自動(dòng)控制原理-A1-06-2013

上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院鄒斌

2013年11月1自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差第4次電子信箱：zoubin@手機(jī)定性的基本概念控制系統(tǒng)在外部擾動(dòng)作用下偏離其原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)攏動(dòng)作用消失后，系統(tǒng)仍能自動(dòng)恢復(fù)到原來(lái)的初始平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性的條件假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，受到單位脈沖信號(hào)δ(t)的作用，此時(shí)系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下，輸出信號(hào)偏離平衡點(diǎn)的問(wèn)題，顯然，當(dāng)t→∞時(shí)，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡態(tài)！非線性系統(tǒng)可能有多個(gè)平衡態(tài)！線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，

即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)有負(fù)實(shí)部，則有：S平面系統(tǒng)特征方程自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，

即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。但是，閉環(huán)極點(diǎn)也不好求？要求高階代數(shù)方程呀勞斯陣列性質(zhì)：第一列符號(hào)改變次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程含有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。如果符號(hào)相同系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)系統(tǒng)不穩(wěn)定。控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改變符號(hào)?！暗谝涣兄懈鲾?shù)”注：通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡(jiǎn)述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。勞斯表“第一列中各數(shù)”的性質(zhì)勞斯判據(jù)判定穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412勞斯表介紹勞斯表特點(diǎn)4

每?jī)尚袀€(gè)數(shù)相等1

右移一位降兩階2

行列式第一列不動(dòng)3

次對(duì)角線減主對(duì)角線5

分母總是上一行第一個(gè)元素7

第一列出現(xiàn)零元素時(shí)，用正無(wú)窮小量ε代替。6

一行可同乘以或同除以某正數(shù)ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負(fù)一定不穩(wěn)定!缺項(xiàng)一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號(hào)!若變號(hào)系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號(hào)的次數(shù)為特征根在s右半平面的個(gè)數(shù)!特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于零!-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？特殊情況1：第一列出現(xiàn)0特殊情況：第一列出現(xiàn)0。各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)解決方法：用任意小正數(shù)代之。勞斯表出現(xiàn)零行設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對(duì)稱的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:①

有大小相等符號(hào)相反的特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行s2+1=0對(duì)其求導(dǎo)得零行系數(shù):2s1211繼續(xù)計(jì)算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯(cuò)啦!!!由綜合除法可得另兩個(gè)根為s3,4=-2,-3解輔助方程得對(duì)稱根:s1,2=±j勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱分布的根大小相等符號(hào)相反的實(shí)根共軛虛根對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析自動(dòng)控制原理講義鄒斌上海大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院地址：上海市延長(zhǎng)路149號(hào)電子郵件:zoubin@電話義時(shí)間趨于無(wú)窮大（足夠長(zhǎng)）時(shí)的固定響應(yīng)稱為控制系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)在特定類型輸入信號(hào)作用下，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)精度的度量。GH(s)R(s)C(s)E(s)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入加速度輸入穩(wěn)態(tài)誤差不僅同系統(tǒng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)有關(guān)還與系統(tǒng)的輸入有關(guān)！控制系統(tǒng)的型號(hào)V=0

0型系統(tǒng)V=1

I型系統(tǒng)V=2

Ⅱ型系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有差系統(tǒng)V=0I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一階有差系統(tǒng)V=1II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差二階有差系統(tǒng)V=2典型輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)誤差系數(shù)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)E(s)=R(s)1+G(s)H(s)1若系統(tǒng)穩(wěn)定,則可用終值定理求essess=lims1+ksνG0H0R(s)→0sR(s)=R/sr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tR(s)=V/s2ess=

s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2R(s)=A/s3ess=

s2·Alim→0sksνkpkvka取不同的νr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tess=

s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2ess=

s2·Alim→0sksνⅠ型0型Ⅱ型R·1(t)

R1+kV

kV·t000∞Ak∞∞At2/2R·1(t)V·tAt2/2kkk000∞∞∞靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)：123Kp=?Kv=?Ka=?非單位反饋怎么辦？啥時(shí)能用表格？表中誤差為無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)還穩(wěn)定嗎?非單位反饋與單位反饋G(s)R(s)C(s)E(s)H(s)如果不是單位負(fù)反饋，但是誤差是給定值與反饋量之差，則上述的結(jié)論依然成立。

誤差定義G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)輸入端定義：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)ˊˊ輸出端定義：E(s)=C希-C實(shí)=-C(s)R(s)H(s)ˊG(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希-C實(shí)=–Cn(s)總誤差怎么求？擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差定義1）只有三種值：0、常數(shù)（1/k1）、；2）擾動(dòng)作用引起的常數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差只與增益K1有關(guān)。擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差表控制器G1(s)的放大系數(shù)擾動(dòng)誤差阻尼振蕩求在單位階躍擾動(dòng)作用下的擾動(dòng)誤差essn比例積分環(huán)節(jié)提高穩(wěn)態(tài)精度比較兩個(gè)系統(tǒng)，在單位階躍輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差。閉環(huán)回路提高穩(wěn)態(tài)精度如果穩(wěn)態(tài)增益G0（0）將隨時(shí)間消逝而偏離1，穩(wěn)態(tài)誤差不再等于0須重新調(diào)整系統(tǒng)。單位階躍輸入下設(shè)在回路的傳遞函數(shù)中有如下的變化:K=10，K=1單位階躍輸入下設(shè)在回路的傳遞函數(shù)中有如下的變化：K=10，K=1，且有Kp=100/K若位置隨動(dòng)系統(tǒng)：雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)、船舵操縱系統(tǒng)。

輸入量補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制前饋/順饋若系統(tǒng)在控制信號(hào)作用下干擾量補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制前饋/順饋物理上難實(shí)現(xiàn)（分子階次高于分母的階次），近似取減小和消除誤差的方法(1,2)1按擾動(dòng)的全補(bǔ)償N(s)R(s)Gn(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(s)令R(s)=0,En(s)=-C(s)=s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2(T1s+1)+k1Gn(s)N(s)令分子=0，得Gn(s)=-(T1s+1)/k1這就是按擾動(dòng)的全補(bǔ)償全t從0→∞全過(guò)程各種干擾信號(hào)2按擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)補(bǔ)償設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，N(s)=1/s,則essn=－limsC(s)=－lims→0s→0k1k21+k1Gn(s)

∴Gn(s)=-1/k1令N(s)=0,Er(s)=令分子=0，得Gr(s)=s(T2s+1)/k23按輸入的全補(bǔ)償N(s)R(s)Gr(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(s)設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，R(s)=1/s2則essr=limsEr(s)=lims→0s→01-k2SGr(s)k1k2k2S∴Gr(s)=4按輸入的穩(wěn)態(tài)補(bǔ)償s(T1s+1)(T2s+1)