自動控制原理第七章z變換

線性離散系統(tǒng)的分析與校正第七章在線性連續(xù)系統(tǒng)中，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s);同樣在線性離散系統(tǒng)中，也可以對采樣信號f*(t)作拉氏變換。課前復(fù)習(xí)-z變換的定義采樣信號f*(t)拉氏變換課前復(fù)習(xí)-z變換的級數(shù)求和法z變換的級數(shù)求和法例

求指數(shù)函數(shù)f（t）的z變換解：課前復(fù)習(xí)-級數(shù)求和法7.1z變換與反變換

z變換部分分式法

z變換留數(shù)法

z變換性質(zhì)z反變換方法（部分分式、冪級數(shù)法、留數(shù)法）7.1.2、z變換-部分分式法設(shè)連續(xù)信號f(t)沒有直接給出，但給出了f(t)的拉氏變換式F(s)，求它所對應(yīng)的z變換式F(z)。首先為了進(jìn)行拉氏變換，將F(s)寫成部分分式之和的形式，即：式中，n為F(s)的極點(diǎn)數(shù)目；Ai為常數(shù)，Si為F(s)的極點(diǎn)。然后，由拉氏反變換得出f(t)為對上式中的每一項(xiàng)，都可以利用指數(shù)函數(shù)的z變換直接寫出它所對應(yīng)的z變換式，這樣就得到了F(z)如下：指數(shù)函數(shù)z變換7.1.2、z變換-部分分式法例：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換如下式所示，求f(t)的z變換。解：由可得7.1.2、z變換-部分分式法例：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換如下式所示，求f(t)的z變換。解：7.1.2、z變換-部分分式法例：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換如下式所示，求f(t)的z變換。解：7.1.2、z變換-部分分式法7.1.3、z變換-留數(shù)法若已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換式F(s)及全部極點(diǎn)si，則f(t)的z變換可用留數(shù)計(jì)算法求取，即：式中，為F(s)的n1個(gè)單極點(diǎn)；

為F(s)的n-n1個(gè)重極點(diǎn)；

為重極點(diǎn)的階數(shù)；T為采樣周期；

為極點(diǎn)處的留數(shù)。7.1.3、z變換-留數(shù)法例：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換如下式所示，求f(t)的z變換。解：7.1.3、z變換-留數(shù)法例：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換如下式所示，求f(t)的z變換。解：7.1.3、z變換-留數(shù)法例：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換如下式所示，求f(t)的z變換。解：7.1.3、z變換-留數(shù)法7.1.3、z變換7.1.4、z變換性質(zhì)1線性定理若相加與相乘乘以后的z變換？證明：2.實(shí)數(shù)平移定理（位移定理）證明：令滯后超前7.1.4、z變換性質(zhì)例：求、、和的z變換。

是向左移了n個(gè)采樣周期的序列（時(shí)間超前）

是向右移了n個(gè)采樣周期的序列（時(shí)間滯后）7.1.4、z變換性質(zhì)3.復(fù)數(shù)平移定理證明：7.1.4、z變換性質(zhì)例：求的z變換。7.1.4、z變換性質(zhì)4.初值定理5.終值定理

假設(shè)當(dāng)k<0時(shí)f(k)=0，它的z變換F(z)的所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，可能的例外是在單位圓上z=1處有單極點(diǎn)。7.1.4、z變換性質(zhì)例：如果的z變換由下式給出，試確定其初始值f(0)。例：用終值定理確定下式的終值f()。7.1.4、z變換性質(zhì)小結(jié)-z變換方法與性質(zhì)z變換的部分分式法z變換的留數(shù)法Z變換線性性質(zhì)z變換實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)位移定理z變換初值、終值定理7.1.5、z反變換z變換在離散控制系統(tǒng)中所起的作用與拉氏變換在連續(xù)控制相同中所起的作用是同樣的。z反變換的符號為。F(z)的z反變換產(chǎn)生相應(yīng)的時(shí)間序列f(k)。注意：由z反變換獲得的僅是在采樣瞬時(shí)的時(shí)間序列。因而，F(xiàn)(z)的z反變換獲得的僅是單值的f(k)，而不是單值的f(t)。Z反變換的方法

1部分分式法（查表法）

2冪級數(shù)法（綜合除法）

3留數(shù)法（反演積分法）首先，對F(z)的分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，并求其極點(diǎn)：注意：若分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)的話，那么任何一個(gè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)零點(diǎn)，都分別伴有共扼復(fù)數(shù)的極點(diǎn)或零點(diǎn)。7.1.5、z反變換-部分分式法當(dāng)F(z)的極點(diǎn)全部是低階極點(diǎn)，并且至少有一個(gè)零點(diǎn)是在坐標(biāo)原點(diǎn)（即bm=0）時(shí)，一般采用的反變換求解步驟是，用z去除F(z)表達(dá)式的兩端，然后將F(z)/z展開成部分分式。展開后的F(z)/z，將是下列形式單極點(diǎn)7.1.5、z反變換-部分分式法若F(z)/z有多重極點(diǎn)，例如，在處有二重極點(diǎn)且無其他極點(diǎn)，那么F(z)/z將有如下形式：二重極點(diǎn)7.1.5、z反變換-部分分式法例：試求F(z)反變換f(k)。解：7.1.5、z反變換-部分分式法例：已知z變換式中，a為常數(shù)，且T為采樣周期，試用部分分式展開法求解它的z反變換f(kT)。解：7.1.5、z反變換-部分分式法例：已知z變換求解它的z反變換f(kT)。注意：在z=0處，F(xiàn)(z)有雙重極點(diǎn)。7.1.5、z反變換-部分分式法7.1.5、z反變換-部分分式法7.1.6、z反變換-冪級數(shù)法把F(z)展開成z-1的無窮冪級數(shù)，以獲取z反變換。特點(diǎn)：在確定z反變換閉合表達(dá)式較困難的場合，以及只求取f(k)的前幾項(xiàng)時(shí)，直接除法是很有效的。例：試求F(z)反變換f(k)，k=0,1,2,3,4將F(z)寫成的多項(xiàng)式之比7.1.6、z反變換-冪級數(shù)法由上例可見，如果僅僅希望求取序列的前幾項(xiàng)，直接除法可用手算來實(shí)現(xiàn)。直接除法一般不產(chǎn)生f(k)的閉合表達(dá)式。7.1.6、z反變換-冪級數(shù)法若f(t)的z變換為F(z)，則例：7.1.6、z反變換-冪級數(shù)法例：求的z反變換。解：7.1.6、z反變換-冪級數(shù)法7.1.7、關(guān)于z變換的說明z

變換是對連續(xù)信號的采樣序列進(jìn)行變換，因此z

變換與原連續(xù)時(shí)間函數(shù)并非一一對應(yīng)，而只是與采樣序列相對應(yīng)。z變換的非唯一性z變換的收斂區(qū)間對于拉氏變換，其存在的條件是下列絕對積分收斂：z

變換也有存在性問題，通常，z

變換定義為令因?yàn)閯t若上式滿足，則z變換一致收斂，的z變換存在。上述級數(shù)收斂的條件是：于是則有若令，工程中通常有它是單邊的，且為有理分式函數(shù)。所以，

z變換的收斂區(qū)間與的零極點(diǎn)分布有關(guān)。7.1.7、關(guān)于z變換的說明發(fā)散區(qū)收斂區(qū)|a|Z平面ImRe例如：上式只有當(dāng)