質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)(理論力學(xué)課件)課件

第三篇?jiǎng)恿W(xué)§11.1動(dòng)力學(xué)的任務(wù)和基本概念

一、研究對(duì)象動(dòng)力學(xué)研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。在靜力學(xué)中，我們分析了作用與物體的力，并研究了物體在力系作用下的平衡問(wèn)題，但沒(méi)有研究物體在不平衡力系的作用下將如何運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，我們僅從幾何方面分析了物體的運(yùn)動(dòng)，而不涉及所作用的力。

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，我們僅從幾何方面分析了物體的運(yùn)動(dòng)，而不涉及所作用的力。動(dòng)力學(xué)則對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行全面的分析，研究作用于物體上的力與物體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，建立物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律。（研究運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體。）二、動(dòng)力學(xué)在工程中的地位

動(dòng)力學(xué)的形成與發(fā)展是與生產(chǎn)的發(fā)展密切聯(lián)系的。特別是在現(xiàn)代工業(yè)和科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，對(duì)動(dòng)力學(xué)提出了更加復(fù)雜的課題。1、動(dòng)力學(xué)是解決工程實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具；2、動(dòng)力學(xué)是推動(dòng)工程技術(shù)向前發(fā)展的重要基礎(chǔ)。舉例：①機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性分析、運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力分析等需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。②在土木工程中對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。如高層結(jié)構(gòu)受風(fēng)載及地震的影響；又如廠房?jī)?nèi)有汽錘、吊車等，吊車剎車時(shí)引起吊車梁及柱的振動(dòng)。舉例：③在機(jī)械工程中對(duì)高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的動(dòng)力分析需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。比如高速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子，若重心不在轉(zhuǎn)軸上（由誤差引起），轉(zhuǎn)速很高時(shí)將引起軸承破壞（此問(wèn)題在制造和安裝中都不容易克服）。在動(dòng)力學(xué)有關(guān)章節(jié)將進(jìn)一步介紹。④在宇宙飛行及火箭推進(jìn)技術(shù)研制中都需要用到動(dòng)力學(xué)的基本理論。第二宇宙速度就是理論指導(dǎo)實(shí)踐的最典型的例子。在上世紀(jì)50年代，第二宇宙速度早已在理論上得到承認(rèn)，但也有人（指理論力學(xué)專家）不相信。

1961年前蘇聯(lián)宇宙飛船發(fā)射成功，證明了這一理論，充分說(shuō)明了理論指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐的重要意義。42年后，中國(guó)的神州五號(hào)飛船也飛上了太空。研究動(dòng)力學(xué)的方法主要有兩種：1、矢量動(dòng)力學(xué)(vectorialdynamics)

主要以矢量形式建立一般質(zhì)點(diǎn)系的受力和運(yùn)動(dòng)量基本概念，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和由它作為推演依據(jù)得出的動(dòng)力學(xué)規(guī)律所組成部分稱為矢量動(dòng)力學(xué)。

牛頓運(yùn)動(dòng)定律和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍定理是矢量動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容。三、動(dòng)力學(xué)的研究方法2、分析動(dòng)力學(xué)（analyticaldynamics）

一般以標(biāo)量形式的功和能等作為一般質(zhì)點(diǎn)系的基本概念，以力學(xué)的變分原理為基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法得出動(dòng)力學(xué)方程稱為分析動(dòng)力學(xué)三、動(dòng)力學(xué)的研究方法質(zhì)點(diǎn)系普遍定理牛頓運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）達(dá)朗貝爾-拉格朗日原理（動(dòng)力學(xué)普遍方程）拉格朗日方程受約束質(zhì)點(diǎn)（系）自由質(zhì)點(diǎn)慣性系非慣性系質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系四、質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系（動(dòng)力學(xué)中物體的抽象模型為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系）1、質(zhì)點(diǎn)：大小和形狀可以忽略不計(jì)且具有質(zhì)量的物體稱為質(zhì)點(diǎn)。

例如，在研究人造地球衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星的形狀和大小對(duì)所研究的問(wèn)題沒(méi)有什麼影響，可以忽略不計(jì)，因此，可將衛(wèi)星抽象為一個(gè)質(zhì)量集中在重心的質(zhì)點(diǎn)。

剛體作平動(dòng)時(shí)，因剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同，也可以不考慮該剛體的形狀和大小，而將它抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)研究。2、質(zhì)點(diǎn)系：如果物體的形狀和大小在所研究的問(wèn)題中不可忽略，則物體應(yīng)抽象為質(zhì)點(diǎn)系。剛體是質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情況。其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變，也稱為不變的質(zhì)點(diǎn)系。自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不受約束的限制。

非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制。質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。所謂質(zhì)點(diǎn)系是由幾個(gè)或無(wú)限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。常見(jiàn)的固體、流體、由幾個(gè)物體組成的機(jī)構(gòu)，以及太陽(yáng)系等等都是質(zhì)點(diǎn)系。五、動(dòng)力學(xué)的基本定律

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓（公元1642——1727年）在總結(jié)前人、特別是伽利略研究成果的基礎(chǔ)上提出來(lái)的稱為牛頓三定律。第一定律（慣性定律）受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

不受力作用的質(zhì)點(diǎn)（包括受平衡力系作用的質(zhì)點(diǎn)），不是處于靜止?fàn)顟B(tài)，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不變，這種性質(zhì)稱為慣性。第一定律闡述了物體作慣性運(yùn)動(dòng)的條件，故又稱為慣性定律。第二定律:力與加速度之間的關(guān)系的定律1、定律

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同，即

(11-1)式(11-1)是第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到多個(gè)力作用時(shí)，式(11-1)中的F應(yīng)為此匯交力系的合力。式(11-1)表明，質(zhì)點(diǎn)在力的作用下必有確定的加速度，使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。

第二定律:力與加速度之間的關(guān)系的定律2、n個(gè)力同時(shí)作用時(shí)(11-1)

質(zhì)量大的質(zhì)點(diǎn)加速度小，

質(zhì)量小的質(zhì)點(diǎn)加速度大。這說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。對(duì)于相同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，作用力大，其加速度也大；如用大小相等的力作用于質(zhì)量不同的質(zhì)點(diǎn)上，則(11-1)3、第二定律與第一定律的聯(lián)系(11-1)當(dāng)F=0時(shí)，a=0，則mv=ct一般質(zhì)量m為常量，故v=ct（大小、方向都不變）即當(dāng)F=0時(shí)，物體作勻速直線（慣性運(yùn)動(dòng)），第二定律變成了第一定律，顯然第二定律也只能適合于慣性參考系。在地球表面，任何物體都受到重力G的作用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用g表示。根據(jù)第二定律有G=mg

或m=G/g式中的G和g分別是物體所受的重力和重力加速度的大小，根據(jù)國(guó)際計(jì)量委員會(huì)規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，重力加速度的數(shù)值為9.80665m/s，一般取9.80m/s。實(shí)際在不同的地區(qū)，g的數(shù)值有些微小的差別。第三定律（作用與反作用定律）

兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。這一定理就是靜力學(xué)的公理四，它不僅適用于平衡的物體，而且也適用于任何運(yùn)動(dòng)的物體。

在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，這一定律仍然是分析兩個(gè)物體相互作用關(guān)系的依據(jù)。22上述三個(gè)定律適用的參考系稱為慣性參考系。今后，如無(wú)特別說(shuō)明，我們?nèi)∨c地球固連的坐標(biāo)系為慣性參考系；

以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)，稱為古典力學(xué)。在此范疇，質(zhì)量、空間和時(shí)間是“絕對(duì)”的，與運(yùn)動(dòng)沒(méi)有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時(shí)間和空間都與物體的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，只是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)量、時(shí)間和空間的影響是微不足道的。在國(guó)際單位制（SI）中，

長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間是基本單位，分別取為m(米）、kg（千克）和s（秒）；六、單位制力的單位是導(dǎo)出單位。質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)，獲得1m/s2的加速度時(shí)，作用于該質(zhì)點(diǎn)的力為1N（單位名稱：牛頓），即

1N=1kg×1m/s21kg質(zhì)量物體的重量為G=mg=1kg×9.8m/s2=9.8N或§11.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二定律，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度與作用力的關(guān)系。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到n個(gè)力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用時(shí)，式（11-1）應(yīng)寫(xiě)為（11-3）ma=∑F

式（11—3）是矢量形式的微分方程，在計(jì)算實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要用它的投影形式。1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影

設(shè)矢徑r在直角坐標(biāo)軸上的投影分別為x、y、z，力在軸上的投影分別為Fix、Fiy、Fiz，則式（10-3）在直角坐標(biāo)軸上的投影形式為

（11-4）2、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影

由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知，點(diǎn)的全加速度在切線與主法線構(gòu)成的密切面內(nèi)，點(diǎn)的加速度在副法線上的投影等于零，即式中r為軌跡的曲率半徑。

式中τ和n為軌跡切線和主法線的單位矢量。式中Fti、Fni、Fbi中分別是作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在切線、主法線和副法線上的投影。式（11-4）和（11-5）是兩種常用的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。于是，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上的投影式為：

（11-5）

應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可以求解下面兩類質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題:第一類：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問(wèn)題）解題步驟和要點(diǎn)：

①正確選擇研究對(duì)象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。

②正確進(jìn)行受力分析,畫(huà)出受力圖(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。

③正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。

④選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程（建立坐標(biāo)系）。

⑤求解未知量?！?1.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題29

第二類：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（積分問(wèn)題）解題步驟如下：①正確選擇研究對(duì)象。②正確進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，對(duì)變力建立力的表達(dá)式）。③正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。(除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件）。選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

例1、小球質(zhì)量為m，懸掛于長(zhǎng)為l的細(xì)繩上，繩重不計(jì)。小球在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)時(shí)，在最低處的速度為v；

擺到最高處時(shí)，繩與鉛垂線夾角為f，如圖所示，此時(shí)小球在最低與最高位置時(shí)繩的拉力。

解：小球作圓周運(yùn)動(dòng)，受有重力G=mg；繩的拉力T1。在最低處有法向加速度an

＝v2／l，

由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向的投影式，有

man

＝mv2／l＝T1－mgman

＝mv2／l＝T1－mg則繩的拉力：

T1＝mg＋mv2／l

＝m(g＋v2／l)a

解：小球作圓周運(yùn)動(dòng)，受有重力G=mg；繩的拉力T1。在最低處有法向加速度

an

＝v2／l，小球在最高處角時(shí)，速度為零，法向加速度為零，則運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向投影式為T2－mgcosf＝

man＝

0則繩的拉力

T2＝

mgcosf

例2

圖示半徑為R的偏心輪以勻角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)導(dǎo)板ABD沿鉛垂軌道作平動(dòng)。已知偏心距OC=e，開(kāi)始時(shí)OC沿水平線。若在導(dǎo)板頂部D處放有一質(zhì)量為M的物塊。試求：（1）導(dǎo)板對(duì)物體的最大反力及這時(shí)偏心C的位置；（2）欲使物塊不離開(kāi)導(dǎo)板，求角速度w的最大值。

輪勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，OC=e，開(kāi)始時(shí)OC沿水平線。板頂D處有一質(zhì)量為M的物塊。試求：（1）最大反力及偏心C的位置；（2）求角速度w的最大值。

解：先求問(wèn)題（1）。取物塊M為研究對(duì)象，視為一質(zhì)點(diǎn)。如果可以建立質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)微分方程，易求出導(dǎo)板對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的反力。可見(jiàn)這是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題。

在任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)M受力如圖。將x軸的原點(diǎn)取在固定點(diǎn)O上并取x軸鉛垂向上為正。由式（11－4）可得質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)微分方程為

由于物塊M放在導(dǎo)板上，導(dǎo)板作平動(dòng)，故質(zhì)點(diǎn)M的加速度a等于導(dǎo)板上E點(diǎn)（偏心輪與導(dǎo)板的接觸點(diǎn)）的加速度。a質(zhì)點(diǎn)的加速度

(2)由圖可知E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為(1)將式(2)代入式(1)，得反力(3)由式(3)可知，反力F包含兩部分：第一部分為質(zhì)點(diǎn)M處于靜止的反力，

稱為靜反力；第二部分是由于質(zhì)點(diǎn)M具有加速度而引起的反力，稱為附加動(dòng)反力（簡(jiǎn)稱動(dòng)反力）。反力(3)當(dāng)sinwt=－1時(shí)，即C點(diǎn)在最低位置時(shí)，反力F達(dá)到最大值Fmax，即反力(3)得求問(wèn)題（2）求角速度w的最大值。由式(3)又可知，當(dāng)sinwt=1時(shí)，即C點(diǎn)在最高位置，F(xiàn)達(dá)到最小值Fmin，即欲使物塊不離開(kāi)導(dǎo)板，必須

Fmin≥0,即(3)以上二例都屬于動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的步驟如下：

1、選定某質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象；

2、分析作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，包括主動(dòng)力和約束力；

3、分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的加速度；

4、根據(jù)未知力的情況，選擇恰當(dāng)?shù)耐队拜S，列出在該軸上的運(yùn)動(dòng)微分方程的投影形式；

5、求出未知的力。第一類問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力；

41（a)(b)解以木箱為研究對(duì)象，作受力分析如圖所示。

[例3]

如圖所示得擺動(dòng)輸送機(jī)，由曲柄帶動(dòng)貨架AB輸送木箱M，兩曲柄等長(zhǎng)，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，設(shè)在θ＝45°處由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，已知曲柄O1A的初角加速度。如啟動(dòng)瞬時(shí)木箱不產(chǎn)生滑動(dòng)，求木箱與貨架之間的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)是多少？42由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB桿作平面曲線運(yùn)動(dòng)。

設(shè)木箱與貨架無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，木箱的加速度應(yīng)與點(diǎn)A的加速度相同，由于啟動(dòng)瞬時(shí)貨架各點(diǎn)的速度為零，故建立圖示坐標(biāo)系，有根據(jù)靜滑動(dòng)摩擦力的性質(zhì)有：(b)（a)43解方程組：可得：

為保證木箱與貨架在啟動(dòng)瞬時(shí)不相對(duì)滑動(dòng)，所需最小的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為：（a)(b)O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，θ＝45°作業(yè)11—6,8

解：以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，物塊在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為|x|，彈簧力大小為

F=k|x|，指向O點(diǎn)，如圖。則此物塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為

例3

物塊在光滑水面并與彈簧相連，如圖所示。物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長(zhǎng)變形量為a時(shí)釋放物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?；蚱渲蠥、θ為任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)初始條件決定。由題意，取x＝a處的時(shí)間為t＝0，且此時(shí)有代入式（b），有令wn2＝k/m，上式化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式a＝Acosθ0＝－wnAsinθ微分方程的解可寫(xiě)為

x＝Acos(wnt＋θ)(b)a＝Acosθ0＝－wnAsinθ

可見(jiàn)此物塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)中心為O點(diǎn)，振幅為a，周期T＝2p/wn。

wn稱為圓頻率，由其標(biāo)準(zhǔn)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程（a）直接決定。由此解出

θ＝0,A＝a代入式（b），則此物塊的運(yùn)動(dòng)方程為

x＝a

coswnt48[例6]

l0mkv0

彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m,彈簧的剛度系數(shù)為k,物塊自平衡位置的初始速度為v0。求：物塊的運(yùn)動(dòng)方程49xmkxO

解：這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故為第二類動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

以彈簧在靜載mg作用下變形后的平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)