自動(dòng)控制原理 第5章 頻率法-3

5-3控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性典型環(huán)節(jié)頻率特性(7種)幅相曲線伯德圖開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅相曲線伯德圖15.3.1幅相曲線(開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖)在掌握了典型環(huán)節(jié)頻率特性的基礎(chǔ)上，可以作出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線，進(jìn)而利用它進(jìn)行系統(tǒng)分析。幅相曲線的繪制方法：

（1）描點(diǎn)法（根據(jù)幅頻/相頻，或者實(shí)頻/虛頻特性，取不同w值，描點(diǎn)后連線）（2）由零點(diǎn)-極點(diǎn)分布圖繪制2（3）概略繪圖法，大致確定幅相曲線的一些基本特征，只適用于最小相位系統(tǒng)。通常只畫出w=0+的部分，并用箭頭標(biāo)明w增大的方向。3假設(shè)最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性表示為：其中：K為開(kāi)環(huán)增益

g為積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)類型41.幅相曲線的起點(diǎn)幅相曲線的起點(diǎn)即w→0時(shí)，G(jw)在復(fù)平面上的位置可見(jiàn)幅相曲線的起始段取決于：開(kāi)環(huán)傳函中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)（系統(tǒng)類型）開(kāi)環(huán)增益K50ReImg=1g=0Kg=2g=0，幅相曲線起始于正實(shí)軸上的一點(diǎn)Kg=1，幅相曲線起始于與負(fù)虛軸平行的漸近線（根據(jù)實(shí)頻特性在w=0時(shí)的符號(hào)確定位置）g=2，幅相曲線起始于與負(fù)實(shí)軸平行的漸近線（根據(jù)虛頻特性在w=0時(shí)的符號(hào)確定位置）6幅相曲線的終點(diǎn)即w→+∞時(shí)，G(jw)在復(fù)平面上的位置即幅相曲線的終點(diǎn)是原點(diǎn)，趨向于原點(diǎn)的角度為-(n-m)×90°2.幅相曲線的終點(diǎn)70ReImn-m=1幅相曲線的終點(diǎn)n-m=2n-m=38由于在利用Nyquist判據(jù)分析穩(wěn)定性時(shí)，幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。令I(lǐng)m[G(jw)H(jw)]=0求出與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率w，再代入Re[G(jw)H(jw)]求出交點(diǎn)坐標(biāo)3.與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)94.幅相曲線形狀上的特點(diǎn)若開(kāi)環(huán)傳函中不含一階微分環(huán)節(jié)，即m=0，則當(dāng)w=0→+∞時(shí)，幅值連續(xù)衰減，相角持續(xù)滯后，幅相曲線連續(xù)、平滑。當(dāng)包含（ts+1）環(huán)節(jié)時(shí)，則在某些頻段范圍內(nèi)出現(xiàn)相位超前量，幅值放大，幅相曲線上出現(xiàn)凹凸。105.非最小相位系統(tǒng)幅相曲線的繪制對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，幅相曲線的繪制不能再沿用上述規(guī)則，而必須根據(jù)頻率特性的表達(dá)式，分析幅相曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)等特征，從而繪制出曲線。11假設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可表示為n個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的形式，即：則開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為相頻特性為5.3.2開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)可見(jiàn)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻、相頻特性分別是各個(gè)組成環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻、相頻特性的疊加。12繪制對(duì)數(shù)幅頻曲線時(shí)，通常先畫出漸近線，然后在有必要時(shí)進(jìn)行修正，從而得到較精確的曲線。13假設(shè)低頻段頻率特性為：可見(jiàn)，這是一個(gè)直線方程，斜率為-20g(dB/dec)，且通過(guò)w=1,L(w)=20lgK這一點(diǎn)（或者說(shuō)通過(guò)w軸上這一點(diǎn)）。1、低頻段主要取決于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)以及開(kāi)環(huán)增益K。w20lgK0型系統(tǒng)wI型系統(tǒng)20lgK1KwII型系統(tǒng)20lgK1-20dB/dec-40dB/dec142、完成低頻段漸近線后，再繼續(xù)繪制中、高頻段漸近線以為例（設(shè)K>1,T>1）①先畫低頻段漸近線②再畫出慣性環(huán)節(jié)的漸近線w20lgK1-20dB/dec0①②1/T③將曲線①和②疊加③熟練后，可直接先畫曲線①，當(dāng)延伸到w=1/T時(shí)，再將斜率下降-20dB/dec即可。15繪制步驟：將開(kāi)環(huán)傳遞整理為時(shí)間常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，確定開(kāi)環(huán)增益Ｋ；確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率w1

,w2

,…，并由小到大依次標(biāo)注在w軸上；畫L(w)的低頻段（w<w1），其斜率取決于積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)；隨著w增加，L(w)向中、高頻段延伸，每經(jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，漸近線的斜率便改變一次，改變多少取決于該轉(zhuǎn)折頻率所屬典型環(huán)節(jié)的種類；16如有必要，對(duì)漸近線上各轉(zhuǎn)折頻率附近進(jìn)行修正，則可得到L(w)的精確曲線。重要概念：開(kāi)環(huán)截止角頻率（穿越頻率）wc

，即

L(w)曲線穿過(guò)0dB線的頻率。對(duì)數(shù)相頻特性：逐個(gè)作出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性，然后進(jìn)行疊加即可得到開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)相頻特性j(w)。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)w→∞時(shí)，j(w)→－(n-m)×90°1740db0.1110w已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)20db1000db-20db-40db302[-20][-40][-20][-40]低頻段：時(shí)為38db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時(shí)為52db18例：繪制的對(duì)數(shù)曲線。解：對(duì)數(shù)幅頻：低頻段：-20dB/dec 轉(zhuǎn)折頻率：1510 斜率：-400-40修正值：

對(duì)數(shù)相頻：相頻特性的畫法為：起點(diǎn)，終點(diǎn)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)。 環(huán)節(jié)角度：191101000db20db40db-20db--40db5-90-180-114.7-93.7-137.5對(duì)數(shù)幅頻：低頻段：20/s 轉(zhuǎn)折頻率：1510 斜率：-400-40修正值：

-20-40-4020例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制Bode圖。

可視為四個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)。21例：已知系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)為

繪制Bode圖按特征頻率遞增的順序，可將各個(gè)典型環(huán)節(jié)依次排列如下：

可視為5個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)。22例

由Bode圖確定開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。40db-20db-40db023-40db-20db-40db0例

由Bode圖確定開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。245.3.3最小相位與非最小相位系統(tǒng)例:已知兩個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為試作出兩系統(tǒng)的Bode圖零點(diǎn)s=1非最小相位系統(tǒng)25ReIm0零點(diǎn)-極點(diǎn)分布圖ReIm026幅頻特性相同相頻特性不同27285.4Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1932年，美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室的Nyquist提出了一種根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線，判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的方法，被稱為Nyquist判據(jù)。Nyquist判據(jù)的理論基礎(chǔ)是幅角原理。295.4.1S平面上的圍線映射當(dāng)復(fù)變量s沿S平面上的閉合曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，函數(shù)F(s)會(huì)將它映射為F平面上的閉合曲線。ss平面FF(s)平面305.4.2幅角原理R=P-ZsFF(s)映射曲線F逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)封閉曲線S包圍F(s)的極點(diǎn)數(shù)封閉曲線S包圍F(s)的零點(diǎn)數(shù)當(dāng)s沿閉合曲線s以順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)R>0，逆時(shí)針包圍R=0，不包圍R<0，順時(shí)針包圍3132Z=0P=1R=P-Z=1-0=133Z=3P=1R=P-Z=1-3=-2

345.4.3Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)假設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù):定義輔助函數(shù):開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式閉環(huán)特征多項(xiàng)式閉環(huán)特征多項(xiàng)式與開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式之比35輔助函數(shù)F(s)的特點(diǎn)如下：其零點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)，極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，均為n；F(s)與G(S)H(S)只相差常數(shù)1兩個(gè)平面存在平移關(guān)系；

F圍線與GH圍線之間的關(guān)系1GHFF平面的原點(diǎn)(0,0)相當(dāng)于GH平面的（-1，j0）點(diǎn)36Nyquist判據(jù)已知G(s)H(s)，在S平面上選擇一條封閉曲線S映射曲線GH逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)S包圍F(s)的極點(diǎn)，即開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)S包圍F(s)的零點(diǎn)，即閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)37(1)0型系統(tǒng)選擇S為包圍整個(gè)右半S平面的無(wú)窮大半圓，則P為位于右半S平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)，而計(jì)算得到的Z就是右半S平面的閉極點(diǎn)數(shù)。

S在GH平面上的映射就是系統(tǒng)的幅相曲線，w=-∞→+∞。

應(yīng)用判據(jù)的關(guān)鍵：確定幅相曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍次數(shù)R=-=+=038奈氏判據(jù)（一）:0型系統(tǒng)

如果開(kāi)環(huán)頻率特性曲線G(jw)H(jw)當(dāng)w=-∞→+∞時(shí)逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)R等于位于右半S平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(Z=0)

如果R≠P，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且位于右半S平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)Z=P-R。如果G(jw)H(jw)

曲線正好通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，表明系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，存在虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn)。39應(yīng)用奈氏判據(jù)（一）的具體步驟:(1)繪制開(kāi)環(huán)頻率特性曲線，即幅相曲線，先作出w=0→+∞部分，然后以實(shí)軸為對(duì)稱，做出w=-∞→0部分，構(gòu)成閉合曲線。(2)計(jì)算當(dāng)w=-∞→+∞時(shí)，奈氏曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)逆時(shí)針包圍次數(shù)R，方法有以下兩種：①作矢量法②計(jì)算正負(fù)穿越次數(shù)，R=R+-R-(3)由給定的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)確定位于右半S平面上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P(4)根據(jù)判據(jù)，若R=P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若R≠P，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且不穩(wěn)定極點(diǎn)Z=P-R。40由于I、II型系統(tǒng)存在原點(diǎn)處的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，故在選擇S時(shí)要避開(kāi)原點(diǎn)，如下圖所示，圖中：S的①

②③段的映射與0型系統(tǒng)相同。④為以原點(diǎn)為圓心，半徑無(wú)限小的一個(gè)右半圓，接下來(lái)分析它的映射。=-=+=0-③①②④=0+(2)奈氏判據(jù)（二）:I、II型系統(tǒng)41小半圓上的點(diǎn)可表示為

e→0,-90°≤q≤90°假設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：且為最小相位系統(tǒng)，將代入上式，得可見(jiàn)，右半圓的映射是半徑無(wú)窮大的圓弧，從+g·90°的點(diǎn)開(kāi)始，經(jīng)0°到-g·90°點(diǎn)終止。j0_的映射點(diǎn)j0+的映射點(diǎn)42右小半圓在GH平面上的映射為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度的無(wú)窮大圓弧。如下圖（a）、（b）分別表示當(dāng)g=1和g=2時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線，其中虛線部分是右小半圓在GH平面上的映射。s增補(bǔ)段增補(bǔ)段43對(duì)于I、II型系統(tǒng)，在做出幅相曲線w=0+→+∞以及對(duì)稱部分w=-∞→0-之后，必須再做增補(bǔ)段，從而構(gòu)成閉合曲線，再根據(jù)Z=P-R分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。增補(bǔ)段做法如下：從w=0-點(diǎn)開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较蚪?jīng)0°做半徑無(wú)窮大的圓弧，最后到w=0+點(diǎn)終止。應(yīng)用奈氏判據(jù)（二）的具體步驟:445.4.4Nyquist判據(jù)在Bode圖上的應(yīng)用根據(jù)Bode圖判斷穩(wěn)定性時(shí)，主要任務(wù)是確定包圍次數(shù)R，方法如下：定義在L(w)>0的頻段內(nèi)，相頻曲線自上向下穿越-180°線為負(fù)穿越（相角減小），記作R-’自下向上穿越-180°線為正穿越（相角增加），記作R+’則R’=R+’－R-’

R=2R’45當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)時(shí)，應(yīng)當(dāng)在相頻曲線w=0+處，自下向上補(bǔ)畫g·90°的垂直虛線作為輔助線，然后再確定j(w)對(duì)-180°線的穿越情況。46一個(gè)反饋控制系統(tǒng)，其位于右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)Z，可以根據(jù)右半平面開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P和在L(w)>0頻段范圍內(nèi)，j(w)曲線與-180°線的正、負(fù)穿越次數(shù)之差確定：

Z=P-2R’對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：475.5穩(wěn)定裕度在工程應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題。48例如，圖（a）和（b）所示的兩個(gè)最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線（實(shí)線）沒(méi)有包圍(-1,j0)點(diǎn)，由奈氏判據(jù)知它們都是穩(wěn)定的