運(yùn)動微分方程的伯努利積分

無粘性流體運(yùn)動微分方程在特定條件下的積分，伯努利積分

特定條件：（1）流體是均質(zhì)不可壓縮，即（2）質(zhì)量力有勢，則勢函數(shù)W=W（x、y、z）的全微分為（3）定常流動，即

此時(shí)跡線與流線重合，流線則符合條件

將歐拉運(yùn)動微分方程的三式分別乘以dx、dy、dz然后相加根據(jù)上述特定條件，得因ρ為常數(shù)，有沿同一流線積分

理想流體運(yùn)動微分方程的伯努利積分表明：對于不可壓縮理想流體，有勢質(zhì)量力作用作定常流動時(shí)，處于同一流線上的所有流體質(zhì)點(diǎn)，其積分函數(shù)值均相同。對于不同流線上的流體質(zhì)點(diǎn)來說，其積分函數(shù)值一般不等。如圖同一流線上任取兩點(diǎn)a、b：

質(zhì)量力只有重力的情況

代入有

對于同一流線上任意兩點(diǎn)，有

對單位重量流體不可壓縮無粘性流動的伯努利方程。微元流束適用，又稱不可壓縮無粘性流體微元流束伯努利方程。流體靜力學(xué)基本方程是其特例3.6粘性流體運(yùn)動的微分方程及伯努利方程

3.6.1粘性流體運(yùn)動的微分方程

實(shí)際流體，除受表面壓力、質(zhì)量力外，還受切應(yīng)力作用納維——斯托克斯方程（N-S方程）

與理想流體運(yùn)動微分方程相比，N-S方程增加粘性項(xiàng)，表示單位質(zhì)量粘性流體所受的切向應(yīng)力

單位質(zhì)量粘性流體所受切向應(yīng)力在各軸投影3.6.2粘性流體運(yùn)動的伯努利方程

積分條件：有勢質(zhì)量力、定常流動、不可壓縮N-S方程變?yōu)?/p>

上式各乘dx、dy、dz后相加，得第二項(xiàng)為切向應(yīng)力在流線微元長度dl上所作的功，為負(fù)功

wR為阻力功

沿流線積分，得表明在有勢質(zhì)量力作用下，粘性流體定常流動時(shí)，函數(shù)值沿流線不變。在同一流線上任取1、2兩點(diǎn)，有

若質(zhì)量力只有重力，取垂直向上為z軸，有粘性流體定常流動微分方程的伯努利積分

表示單位質(zhì)量粘性流體沿流線從點(diǎn)1到點(diǎn)2過程中內(nèi)摩擦力作功的增量。令

hl‘表示單位重量粘性流體沿流線從點(diǎn)1到點(diǎn)2的路程上所接受的摩阻功。

表明單位重量粘性流體沿流線運(yùn)動時(shí)，其有關(guān)值（與z、p、u有關(guān)的函數(shù)值）的總和沿流向逐漸減少?？赏茝V到微元流束，得到粘性流體微元流束伯努利方程。粘性流體運(yùn)動的伯努利方程3.6.3伯努利方程的能量意義和幾何意義一、物理意義（能量意義）

Z——單位重量流體流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)具有的位置勢能，比位能

——單位重量流體流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)具有的壓力勢能，比壓能

——單位重量流體流經(jīng)給定點(diǎn)具有的動能，比動能

——單位重量流體在流動過程中損耗的機(jī)械能，能量損失

——單位重量流體的總勢能，比勢能

——單位重量流體的總機(jī)械能，總比能3.6.3伯努利方程的能量意義和幾何意義一、物理意義（能量意義）

無粘性流體運(yùn)動的伯努利方程表明單位重量無粘性流體沿流線自位置1到位置2時(shí)，其位能、壓能、動能可能有變化，或相互轉(zhuǎn)化，但其總和（總比能）不變。伯努利方程是能量守恒與轉(zhuǎn)換原理在流體力學(xué)中的體現(xiàn)。

粘性流體運(yùn)動的伯努利方程表明單位重量粘性流體沿流線自位置1到位置2時(shí)，各項(xiàng)能量可能有變化，或相互轉(zhuǎn)化，而且其總機(jī)械能也有損失。二、幾何意義Z位置水頭；壓強(qiáng)水頭；測壓管水頭/靜壓水頭。

——速度水頭，速度頭，單位重量流體流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)，因其速度u向上自由噴射能夠達(dá)到的高度。

——總水頭。h'l

——損失水頭。速度頭可實(shí)驗(yàn)測出：畢托管(動能勢能)水在管中流動時(shí)，明顯測出AB測壓管、CD測速管兩管水面形成的高度差△h。由于水流以速度u流入CD管中到達(dá)一定高度后不再流動，形成壓強(qiáng)而出現(xiàn)壓強(qiáng)高度。不考慮任何阻力時(shí)不可壓縮流體定常流動微元流束連續(xù)性方程。物理意義：同一時(shí)間間隔內(nèi)流過流束上任一過流斷面的流量均相等可壓縮流體定常流動微元流束連續(xù)性方程總流連續(xù)性方程，說明可壓縮流體定常流動時(shí)，總流質(zhì)量流量保持不變不可壓縮流體定常流動總流連續(xù)性方程物理意義：總流體積流量保持不變；各過水?dāng)嗝嫫骄魉倥c過水?dāng)嗝婷娣e成反比。復(fù)習(xí)若沿程有流量流入或流出，總流的連續(xù)性方程仍然適用。

流量的匯入和流出理想流體運(yùn)動微分方程，歐拉運(yùn)動微分方程，表明理想流體所受外力與加速度間的關(guān)系，可壓縮和不可壓縮流體都適用，歐拉平衡微分方程是特例位變加速度：流體質(zhì)點(diǎn)因位移引起的速度分量的變化率時(shí)變加速度：流體質(zhì)點(diǎn)速度分量隨時(shí)間的變化率理想流體運(yùn)動微分方程的伯努利積分質(zhì)量力只有重力時(shí)不可壓縮無粘性流動伯努利方程。微元流束適用，又稱不可壓縮無粘性流體微元流束伯努利方程。流體靜力學(xué)基本方程是特例粘性流體運(yùn)動微分方程：納維—斯托克斯方程（N-S方程）

粘性流體運(yùn)動的伯努利方程可推廣到微元流束。復(fù)習(xí)伯努利方程的能量意義和幾何意義

*理想流體伯努利方程的幾何意義理想流體沿流線運(yùn)動時(shí)，其位置水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭可能有變化或三個(gè)水頭間相互轉(zhuǎn)化，但其各水頭之和總是保持不變，即理想流體各過水?dāng)嗝嫔系目偹^永遠(yuǎn)相等?？偹^線是一條水平線，測壓管水頭線/靜壓水頭線是一條隨過水?dāng)嗝娓淖兌鸱那€。曲線AB—位置水頭線曲線CD—測壓管水頭線或靜壓水頭線直線EF—理想流體總水頭線*粘性流體伯努利方程的幾何意義粘性流體在流動過程中，各水頭不但可能有變化，或相互轉(zhuǎn)化，而且總水頭也必然沿流向降低。實(shí)際流體的總水頭線沿流體的流動路程是一條下降的曲線（若微元流束的過流斷面相等，則為斜直線），不象理想流體水頭線是一條水平線?！纠}3.4】物體繞流如圖，上游無窮遠(yuǎn)處流速為u∞＝4.2m/s、壓強(qiáng)為p∞＝0的水流受到迎面物體的阻礙后，在物體表面上的頂沖點(diǎn)S處的流速減至零，壓強(qiáng)升高，求S處的壓強(qiáng)。（S點(diǎn)為滯流點(diǎn)或駐點(diǎn)）解：忽略粘性，根據(jù)通過S點(diǎn)的流線上伯努利方程，有3.7實(shí)際流體總流的伯努利方程

3.7.1急變流和緩變流急變流——流線曲率半徑r很小、流線間夾角β很大的流動。離心慣性力；內(nèi)摩擦力在垂直于流線的過流斷面上有分量其過流斷面上有多種成因復(fù)雜的力，不宜在此過流斷面列伯努利方程緩變流——流線曲率半徑r很大、流線間夾角β很小的接近于平行直線的流動。忽略離心慣性力；內(nèi)摩擦力在垂直于流線的過流斷面上幾乎沒有分量圖急變流與緩變流3.7實(shí)際流體總流的伯努利方程

3.7.1急變流和緩變流急變流——不宜在此過流斷面列伯努利方程緩變流過流斷面是平面，與流速方向垂直，其上速度分量為零過流斷面上壓強(qiáng)分布符合重力場中流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律同一過流斷面的任一點(diǎn)的壓強(qiáng)與位置間的關(guān)系：圖急變流與緩變流同一過流斷面C值相同即同一過流斷面上測壓管水頭高度相同；但不同過流斷面測壓管水頭高度可能不同伯努利方程的過流斷面取在緩變流段中

3.7.2動量校正系數(shù)和動能校正系數(shù)v——均速；u——點(diǎn)速用v表示的流量Qv和用u表示的流量Qu相等:用v表示的流體動量Mv和用u表示的流體動量Mu不等:因n個(gè)數(shù)值平方的和總大于其算術(shù)平均值平方的n倍α0動量校正系數(shù)，直管(渠)的高速水流α0=1.02~1.05;工程計(jì)算中α0≈13.7.2動量校正系數(shù)和動能校正系數(shù)用v表示的流體動能Ev和用u表示的流體動能Eu不等:

α動能校正系數(shù)，實(shí)際流體α

=1.05~1.10;工程中α≈1思路：實(shí)際流體微小流束伯努利方程→總流緩變流斷面→實(shí)際流體總流伯努利方程設(shè)不可壓縮實(shí)際流體定常流動，取一微元流束，伯努利方程單位時(shí)間內(nèi)流過微小流束的流體重量γdQ

，其能量關(guān)系各項(xiàng)沿相應(yīng)過流斷面對流量積分，得總流能量方程3.7.3總流的伯努利方程將上式分解三部分，第一部分等式兩端的前兩項(xiàng)，有過流斷面取在緩變流段中，＝常數(shù)，則第二部分等式中的第三項(xiàng)，第三部分式中最后一項(xiàng)，表示流體質(zhì)點(diǎn)從過流斷面1-1到2-2時(shí)機(jī)械能損失之和。用hl表示單位重量流體的平均能量損失三部分結(jié)果代入，除以γQ，即單位重量流體總流的能量表達(dá)式表示單位重量實(shí)際流體作定常流動時(shí)能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系。注1：使用伯努利方程時(shí)的注意事項(xiàng)：A.方程中z1、z2的基準(zhǔn)面可任選，但必須選擇同一基準(zhǔn)面，一般使z>0;b.方程中p1、p2

，即可用絕對壓強(qiáng)，也可用相對壓強(qiáng)，但等式兩邊的標(biāo)準(zhǔn)必須一致；c.當(dāng)hl=0時(shí)，變?yōu)槔硐肓黧w總流伯努利方程，即不可壓縮實(shí)際流體重力場中定常流動時(shí)總流伯努利方程理想流體總流的伯努利方程注2：總流伯努利方程的限制條件：a.流體為不可壓縮的實(shí)際流體；b.流體的運(yùn)動為定常流動；c.流體所受質(zhì)量力只有重力；d.所選取的兩過水?dāng)嗝姹仨毺幵诰徸兞鲄^(qū)域，但兩斷面間不必是緩變流段，且過流斷面上所取的點(diǎn)不要求在同一流線上;

因在緩變流過水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)存在＝常數(shù)，列伯努利方程時(shí)，可在選定的兩個(gè)過流斷面上任取空間點(diǎn)位置e.總流的流量沿程不變，即所取兩過流斷面間沒有流量的匯入或流出；g.除hl外，總流沒有能量的輸入或輸出。3.7.4其他幾種形式的伯努利方程1、氣流的伯努利方程氣體流動時(shí)，重度γ是個(gè)變量,若不考慮內(nèi)能的影響2、有能量輸入輸出的伯努利方程在兩過流斷面間有泵、風(fēng)機(jī)或水輪機(jī)等流體機(jī)械，有能量的輸入或輸出時(shí)，此部分能量用±E表示泵或風(fēng)機(jī)：對流體作功，輸入能量，E前正號水輪機(jī)：流體對機(jī)械作功，輸出能量，E前負(fù)號礦井通風(fēng)屬于該情況。γ變化不大，可直接使用原式3、有流量分流或匯流的伯努利方程在兩過流斷面間有流量的匯入在兩過流斷面間有流量的分出連續(xù)性方程分別為匯流情況：分流情況：3.7.5伯努利方程的應(yīng)用【例3.6】某污染處理廠從一高位水池引出一條管路AB，如圖。已知：流量Q＝0.04m3/s；管路直徑D＝0.3m；安裝在B點(diǎn)的壓力表讀數(shù)為1工程大氣壓，高度H＝20m，求管路AB段的水頭損失。解：取水平基準(zhǔn)面為O-O，過流斷面1-1、2-2如圖所示，列兩斷面間的伯努利方程z1＝H＝20m，z2＝0，方程兩端使用相對壓強(qiáng)，有

【例題】如圖為測量風(fēng)機(jī)流量的常用集流器裝置的示意圖，集流器入口為圓弧或圓錐形，直管內(nèi)徑D＝0.3m，氣體重度γa＝12.6N/m3，在距入口直管段D/2處（過水?dāng)嗝?－2位置）安裝靜壓測壓管，測得Δh＝0.25m。試計(jì)算風(fēng)機(jī)的風(fēng)量Q。解：取O-O為水平基準(zhǔn)面在入口前方稍遠(yuǎn)處取過水?dāng)嗝?-1，由于過水?dāng)嗝?-1遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于集流器斷面，近似取v1＝0；過水?dāng)嗝?-1上的壓強(qiáng)p1＝pa過水?dāng)嗝?-2的流速為v2，壓強(qiáng)不計(jì)能量損失，看作理想流體，在1-1和2-2斷面列總流伯努利方程

【例題3.8】如圖，為水泵管路系統(tǒng)。已知吸水管和排水管直徑D均為200mm，管中流量Q＝0.06m3/s，排水池與吸水池高差H＝25m，設(shè)管路A-B-C的水頭損失為5m，求水泵向系統(tǒng)輸入的能量E。解：取吸水池水面為水平基準(zhǔn)面O-O及過水?dāng)嗝?-1，排水池水面為過流斷面2-2，列兩斷面間的伯努利方程工程中E稱為水泵的揚(yáng)程，用來提高水位和克服管路中阻力損失?！纠}】如圖，用一根直徑d＝200mm的管道從水箱中引水，若水箱中水位保持恒定，所需流量50l/s，水流的總水頭損失為3.5m。試求水箱中液面與管道出口斷面中心的高差H。解：3.8測量流速與流量的儀表

3.8.1畢托管畢托管是將流體動能轉(zhuǎn)化為壓能、通過測壓計(jì)測定流速的儀器優(yōu)點(diǎn)：可靠度高、成本低、耐用性好、使用方便。如右圖，沿一水平微元流束或流線取非常近的兩點(diǎn)1、2裝兩測壓管，對兩點(diǎn)列伯努利方程：流經(jīng)兩點(diǎn)的總水頭相等。若在2點(diǎn)處安裝一90o的彎管，右下圖，彎頭正對水流，待彎管內(nèi)流體上升的液柱穩(wěn)定后，2點(diǎn)處流體停止運(yùn)動，速度為0，為駐點(diǎn)。駐點(diǎn)處的壓強(qiáng)p2*為液體在彎管內(nèi)上升的高度h測壓管測速管駐點(diǎn)上式只表明理想情況，若考慮實(shí)際流體粘性、能量轉(zhuǎn)換損失、畢托管對流體運(yùn)動的干擾、彎管的加工精度等影響，則對實(shí)際流速進(jìn)行修正c為畢托管的流速系數(shù)，一般c＝0.97～0.99；若畢托管制作精密，頭部、尾柄對流動擾動不大，近似取1。畢托管常與差壓計(jì)組合，用以測量水管、風(fēng)管、渠道和礦井巷道中任一點(diǎn)的流速?！纠}3.5】如圖，帶水銀壓差計(jì)的畢托管測管軸心流速，D=150mm，管中水流均速v為管軸處流速u的0.84倍。求水管中的流量。解：取管軸水平面為基準(zhǔn)面O-O，過水?dāng)嗝?-1、2-2經(jīng)過1、2兩點(diǎn)且垂直于流向，列出1、2兩點(diǎn)間的伯努利方程3.8.2文丘里流量計(jì)測量管路中流量，如圖,由漸縮管、喉管和漸擴(kuò)管三部分組成。漸縮管斷面急速變小，漸擴(kuò)管斷面漸大到主管斷面，斷面最小段為喉管。主管和喉管上各裝一測壓管，由兩處壓強(qiáng)差求流量。設(shè)理想流體定常流動，流量計(jì)傾斜放置（也可水平），暫不考慮能量損失k為儀器常數(shù)，固定尺寸流量計(jì)k為定值實(shí)際流量

理想情況流量

μ流量計(jì)流量系數(shù)，值與管子材料、尺寸、加工精度、安裝質(zhì)量、流體的粘性及流速等有關(guān)，只能通過實(shí)驗(yàn)確定。一般，μ約為0.95～0.98。為測得的流量值更接近實(shí)際，使用時(shí)應(yīng)注意：1）喉管中壓強(qiáng)不能過低，否則會產(chǎn)生汽化現(xiàn)象，破壞流體連續(xù)性，無法正常工作；2）為保證流體定常流動，流量計(jì)前15倍管徑D長度內(nèi)，不安裝閥門、彎管、或其它局部裝置，否則影響μ值；3）測量前排掉測壓管內(nèi)氣泡。還有孔板流量計(jì)和噴嘴流量計(jì)，都屬于節(jié)流式流量計(jì)?！纠}3.9】用文丘里流量計(jì)測流量，已知管徑D＝100mm，d＝50mm，測壓管高度，流量系數(shù)μ＝0.98。求管路中的流量Q。解：兩測壓管高差流體動量方程是動量守恒定律在流體運(yùn)動中的具體表達(dá)式，反映了流體動量變化與作用力間的關(guān)系。（1）流體作用于彎管上的力（2）射流作用在平板上的沖擊力（3）射流的反推力3.9定常流動總流的動量方程及其應(yīng)用

3.9.1定常流動總流的動量方程

動量定律：物體運(yùn)動過程中，動量對時(shí)間t的變化率，等于作用在物體上全部外力的矢量和

應(yīng)用到流體定常流動中：在彎管總流中任取一微元流束段1-2，經(jīng)dt時(shí)間后，流束段1-2將沿流線運(yùn)動到1‘-2’段位置，流束段的動量發(fā)生變化MM將其推廣到總流根據(jù)動量校正系數(shù)的概念，引入均速不可壓縮流體定常流動總流的動量方程，通常用來確定運(yùn)動流體與固體壁面間的相互作用力物理意義外力矢量和等于單位時(shí)間內(nèi)流出與流入的動量差MM3.9.2動量方程的應(yīng)用

3.9.2.1流體對管壁的作用力圖a所示漸縮彎管：取控制體：取斷面1-1、2-2間流體分析受力：流體重力G、彎管對流體作用力R，過流斷面上外界流體對控制體壓力p1A1、p2A2列方程：取圖中坐標(biāo)系，列x軸、z軸方向動量方程求分力：求合力：

合力大?。?/p>

合力方向：zz對彎管作用力F與R是一對作用力和反作用力3.9.2.2射流在平板的沖擊力流體從管嘴噴射出，形成射流。如圖，水平射流射向一個(gè)與之成θ角的固定光滑平板

取控制體：取射流為控制體分析受力：射流四周及轉(zhuǎn)向后流體表面受大氣壓力，若忽略空氣阻力、板面阻力和重力，則作用在流體上的力只有平板對射流的阻力R，它與射流對平面的沖擊力構(gòu)成一對作用力和反作用力列方程：取如圖坐標(biāo)系，列動量方程求分力：求合力：射流對固定平板的沖擊力F，大小與R相等，方向相反。xy若θ＝90o，即射流沿平板法線方向射去時(shí)，射流對平板的沖擊力為：若平板不固定，沿射流方向以速度u運(yùn)動，則射流對移動平板的沖擊力為xy煙花、火箭、噴氣式飛機(jī)、噴水船等都是借助這種反推力而工作。3.9.2.3射流的反推力裝有液體的容器，側(cè)壁開一小孔，流體從小孔流出形成射流設(shè)流速很小，很短時(shí)間內(nèi)可看作定常流動，則射流速度流體沿水平方向（x軸）的動量對時(shí)間變化率為

該量為容器對流體作用力在x軸的投影射流給容器的反推力，大小與其相等方向相反容器在Fx作用下朝射流的反方向運(yùn)動－－射流的反推力h為容器液面與孔口高差【例題3.10】在直徑為D＝100mm的水平管路末端，接上一個(gè)出口直徑為d＝50mm的噴嘴，如圖示，已知管中流量為Q＝1m/min求水流沿x軸作用于噴嘴的力。解：由連續(xù)性方程可知取管軸線為水平基準(zhǔn)面O-O，列伯努利方程由于z1＝z2，p2＝0，故設(shè)噴嘴作用于流體上的力沿x軸的分力為Fx，列射流動量方程水流沿x軸作用于噴嘴的力的方向向右。

用動量方程求解流體對固體邊界的作用力時(shí)，以下步驟可供參考：1.分析流體運(yùn)動，找出過流斷面，取分離體。建立坐標(biāo)，規(guī)定正方向。2.分析作用在分離體上所有外力，設(shè)定固體邊界對流體作用力R的方向。3.建立動量方程。若動量方程中的未知數(shù)多于一個(gè)，則應(yīng)聯(lián)合能量方程式或（和）連續(xù)性方程，求解邊界對流體的作用力R。4.根據(jù)作用力與反作用力大小相等、方向相反的原則，確定流體對固體邊界的作用力。復(fù)習(xí)：（1）拉格朗日法—“跟蹤”法、質(zhì)點(diǎn)系法以流場中每一流體質(zhì)點(diǎn)為研究對象，研究每一流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中各運(yùn)動要素隨時(shí)間的變化規(guī)律。質(zhì)點(diǎn)空間位置（x、y、z）不是獨(dú)立變量，是（a、b、c）和t的函數(shù)：

（2）歐拉法—“站崗”法以流場中每一空間位置為研究對象，不跟隨個(gè)別質(zhì)點(diǎn)。運(yùn)動參數(shù)是時(shí)間t和空間位置（x、y、z）的函數(shù)

對同一質(zhì)點(diǎn)來說位置（x、y、z）不是獨(dú)立變量，與時(shí)間變量有關(guān)：歐拉變數(shù)（x、y、z）非獨(dú)立變量，拉格朗日變數(shù)（a、b、c）獨(dú)立變量。

跡線表示一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的軌跡時(shí)間t是自變量，x、y、z是t的因變量。流線是某一瞬時(shí)處在流線上的無數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況時(shí)間t是參變量，在積分時(shí)將其作為常數(shù)。定常流動和非定常流動流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過流場中某一固定位置時(shí)，其運(yùn)動要素是否隨時(shí)間而變

跡線和流線的區(qū)別上述方程對于理想流體和實(shí)際流體均適用。不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性方程，適于定常流和非定常流，體積守恒定常流動流體的連續(xù)性方程

可壓縮流體三維流動歐拉連續(xù)性方程。表達(dá)任何流體運(yùn)動所必須滿足的連續(xù)性條件，質(zhì)量守恒條件復(fù)習(xí)實(shí)際流體總流的伯努利方程急變流：流線曲率半徑很小、流線間夾角很大的流動緩變流：流線曲率半徑很大、