平面解析幾何初步知識小結(jié)

平面解析幾何初步知識小結(jié)知識體系網(wǎng)絡(luò)：本章知識體系網(wǎng)絡(luò)（1）1．要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的范圍0°≤α<180°，熟記斜率公式k=

，該公式與兩點順序無關(guān)．已知兩點坐標(biāo)(x1≠x2)，根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點的直線斜率，當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時，直線斜率不存在，此時直線傾斜角為90°.直線的傾斜角與斜率熱點一

2．在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時，要根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的增區(qū)間[0，)，當(dāng)α取值在此區(qū)間內(nèi)由0增大到

(≠)時，k由0增大到＋∞；當(dāng)α∈(，π)時，k也是關(guān)于α的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)α在此區(qū)間內(nèi)由(≠)增大到π(≠π)時，k由－∞增大到0(≠0)．當(dāng)然，解決此類題時，也可利用數(shù)形結(jié)合思想，借助圖形，直觀地作出判斷例1

已知直線l過點P(－1,2)且與以A(－2，－3)，B(3,0)為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍．【思路點撥】直線l繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察斜率變化．

當(dāng)直線l繞著點P由PA旋轉(zhuǎn)到與y軸平行的位置PC時，它的斜率變化范圍是[5，＋∞)；

當(dāng)直線l繞著點P由PC旋轉(zhuǎn)到PB的位置時，它的斜率的變化范圍是(－∞，－]．∴直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－]∪[5，＋∞)．法二：設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.∵A、B兩點在直線的兩側(cè)或其中一點的直線l上，∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤－.即直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－]∪[5，＋∞)．【點評】法一運用了數(shù)形結(jié)合思想．當(dāng)直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時，需根據(jù)正切函數(shù)y＝tanα的單調(diào)性求k的范圍，數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法．解題時，借助圖形及圖形性質(zhì)直觀判斷，明確解題思路，達(dá)到快捷解題的目的．法二則巧妙利用了不等式所表示的平面區(qū)域的性質(zhì)使問題得以解決．1．兩直線的位置關(guān)系在高考題中出現(xiàn)頻繁，且多在填空題中進行考查．在兩條直線的位置關(guān)系中，討論最多的還是平行與垂直，它們是兩條直線的特殊位置關(guān)系．另外，解題時認(rèn)真畫出圖形，有助于快速準(zhǔn)確地解決問題．直線的位置關(guān)系熱點二2．若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)．

直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0，l1與l2重合?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)．

注意：用直線方程的“系數(shù)關(guān)系”來判斷直線的位置關(guān)系，包含了其中所有可能的情況，避免了討論斜率是否存在的情況，在解決問題時比較方便，應(yīng)學(xué)會應(yīng)用．例2

求直線l1：2x＋y－4＝0關(guān)于直線l：3x＋4y－1＝0對稱的直線l2的方程．【思路點撥】由平面幾何知識可知，若l1、l2關(guān)于直線l對稱，它們必須滿足條件：若點A在直線l1上，那么點A關(guān)于l的對稱點必在l2上，反之亦成立．【解】法一：設(shè)點A(x，y)是直線l2上任意一點，它關(guān)于l的對稱點為A′(x0，y0)，∵點A′(x0，y0)在直線l1：2x＋y－4＝0上，∴2·

＋

－4＝0.化簡，得2x＋11y＋16＝0.法二：特殊點法由

可解得l1與l的交點M(3，－2)．在l1上取一特殊點(2,0)，它關(guān)于直線l的對稱點(x0，y0)應(yīng)在所求直線l2上．由由兩點式，得直線l2的方程為

＝

，即為2x＋11y＋16＝0.解得【點評】常見的直線的對稱有以下幾種情況：直線l：Ax＋By＋C＝0，關(guān)于x軸的對稱直線為Ax＋B(－y)＋C＝0；關(guān)于y軸的對稱直線為A(－x)＋By＋C＝0；關(guān)于y＝x的對稱直線為Bx＋Ay＋C＝0；關(guān)于直線y＝－x的對稱直線為A(－y)＋B(－x)＋C＝0.本章知識體系網(wǎng)絡(luò)（2）

如果已知條件中圓心的位置不能確定，可考慮選擇圓的一般方程，圓的一般方程也含有三個獨立的參數(shù)，因此，必須具備三個獨立的條件，才能確定圓的一般方程，其方法仍采用待定系數(shù)法．設(shè)所求圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由三個條件得到關(guān)于D、E、F的一個三元一次方程組，解方程組，求出參數(shù)D、E、F的值即可．圓的方程熱點三例3根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)經(jīng)過坐標(biāo)原點和點P(1,1)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；(2)已知一圓過P(4，－2)、Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程；(3)已知圓的半徑為

，圓心在直線y＝2x上，圓被直線x－y＝0截得的弦長為4.【思路點撥】結(jié)合圓的幾何性質(zhì)或待定系數(shù)法解之．又圓的半徑r＝OC＝5，所以所求圓的方程為

(x-4)2+(y+3)2＝25.(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①將P、Q點的坐標(biāo)分別代入①得4D-2E+F=-20②D-3E-F=10③令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的兩根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48⑤解②、③、⑤組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12，或D＝－10，E＝－8，F(xiàn)＝4，故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.(3)法一：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝10.由圓心在直線y＝2x上，得b＝2a，⑥由圓在直線x－y＝0上截得弦的長為4，將y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.由弦長公式得

=4，化簡得a－b＝±2，⑦解⑥⑦得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二：根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑、弦長的一半、弦心距構(gòu)成直角三角形．由勾股定理，可得弦心距又已知b＝2a，⑨解⑧⑨得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，∴可求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.熱點探究【點評】求圓的方程有兩類方法：(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程，其一般步驟是：

①根據(jù)題意選擇方程的形式：標(biāo)準(zhǔn)形式或一般形式；②利用條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；

③解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．在解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時，一定要聯(lián)系圓的幾何性質(zhì)，利用有關(guān)圖形的幾何特征，盡可能簡化運算，討論直線與圓的位置關(guān)系時，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圓心到直線距離d<r，d＝r，d>r，分別確定相交、相切、相離的位置關(guān)系．涉及圓的切線時，要考慮過切點的半徑與切線垂直，計算弦長時，要用半徑、弦心距、半弦構(gòu)成直角三角形．直線與圓的位置關(guān)系熱點四直線與圓的位置關(guān)系熱點四

已知圓C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，與圓C相切的直線l交x軸、y軸的正方向于A、B兩點，O為原點，OA＝a，OB＝b(a>2，b>2)．(1)求證：圓C與直線l相切的條件是(a－2)(b－2)＝2；(2)求線段AB中點的軌跡方程；(3)求△AOB面積的最小值．例4熱點探究【思路點撥】

(1)由截距式設(shè)出直線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用圓心到直線的距離求證．(2)設(shè)出AB中點坐標(biāo)代入(1)即可．(3)利用三角形面積公式結(jié)合(1)的結(jié)論可解．【解】

(1)證明：由題意，知直線l的方程為

＋

＝1，即bx＋ay－ab＝0.圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1.∵直線l與圓C相切，∴圓心C到直線l的距離等于1.即

＝1.化簡整理得(a－2)(b－2)＝2.(2)設(shè)AB的中點為M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(1)的結(jié)論得(2x－2)(2y－2)＝2，即(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．(3)由(1)的結(jié)論及S△AOB＝

ab，有S△AOB＝·[－2＋2(a＋b)]＝－1＋a＋b＝(a－2)＋(b－2)＋3≥2＋3＝2＋3，∴S△AOB的最小值為2＋3.熱點探究【點評】直線與圓的位置關(guān)系分為相交、相切、相離，牢記各種位置關(guān)系的條件和性質(zhì)，判斷它們的位置關(guān)系時可根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，也可根據(jù)它們構(gòu)成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)進行判斷．?dāng)?shù)形結(jié)合是解析幾何的靈魂1．處理解析幾何問題，要自覺運用數(shù)形結(jié)合的思想方法加以分析解決．2.“數(shù)形結(jié)合”是把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何中的“形”結(jié)合起來認(rèn)識問題、理解問題并解決問題的思維方法，是人們的一種普遍思維習(xí)慣在數(shù)學(xué)中的具體表現(xiàn)．?dāng)?shù)形結(jié)合一般包括兩個方面，即以“形”助“數(shù)”，以“數(shù)”解“形”．解析幾何研究問題中的主要方法——坐標(biāo)法，就是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的典范．?dāng)?shù)形結(jié)合思想方法3、熟悉一些常見表達(dá)式的幾何意義：①、可視作點（x，y）與點（0，0）連線的斜率；②、(x-1)2+(y+2)2可視作點（x，y）到點