自動控制原理原理第8章

第8章非線性系統(tǒng)分析8．1非線性系統(tǒng)概述8.1.1典型非線性特性1.飽和特性不再隨輸入的的絕對值增大到某一值后，輸出當輸入變化而變化，即輸出達到飽和，這種現(xiàn)象稱為飽和。如晶體管放大器、電機的轉速與控制電壓的關系都具有飽和特性的，如圖。實際飽和特性理想飽和特性≤a飽和特性對系統(tǒng)性能的影響：（1）由于飽和區(qū)等效增益的減小，提高了暫態(tài)響應的平穩(wěn)性，即有抑制系統(tǒng)振蕩的作用。（2）由于飽和區(qū)等效增益的減小，使穩(wěn)態(tài)控制精度下降。2.死區(qū)特性（不靈敏區(qū)）死區(qū)特性當輸入信號的絕對值小于死區(qū)范圍時，輸出為零；當輸入信號的絕對值大于死區(qū)范圍時，輸出信號才隨輸入信號線性變化。其數(shù)學表達式為≥≤

控制系統(tǒng)中的測量元件、執(zhí)行部件以及放大器都存在著不靈敏區(qū)。

死區(qū)特性元件等效于一個變增益元件，在死區(qū)范圍內，等效增益為零，大于死區(qū)后，等效增益隨輸入信號的增大在增大，但等效增益總是小于原來的值。

第8章非線性系統(tǒng)分析死區(qū)特性對系統(tǒng)性能的影響：（1）由于等效增益的減小，增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了穩(wěn)態(tài)控制精度。（2）由于等效增益的減小，提高了系統(tǒng)暫態(tài)響應的平穩(wěn)性，使振蕩性能減弱。（3）因為死區(qū)可以濾掉小幅值的干擾信號，所以使系統(tǒng)的抗擾能力提高。3.間隙特性（回環(huán)特性）間隙特性形成的原因常常是由于滯后的作用造成的。如磁性材料的滯后現(xiàn)象，所以回環(huán)特性又叫磁滯特性。在機械傳動裝置中，由于傳動間隙或干摩擦也造成回環(huán)特性。如圖。第8章非線性系統(tǒng)分析間隙特性間隙特性對系統(tǒng)性能的影響：（1）間隙會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定或自振蕩。由于輸出總是滯后于輸入的，從頻率特性上看相當于系統(tǒng)中引入了一個相位滯后環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)相位裕量減小，暫態(tài)響應振蕩性能加劇。（2）由于滯后原因間隙會降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度。繼電器理想繼電器死區(qū)繼電器帶滯環(huán)的繼電器4.繼電器特性第8章非線性系統(tǒng)分析繼電器特性對系統(tǒng)總是不利的。第8章非線性系統(tǒng)分析8.1.2非線性系統(tǒng)的特點1．穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)有關，而與初始條件及輸入量無關。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)有關外，還與初始條件及輸入量有關。例8-1

有非線性系統(tǒng)，其微分方程為試分析在不同的初始狀態(tài)下（如、和）系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）當時，項的系數(shù)，微分方程的特征根為負，系統(tǒng)穩(wěn)定，其動態(tài)過程按指數(shù)規(guī)律衰減。如圖。不同初始狀態(tài)下的動態(tài)過程第8章非線性系統(tǒng)分析項的系數(shù)（2）當時，，微分方程變?yōu)楸３趾阒怠Ｈ鐖D。（3）當時，項的系數(shù)，為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，其動態(tài)過程微分方程的特征根按指數(shù)規(guī)律發(fā)散。如圖。2．自持振蕩（自振）對于非線性系統(tǒng)，除了穩(wěn)定和不穩(wěn)定這兩種運動狀態(tài)以外，還有一種穩(wěn)定的持續(xù)振蕩狀態(tài)，即自持振蕩或自激振蕩（簡稱自振）。第8章非線性系統(tǒng)分析自振就是在沒有外加信號時，系統(tǒng)產(chǎn)生的不衰減的周期振蕩。

在很多情況下不希望系統(tǒng)產(chǎn)生自振，因為強烈的振蕩會使設備損壞。但有時也可以利用自振改善系統(tǒng)性能，如用高頻小振幅的顫振克服摩擦或間隙對系統(tǒng)的影響。所以自振的分析研究是非線性系統(tǒng)研究的一個重要問題。3．疊加原理不適用非線性系統(tǒng)的暫態(tài)特性是與初始條件有關的，當初始偏差小時單調變化，初始偏差大時很可能就出現(xiàn)振蕩。所以，疊加原理不適用。

鑒于非線性系統(tǒng)的特點，其研究的重點和方法與線性系統(tǒng)有所不同，一般主要研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問題，決定它的穩(wěn)定范圍，自振的振幅和頻率等。第8章非線性系統(tǒng)分析8．2描述函數(shù)法描述函數(shù)法是在頻率域中分析非線性系統(tǒng)的一種工程近似方法，是頻率法在一定假設條件下在非線性系統(tǒng)中的推廣應用。8.2.1描述函數(shù)的基本概念1．諧波線性化諧波線性化就是在輸入正弦函數(shù)的情況下，將非線性元件輸出的非正弦周期信號用其中的基波分量來代替，而略去信號中的高次諧波。設一個非線性元件，其輸出輸入關系表示為，

時

輸入為，輸出為，它是一個非正弦的周期函數(shù)。展成富氏級數(shù)：第8章非線性系統(tǒng)分析其中：

設非線性特性均為對稱奇函數(shù)，，忽略高次諧波，則第8章非線性系統(tǒng)分析2．描述函數(shù)定義非線性元件在正弦輸入時，輸出的基波分量與輸入正弦量的復數(shù)比，稱為該非線性元件的描述函數(shù)。表示，即描述函數(shù)用符號如果非線性元件不包含儲能機構，即描述，描述函數(shù)只是輸入正弦信號幅值的函數(shù)，即而與頻率無關。

的特性可以用代數(shù)方程描述函數(shù)可看作是一個“復放大系數(shù)”或“復增益”。8.2.2典型非線性特性的描述函數(shù)非線性特性的描述函數(shù)計算步驟：（1）設輸入為，根據(jù)非線性輸入輸出特性，畫出其輸出

波形并寫出其表達式。第8章非線性系統(tǒng)分析（2）計算輸出的基波分量（設非線性特性具有斜對稱）。特性，即（3）根據(jù)描述函數(shù)的定義式求出該非線性特性的描述函數(shù)。1．飽和特性的描述函數(shù)輸入、輸出特性如圖。（1）在正弦輸入信號作用下，其輸出波形如圖。

寫出輸出表達式為

≤≤≤≤第8章非線性系統(tǒng)分析飽和特性及輸入、輸出波形（b）（a）（c）第8章非線性系統(tǒng)分析（2）由于飽和特性為單值斜對稱，所以，由圖知，當時，，所以，。

（3）其描述函數(shù)為第8章非線性系統(tǒng)分析2．死區(qū)特性的描述函數(shù)死區(qū)特性的輸入、輸出特性及在正弦函數(shù)輸入時的輸出波形如圖。死區(qū)特性及輸入、輸出波形第8章非線性系統(tǒng)分析≤≤≤≤其輸出表達式為死區(qū)特性為單值斜對稱，故第8章非線性系統(tǒng)分析死區(qū)特性描述函數(shù)為

3．間隙特性的描述函數(shù)間隙特性的輸入、輸出特性及在正弦函數(shù)輸入時的輸出波形如圖。其輸出表達式為第8章非線性系統(tǒng)分析間隙特性及輸入、輸出波形第8章非線性系統(tǒng)分析≤≤≤≤由圖可得，所以，

由于間隙特性為非單值斜對稱，所以、均不為零。第8章非線性系統(tǒng)分析間隙特性的描述函數(shù)為這是一個與輸入正弦函數(shù)的振幅有關的復函數(shù)，說明輸出的基波分量對輸入是有相位差的，輸出滯后于輸入。

第8章非線性系統(tǒng)分析4．繼電器特性的描述函數(shù)繼電器特性的輸入、輸出特性及在正弦函數(shù)輸入時的輸出波形如圖。繼電器特性及輸入、輸出波形maa第8章非線性系統(tǒng)分析其輸出表達式為

≤≤≤≤；；≤≤由圖可得：

因繼電器特性為非單值斜對稱，所以，，

第8章非線性系統(tǒng)分析繼電器特性的描述函數(shù)為當m和a取不同值時，可得到其它幾種繼電特性的描述函數(shù)。當時，為理想繼電器特性，

其描述函數(shù)為第8章非線性系統(tǒng)分析當時，為帶死區(qū)的繼電器特性，其描述函數(shù)為

當時，為帶滯環(huán)的繼電器特性，其描述函數(shù)為

當系統(tǒng)中有兩個或多個非線性元件并聯(lián)的結構時，可以等效為一個非線性環(huán)節(jié)，其等效描述函數(shù)為各并聯(lián)非線性特性描述函數(shù)之和。或者一個復雜的非線性特性可以分解為幾個簡單非線性特性的疊加。第8章非線性系統(tǒng)分析8.2.3描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法主要用來研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題、是否產(chǎn)生自振、產(chǎn)生自振時的振幅和頻率的確定，以及如何抑制自振等。1．系統(tǒng)的典型結構及描述函數(shù)法應用的基本條件非線性系統(tǒng)的典型結構圖：

NW考慮只分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自振問題，令外部作用量為零。可通過對非線性系統(tǒng)的變換和歸化和非線性部分的串聯(lián)而形成的回路。

得到，表示為線性部分基于諧波線性化，系統(tǒng)處于自振時，非線性部分和線性部分的輸入輸出均為同頻率的正弦量，在此條件下，非線性部分的特性可用描述函數(shù)表示，線性部分的特性可用頻率特性表示，其典型結構等效為第8章非線性系統(tǒng)分析這就是分析非線性系統(tǒng)自振時的理論模型，以后的分析是基于此模型的。

描述函數(shù)法應用的基本假設條件：（1）非線性系統(tǒng)為典型結構圖形式。（3）線性部分具有良好的低通濾波特性。2．非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析設非線性系統(tǒng)為典型結構圖形式，仿線性系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判據(jù)，寫出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為或寫成

（2）對于非線性②無慣性；③其輸入輸出靜特性是斜對稱的（即為對稱奇函來說，①其輸出的高次諧波振幅小于基波振幅；數(shù)）。

第8章非線性系統(tǒng)分析對于線性系統(tǒng)而言，，復平面上（-1，j0）點是判斷線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的參考點。

對于非線性系統(tǒng)，由于，特征方程的右邊為

現(xiàn)仍假設線性部分為最小相位系統(tǒng)，那么，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的不再。是參考點（-1，j0），而是一條參考線（線，即負倒描述函數(shù)曲線）。表明系統(tǒng)有正的特征根，系統(tǒng)會出現(xiàn)增幅振蕩，不穩(wěn)定。和判斷線性系統(tǒng)穩(wěn)定性相似，①如果曲線包圍了線，如圖。

則系統(tǒng)穩(wěn)定。

③如果兩線有交點，表明系統(tǒng)有可能產(chǎn)生自持振蕩。是否產(chǎn)生自持振蕩，要判斷交點是具有收斂特性還是發(fā)散特性。

②如果曲線不包圍線，如圖。

第8章非線性系統(tǒng)分析3．自振分析當曲線和線相交時，系統(tǒng)有可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自振蕩，是否產(chǎn)生自振要判斷交點的特性。以上右圖為例討論。如果交點具有發(fā)散特性，如P點。不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自振蕩。如果交點具有收斂特性，如Q點。會產(chǎn)生穩(wěn)定的自振蕩。其振幅和頻率由交點處線上的值和線上的值確定。

該系統(tǒng)的工作狀態(tài)根據(jù)初始振幅不同會有兩種狀態(tài)存在：第8章非線性系統(tǒng)分析①當初始振幅（設P點振幅為XP）時，系統(tǒng)穩(wěn)定，的增長而衰減振蕩，直至衰減到零。

狀態(tài)隨時間

不同初始振幅情況下的狀態(tài)變化曲線如圖。②當時，

系統(tǒng)最終會穩(wěn)定在Q點作自振蕩，自振的振幅和頻率分別為Q點的和。第8章非線性系統(tǒng)分析4．應用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)舉例例8-2具有飽和特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試（1）判斷當

線性部分時，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自振？如產(chǎn)生自振，求自振的頻率和振幅。（2）確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，的取值。

解：（1）飽和非線性特性的描述函數(shù)為

由非線性特性知，，，代入上式可得負倒描述函數(shù)為第8章非線性系統(tǒng)分析因飽和特性為單值斜對稱特性，其和為實函數(shù)。

當振幅在（1～∞）范圍變化時，變化范圍為（-0.5～-∞）。

曲線如圖。

線性部分頻率特性為

將代入并繪制其幅相頻率特性曲線如圖。

兩線交點計算如下：

解得：令：代入其實部得：第8章非線性系統(tǒng)分析曲線與曲線的交點即為（-1，j0）點，可判斷此交點具有收斂特性，故產(chǎn)生自振。

自振的頻率即為兩線交點處的頻率，即線上的振幅，計算如下：，自振的振幅即為兩線交點處令

即解得，即為自振的振幅。

（2）當曲線與曲線沒有交點時就不會產(chǎn)生自振，

并且曲線時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

曲線不包圍第8章非線性系統(tǒng)分析值即為臨界穩(wěn)定值。即當時的解得為臨界穩(wěn)定值，

當時系統(tǒng)穩(wěn)定。

例8-3非線性系統(tǒng)結構圖如圖。

非線性特性的參數(shù)自振，若存在自振，計算自振的頻率和振幅。

。試分析該系統(tǒng)是否存在解：帶死區(qū)的繼電器特性的描述函數(shù)為0.750.7570.760.950.9911.11.71.8431.9-0.97-0.92-0.90-0.65-0.65-0.65-0.66-0.86-0.92-0.94第8章非線性系統(tǒng)分析則負倒描述函數(shù)為將代入得：根據(jù)式計算一組數(shù)據(jù)如表：

根據(jù)表數(shù)據(jù)可畫出曲線如圖。

時，達到最大。

150180190200250300500-0.36-0.10-0.0400.100.120.07-1.55-1.13-1.02-0.92-0.57-0.37-0.09第8章非線性系統(tǒng)分析線性部分的頻率特性為

計算一組數(shù)據(jù)如表：

根據(jù)上表數(shù)據(jù)可畫出線性部分幅相頻率特性如圖。

，

可看出，線與線有兩個交點A和B可判斷交點A具有發(fā)散特性，交點B具有收斂特性，所以系統(tǒng)在B點會產(chǎn)生自振。第8章非線性系統(tǒng)分析計算交點上的頻率和振幅：交點A和交點B上的頻率相同，但振幅不同。解得，代入其實部得令：線與線的交點即為（-0.92，j0）。

交點上的振蕩頻率即為計算交點A和交點B的振幅：令：解得：

第8章非線性系統(tǒng)分析當初始振幅時，系統(tǒng)穩(wěn)定；

當初始振幅時，會在B點產(chǎn)生穩(wěn)定的自振，其振蕩的頻率為，振幅為。

例8-4系統(tǒng)結構圖如圖所示。非線性特性為帶滯環(huán)的繼電器特性，其中的參數(shù)

，，試判斷該系統(tǒng)是否存在自振，若存在自振，計算自振的頻率和振幅。

解：帶滯環(huán)的繼電器特性的描述函數(shù)為其負倒描述函數(shù)為

第8章非線性系統(tǒng)分析代入?yún)?shù)，，得可畫出曲線如圖。

線性部分的頻率特性為

可計算一組數(shù)據(jù)畫出線性部分幅相頻率特性如圖。

第8章非線性系統(tǒng)分析可看出，線與線有一個交點，且具有收斂特性，所以系統(tǒng)存在自振。

令在交點處的和的實部和虛部分別相等，可求得自振的頻率和振幅。即

解得：，。即自振的頻率為，振幅為。

第8章非線性系統(tǒng)分析8．3相平面法設二階系統(tǒng)微分方程的一般形式為

是和的線性或非線性函數(shù)。

狀態(tài)變量為

和。在任一瞬間，可用這兩個狀態(tài)變量來描述該系統(tǒng)的運動狀態(tài)。

將二階微分方程式轉換成兩個一階微分方程：

把時間變量作為參變量消去，可得上三式是等價的，

（1）（2）（3）即式（1）的解既可用和的關系來表示，和的關系來表示。

也可用把直角坐標和系統(tǒng)的某一狀態(tài)在相平面上對應確定出一個點，稱為相點（或表示點、描述點）。

的平面叫做相平面。相平面：相點：第8章非線性系統(tǒng)分析隨著時間的變化，狀態(tài)也相應變化，在平面上便描繪出一條軌跡，叫做相軌跡。

相軌跡：如果以各種可能初始狀態(tài)為起始點，則可以得到一族相軌跡。把相平面和相軌跡曲線族總稱為相平面圖。

相平面圖：相平面法：就是利用相平面圖來分析研究系統(tǒng)暫態(tài)特性的一種方法。

相平面法是一種時域分析法，也是一種圖解法，但只適用于二階系統(tǒng)。

8.3.1相軌跡的特征以線性二階系統(tǒng)為例來討論相軌跡的特征。其微分方程為

只研究其暫態(tài)解，考慮齊次方程

第8章非線性系統(tǒng)分析令得將其化為兩個一階微分方程式

把時間變量作為參變量消去，得到和之間的關系方程，即為相軌跡方程。

在相平面上畫出的關系曲線即為相軌跡曲線。

和消去得上式即為相軌跡斜率方程，用解析法或圖解法求解即可求出的關系曲線（即相軌跡）。

和第8章非線性系統(tǒng)分析下面分六種可能的情況來討論相軌跡的特征及與時間函數(shù)之間的關系。

1．無阻尼（）情況微分方程式的特征根為一對共軛虛根，如圖。

相軌跡斜率方程變?yōu)椴捎梅e分法求解并整理得式中，是由初始條件（）決定的常數(shù)。

此式即為相軌跡方程，是一個橢圓方程。

當初始條件不同時，相軌跡為一族同心的橢圓，

如圖。第8章非線性系統(tǒng)分析無阻尼（）情況設初始位置在點，相應的狀態(tài)變化曲線如圖。

2．欠阻尼（）情況微分方程式的特征根為一對負實部的共軛復根，見圖。

其解為

其中，，和由初始條件確定。

其相軌跡為向心螺旋線見圖。

第8章非線性系統(tǒng)分析欠阻尼（）情況設初始位置為，相應的狀態(tài)變化曲線如圖。

呈現(xiàn)為衰減振蕩過程。

3．過阻尼（）情況微分方程式的特征根為兩個負實根，如圖。

第8章非線性系統(tǒng)分析過阻尼（）情況即：圖8-22過阻尼（微分方程式的解為

其中，A1和A2由初始條件確定。對應的相平面圖如圖。

設初始位置分別在M1和M2點，對應的狀態(tài)x(t)變化曲線如圖。第8章非線性系統(tǒng)分析4．負阻尼情況一（）微分方程式的特征根為一對正實部的共軛復根，如圖

。負阻尼（）情況相軌跡也為螺旋線，只是相軌跡移動方向隨著時間t的增長向外發(fā)散的，如圖。狀態(tài)變化曲線如圖，呈增幅振蕩過程。

第8章非線性系統(tǒng)分析5．負阻尼情況二（）微分方程式的特征根為兩個正實根，如圖（a）。

負阻尼（）情況相平面圖如圖（b）。設初始位置位于M1或M2區(qū)域，對應的狀態(tài)變化曲線如圖（c）呈發(fā)散過程。第8章非線性系統(tǒng)分析6．正反饋的情況變正反饋時系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個異號實根，即

如圖（a）

兩個異號實根情況第8章非線性系統(tǒng)分析微分方程式的解為

A1和A2由初始條件確定。其相平面圖如圖（b），為一族“雙曲線”。設初始位置在M0，對應的狀態(tài)x(t)的變化曲線如圖（c）。

當時，兩個特征根為數(shù)值相等的異號實根，雙曲線變?yōu)榈冗呺p曲線。

相軌跡的特征：

（1）奇點

奇點就是系統(tǒng)的平衡點。在相平面上就是相軌跡是相交的點。在奇點上滿足：

根據(jù)此式可確定奇點的位置。根據(jù)奇點附近的相軌跡形狀不同把奇點分為六類：第8章非線性系統(tǒng)分析s穩(wěn)定焦點穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點鞍點中心點不穩(wěn)定焦點第8章非線性系統(tǒng)分析

確定奇點類型的方法：

設奇點位置在坐標原點（如不在原點先變換到原點）。首先將非線性微分方程在原點附近線性化處理，再根據(jù)線性化微分方程的特征方程式的根在復平面上的位置來確定奇點的類型。設線性化后微分方程的特征方程為

和為常數(shù)，其根設為和，存在六種情況如下：

①為一對負實部的共軛復根，相應的奇點為穩(wěn)定焦點。和②為一對正實部的共軛復根，相應的奇點為不穩(wěn)定焦點和③

和均為負實根，相應的奇點為穩(wěn)定節(jié)點。④

均為正實根，相應的奇點為不穩(wěn)定節(jié)點。和和⑤

和為一對共軛虛根，相應的奇點為中心點。⑥為兩個異號實根，相應的奇點為鞍點。①如果奇點不在坐標原點，可通過變量代換先移動到坐標原點，再進行線性化處理，然后再利用上述方法判斷奇點類型。②當線性化后的特征方程的根至少有一個為零時，則不能用上述方法判斷奇點類型。因為此時系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于泰勒級數(shù)展開式的高階項。注意：對于線性系統(tǒng)來說，奇點只有一個，零輸入條件時，奇點即為坐標原點。而對于非線性系統(tǒng)，兩線交點有可能不只一個，可能會有多個。例8-5繪制下面微分方程所描述系統(tǒng)的相平面圖。解：（1）計算奇點位置奇點應滿足的條件

第8章非線性系統(tǒng)分析代入微分方程得第8章非線性系統(tǒng)分析解得奇點為和

兩個奇點。

（2）判斷奇點類型先判斷奇點（0，0）的類型。在原點附近將原微分方程線性化得：

特征方程為，求其特征根為

為一對負實部的共軛復根，奇點(0,0)類型為穩(wěn)定焦點。對于奇點(-2,0)，先進行變量代換，將其移動到坐標原點，再線性化處理判斷奇點類型。第8章非線性系統(tǒng)分析，即令

，

將其代入原微分方程，變?yōu)閯t在坐標系中，奇點即為(0,0)。然后線性化處理得特征方程為特征根為為兩個異號實根，所以奇點（-1，0）類型為鞍點。相平面圖如圖所示。第8章非線性系統(tǒng)分析可看出當初始位置位于內部穩(wěn)定區(qū)域時，系統(tǒng)將收斂到奇點(0,0)，否則，系統(tǒng)是發(fā)散的。（2）相軌跡不相交除奇點外，相軌跡是不會相交的。（3）特征區(qū)奇點附近的相軌跡除中心點情況外，所有描述點不是沿相軌跡趨于奇點（叫吸引），就是沿相軌跡離開奇點（叫發(fā)散）。說明在奇點周圍，相軌跡具有共性，形成一個特征區(qū)（叫做吸引區(qū)或發(fā)散區(qū)）。（4）相軌跡的運動方向

在相平面的上半平面，相軌跡的運動方向為向右；

在相平面的下半平面，相軌跡的運動方向為向左。

第8章非線性系統(tǒng)分析（5）相軌跡通過x軸的斜率。

當相軌跡通過x軸時，相軌跡通常是垂直通過的。在x

軸上的各點，滿足，除奇點外，相軌跡斜率為，所以相軌跡總是垂直通過x

軸的。（6）極限環(huán)極限環(huán)在相平面上具有特殊的幾何圖形，即是一個孤立的封閉曲線。極限環(huán)表示一個等幅振蕩。ⅠⅡⅢ假設相平面被劃分為三個線性區(qū)域，如圖。如果給定區(qū)域（如Ⅰ區(qū)）它的相軌跡具有的奇點在本區(qū)域內，則稱為實奇點。實奇點：

如果奇點位于給定區(qū)域之外（如在Ⅱ區(qū)或Ⅲ區(qū)），則稱為虛奇點。虛奇點：第8章非線性系統(tǒng)分析判斷極限環(huán)存在的一個充分條件：當具有不穩(wěn)定的實奇點和穩(wěn)定的虛奇點時，系統(tǒng)必然存在極限環(huán)。系統(tǒng)從某一狀態(tài)過渡到另一狀態(tài)所經(jīng)歷的時間（即調節(jié)時間）可利用相軌跡求得。（7）調節(jié)時間設狀態(tài)從狀態(tài)過渡到狀態(tài)，其調節(jié)時間計算公式為：如果已知相軌跡方程，可通過積分即可計算出調節(jié)時間。①積分計算法②圖解計算法已知相軌跡如圖，由相軌跡可得到與的關系曲線，如圖。

第8章非線性系統(tǒng)分析（a）（b）則曲線所包圍的面積s即為調節(jié)時間。8.3.2相軌跡的繪制相軌跡的繪制方法解析法圖解法1．解析法解析法包括直接積分法和消t法兩種方法。（1）直接積分法

由微分方程式轉換成兩個一階微分方程得到相軌跡斜率方程，即：第8章非線性系統(tǒng)分析┅┅（*）直接對（*）式進行積分可求得相軌跡方程，再根據(jù)此式就可在相平面上繪制相軌跡了。（2）消t法

根據(jù)微分方程式先求解出狀態(tài)和函數(shù)，然后消去時間變量得到相軌跡方程

，再根據(jù)此式畫相軌跡。例8-6繪制

所描述系統(tǒng)的相平面圖。解：采用解析法（1）直接積分法。即

兩邊積分得即為相軌跡方程，A為積分常數(shù)，由初始條件確定。

原方程可變換為第8章非線性系統(tǒng)分析其相平面圖如圖。為開口向左的一族拋物線。2．圖解法工程中常用的圖解法有：等斜線法和法。

等斜線法的基本思想：將相軌跡的曲線形式用一系列短的折線近似代替。等斜線是指相平面上相軌跡斜率相等的各點的連線。相軌跡斜率方程為令：得等斜線的方程為

為相軌跡斜率，為常數(shù)。

給定一組的值，便可得到一族等斜線。相軌跡通過每條不同的等斜線時，其斜率均為該條等斜線所對應的值。

第8章非線性系統(tǒng)分析當給定初始條件確定出相軌跡的初始位置后，由該點出發(fā)的相軌跡畫法如下：按照初始位置所在的等斜線上相軌跡的斜率c方向畫一個小線段，交于下一條等斜線上一點；再由這一點出發(fā)，按照此條等斜線上相軌跡的斜率c方向畫一個小線段，交于再下一條等斜線上一點。依次連續(xù)畫下去，就可以畫出一條從給定初始條件出發(fā)的相軌跡。以線性二階系統(tǒng)為例應用等斜線法畫相軌跡。相軌跡斜率方程為

令相軌跡斜率為常數(shù)c，即第8章非線性系統(tǒng)分析得等斜線方程為

令得等斜線方程為

當c取一組數(shù)據(jù)可作等斜線族如圖。

等斜線畫出后，繪制相軌跡：（1）根據(jù)初始條件確定相軌跡的起始位置，設為點。

（2）過A點按A點所在等斜線上的c值（c=-1）畫一斜率為c的直線段與下一條等斜線交于一點B。線段即為相軌跡上的一段；然后再從B點出發(fā)按B點所在等斜線上的c值（c=-1.2）畫一斜率為c的直線段與下一條等斜線交于一點c。依次類推繪制下去，一條相軌跡就畫出來了，如圖。更精確一些，可按相鄰等斜線上所標c值的平均值作為斜率畫直線段。第8章非線性系統(tǒng)分析例8-7用等斜線法繪制下述微分方程所描述系統(tǒng)的相平面圖。解：

分區(qū)域繪制。（1）≥的區(qū)域。

微分方程為

相軌跡斜率方程為

令其等于常數(shù)c，得等斜線方程為畫出右半平面等斜線如圖。

（2）的區(qū)域。

微分方程為相軌跡斜率方程為

令其等于常數(shù)c，得等斜線方程為

畫出左半平面等斜線如圖。

第8章非線性系統(tǒng)分析（3）繪制相軌跡。

取不同的初始位置為相軌跡起點，按等斜線法繪制相軌跡，即可得到該系統(tǒng)的相平面圖，如圖。該系統(tǒng)相軌跡存在兩條漸近線，討論如下。

相軌跡的漸近線為一條特殊的等斜線，即當?shù)刃本€的斜率與相軌跡的斜率相等的那條等斜線即為相軌跡的漸近線。左半平面的等斜線方程為令其斜率等于相軌跡的斜率c，即，可解得和兩個根，再代入等斜線方程，得即為相軌跡漸近線的方程。第8章非線性系統(tǒng)分析8.3.3非線性系統(tǒng)的相平面分析相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：（1）將非線性特性分成若干個線性段，分別寫出其數(shù)學表達式。（2）選擇相平面合適的坐標。一般選擇和非線性元件輸入信號有關的量。

（3）根據(jù)每個區(qū)域的線性微分方程確定奇點的位置及類型。（4）在各區(qū)域內畫出各自的相軌跡。（5）把相鄰區(qū)域的相軌跡在區(qū)域邊界上作適當?shù)倪B接。例8-8一非線性系統(tǒng)結構圖如圖。試畫相平面圖并分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。第8章非線性系統(tǒng)分析解：（1）將死區(qū)非線性特性分段線性表示，寫出其數(shù)學表達式為（2）選相平面坐標為（，）。

由非線性特性知可將相平面分為三個線性區(qū)域，如圖。設系統(tǒng)輸入信號為零，即。由系統(tǒng)結構圖寫出其微分方程為Ⅰ區(qū)域（）：

該區(qū)域的線性微分方程為第8章非線性系統(tǒng)分析ⅡⅢⅠⅡ區(qū)域（）：

該區(qū)域的線性微分方程為Ⅲ區(qū)域（）：

該區(qū)域的線性微分方程為設。（3）確定各區(qū)域奇點的位置及類型。①Ⅰ區(qū)域：根據(jù)奇點應滿足的條件由微分方程得

解得奇點位置為（0，0）。

判斷奇點類型。其特征方程為第8章非線性系統(tǒng)分析解得其根為

或為兩個右半平面的共軛復根，或為兩個正實根。所以奇點（0，0）或為不穩(wěn)定焦點或為不穩(wěn)定節(jié)點。如設為不穩(wěn)定焦點。

②Ⅱ區(qū)域：用同樣的方法可求得奇點為（，0），奇點類型或為穩(wěn)定焦點或為穩(wěn)定節(jié)點（設為穩(wěn)定焦點）。為虛奇點。

③Ⅲ區(qū)域：同樣可求得奇點為（，0），為穩(wěn)定焦點或為穩(wěn)定節(jié)點（同樣設為穩(wěn)定焦點），為虛奇點。

（4）繪制各區(qū)域的相軌跡。Ⅰ區(qū)域的相軌跡為向外發(fā)散的螺旋線，Ⅱ區(qū)域和Ⅲ區(qū)域的相軌跡均為向內收斂的螺旋線。如圖。（5）在區(qū)域邊界把相軌跡作適當?shù)倪B接。相平面圖如圖。第8章非線性系統(tǒng)分析例8-9具有飽和非線性特性的系統(tǒng)如圖。試繪制相平面圖。解：（1）飽和非線性特性的分段線性表達式如下：（2）選相平面坐標為（，）。相平面分為三個線性區(qū)域，如圖。

由結構圖可寫出描述系統(tǒng)的微分方程為

即有設輸入為階躍函數(shù)，則在時間時有得：（3）分區(qū)域畫相軌跡第8章非線性系統(tǒng)分析ⅢⅠⅡ為分界線和①在Ⅰ區(qū)域（）：

得微分方程為根據(jù)奇點應滿足的條件

由微分方程得

即奇點位置為（0，0）。特征方程為解得其根為或為兩個左半平面的共軛復根，或為兩個負實根。奇點（0，0）或為穩(wěn)定焦點或為穩(wěn)定節(jié)點。設為穩(wěn)定焦點，其相軌跡見圖。72第8章非線性系統(tǒng)分析②在Ⅱ區(qū)域（），微分方程為

不存在奇點，但存在漸近線。將代入上式，得相軌跡斜率

令其等于常數(shù)c，得等斜線方程可看出，當相軌跡斜率c取不同值時，等斜線為一族水平線，其斜率均為0。所以當相軌跡斜率c與等斜線斜率（為0）相等時的那條等斜線即為相軌跡的漸近線。即令代入等斜線方程得相軌跡的漸近線方程：相軌跡如圖。）

③同理，在Ⅲ區(qū)域（，該區(qū)域微分方程等斜線方程為第8章非線性系統(tǒng)分析令得相軌跡漸近線：，該區(qū)域的相軌