常微分方程習(xí)題二

常微分方程習(xí)題課2一存在唯一性定理定理1考慮初值問(wèn)題命題1

初值問(wèn)題(3.1)等價(jià)于積分方程構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列命題2命題4命題3命題5二、近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,這里1.解的延拓定理定理三、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理2.解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理?xiàng)l件:

I.

在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;II.是(1)滿足的解,定義區(qū)間為[a,b].結(jié)論:

對(duì)

,

使得當(dāng)時(shí),方程(1)過(guò)點(diǎn)的解在[a,b]上也有定義,且方程3.解對(duì)初值的連續(xù)性定理?xiàng)l件:

在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;方程結(jié)論:在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.,作為的函數(shù)4.解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理5.解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理6.解對(duì)初值可微性定理（4.1）四、n階線性微分方程（4.2）定理1：如果方程（4.1）存在惟一的解

上，滿足下列及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任一及任意的定義于區(qū)間（4.3）初始條件伏朗斯基行列式:由定義在區(qū)間上的k個(gè)k-1次可微函數(shù)所作成的行列式稱為這些函數(shù)的Wronskian行列式,通常記做定理3

如果函數(shù)組

在區(qū)間(a,b)上線性相關(guān),則在(a,b)上它們的Wronskian行列式恒等于零,即.定理4

若方程（4.2）的解

上線性無(wú)關(guān),則在該區(qū)間上任何點(diǎn)都不為零，即在區(qū)間定理6(通解結(jié)構(gòu)定理)若

線性無(wú)關(guān)的解,則方程(4.2)得通解可表示為是方程（4.2）的n個(gè)其中是任意常數(shù)，且通解（4.5）包括（4.5）方程（4.2）的所有解。定理7設(shè)為方程（4.2）的基本解組，而為方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解可表為(4.8)其中為任意常數(shù)，而且該通解包括了方程（4.1）的所有解。常數(shù)變易法求特解為求（4.1)的一個(gè)特解,將(4.8)中的常數(shù)看成關(guān)于t的函數(shù),此時(shí)(4.8)式變?yōu)槭欠匠蹋?.2）的n個(gè)線性設(shè)無(wú)關(guān)的解，因而(4.2)的通解為(4.9)(4.10)將(4.10)代入(4.1)得到一個(gè)所滿足的關(guān)系式.由上面方程組求得積分得

得（4.1）的通解定理8

如果方程（4.2）中所有系數(shù)都是實(shí)值函數(shù).而是該方程的復(fù)值解,則以及共軛復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部也都是方程（4.2）的解.定理9

如果方程有復(fù)值解都是實(shí)值函數(shù)，則U(t)和V(t)分別是方程其中和的解。

常系數(shù)齊次線性方程

其中為常數(shù)。（4.11）求方程（4.11）的通解的一般步驟：第二步計(jì)算方程相應(yīng)的解

第一步求方程的特征方程及特征根

a)對(duì)每一個(gè)單實(shí)根

有解b)對(duì)每一個(gè)m>1重實(shí)根方程有m個(gè)解方程有兩個(gè)如下形式的解：方程有2m個(gè)如下形式的解：

第三步根據(jù)第二步寫出基本解組和通解c)對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù)為1的共軛復(fù)根

d)對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù)m>1的共軛復(fù)根

歐拉方程

這里為常數(shù).解法一：令

則解法二：直接代入法以代入方程并約去因子得確定K的代數(shù)方程常系數(shù)非齊次線性方程

（4.24）比較系數(shù)法方程（4.24）有特解形如類型Ⅰ其中是實(shí)常數(shù).（4.25）其中k為特征方程的根的重?cái)?shù)，為待定常數(shù)。類型Ⅱ

其中設(shè)為常數(shù)，而是帶實(shí)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為m，而另一個(gè)的次數(shù)不超過(guò)m，則方程有特解形如(4.29)其中k為特征方程的根的重?cái)?shù)，而P(t),Q(t)為待定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不超過(guò)m的t的多項(xiàng)式。特殊情形：或方法：復(fù)數(shù)法。先用類型Ⅰ的方法求的特解，再由定理9得到所求方程的解——取實(shí)部或虛部。

解題步驟:第一步:第二步:求上面方程的通解即第三步:對(duì)上式求k次積分,即得原方程的通解五、可降階的一些方程類型

1、不顯含自變量x的方程

2不顯含自變量t的方程,

一般形式:因?yàn)?/p>

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解

2、不顯含自變量t的方程

一般形式:3.齊線性方程求解問(wèn)題歸結(jié)為尋求方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解。解法：已知方程的一個(gè)解，利用變換將方程降低一階。

一般地，已知方程的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解，可通過(guò)一系列同類型的變換，使方程降低k階，且新得到的n-k階方程也是齊次的。1.設(shè)是方程的解，且滿足在R上連續(xù)，試證明：存在常數(shù)C，使得證明：因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)解，故在R上有定義，且則所以線性相關(guān)。（見書124頁(yè)定理4.）即存在不全為零的數(shù)，使得因所以否則有可得即線性無(wú)關(guān)，矛盾。故2.在方程中，已知在R上連續(xù)，證明：該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切。證明：由已知條件知該方程滿足解的存在唯一