自動控制演示文稿8

自動控制原理

第八章線性采樣系統(tǒng)的分析與綜合

1引論

2采樣系統(tǒng)的Z變換

3脈沖傳遞函數(shù)退出4線性采樣系統(tǒng)的分析5線性采樣系統(tǒng)的綜合與校正退出8.1引論1．概述由于電子計算機進入自動控制領(lǐng)域，出現(xiàn)了數(shù)字計算機控制系統(tǒng)。微型機,小型機及微處理機的大量涌現(xiàn),使計算實時控制技術(shù)的發(fā)展異常迅速?？梢哉f計算機與自動控制的結(jié)合，使自動化技術(shù)進入了嶄新的前所未有的發(fā)展階段。出入數(shù)字計算機的信號都是斷續(xù)的數(shù)字信號，故必須將原來的連續(xù)信號變成斷續(xù)信號，即采樣信號。從某種意義上理解，采樣信號具有人為的性質(zhì)。這樣的控制系統(tǒng)必然在某一處或幾處出現(xiàn)脈沖信號或數(shù)碼信號，通常稱之為采樣控制系統(tǒng)。采樣控制系統(tǒng)由于其控制對象本身是連續(xù)信號部退出件，因而它與離散系統(tǒng)有所區(qū)別；又由于其輸出信號及控制作用的給定都是以數(shù)碼形式出現(xiàn)的，因而它又與連續(xù)系統(tǒng)有所區(qū)別?？偟膩碚f，采樣系統(tǒng)的分析與設(shè)計是按離散系統(tǒng)的方法來處理的，所以常常把它歸結(jié)為離散系統(tǒng)。嚴格地說，這兩者是有區(qū)別的，主要表現(xiàn)在采樣信號與離散信號的描述上。采樣信號（或函數(shù)）是在整個實數(shù)軸上取值，其定義域是一維數(shù)集，而離散信號（或函數(shù)）則是實數(shù)軸上取正整數(shù)，其定義域是孤立點集。離散信號是一類客觀存在的信號，如雷達系統(tǒng)中的脈沖序列信號，數(shù)字系統(tǒng)中的二進制數(shù)碼以及電報信號等，而采樣信號是連續(xù)信號經(jīng)采樣器采樣后人為地得到的，其周期可視實際需要而定。退出2.采樣信號的表示連續(xù)信號經(jīng)采樣后成為采樣信號,如圖所示。退出借助于單位理想狄氏函數(shù)，可得采樣信號表示為式中

退出3．采樣信號的拉氏變換用什么方法來分析采樣系統(tǒng)是一個首要問題。借助于函數(shù)這個有用的數(shù)學(xué)工具，可使仍是連續(xù)時間t的函數(shù)，從而可以進行拉氏變換。對式（1）去拉氏變換后得由式（2）可以看出，的拉氏變換式不是s的多項式，而是s的超越函數(shù)。退出4．信號的復(fù)現(xiàn)討論信號的復(fù)現(xiàn)，首先從研究采樣信號的頻譜特性入手。為此，需要找出與之間的相互聯(lián)系。經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)分析，找出了它們之間的關(guān)系式為

或

采樣控制系統(tǒng)中的被控制對象，執(zhí)行不見通常都是一些模擬部件，如執(zhí)行電機，液壓舵機等。它們都是靠模擬信號工作的。這樣就需要將采樣信號變成連續(xù)信號。退出一般說來，信號經(jīng)采樣得到采樣信號，在信息上是有丟失的，造成了信號的失真。在什么條件下不能保證信息不失去，又能將采樣信號恢復(fù)成連續(xù)信號？香農(nóng)采樣定理告訴我們，要從采樣信號中完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號，必須滿足采樣頻率大于或等于兩信號的采樣器輸入連續(xù)信號頻譜中的最高頻率，即（5）在滿足香農(nóng)定理的條件下，要想不失真地重復(fù)采樣器的輸入信號，還需要一種理想的低通濾波器。在實際工作中，采用零階保持器，可以近似地起到理想低通濾波器的作用。其傳遞函數(shù)為

退出退出8.2采樣系統(tǒng)的z變換1.Z變換如果用拉氏變換來分析采樣系統(tǒng)，則系統(tǒng)的輸出必然是s的超越函數(shù)，求其拉氏反變換是一件十分麻煩的事。經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的努力，尋找了一種z變換法，在這種變換下，使原來的s超越方程變成了一個以z為算子的代數(shù)方程，這一方法的引入使采樣系統(tǒng)的分析在理論上有了大的發(fā)展。Z變換與拉氏變換有類似之處。拉氏變換的每一種運算規(guī)則都有一個相應(yīng)的z變換應(yīng)用。通過這種類比，對理解和掌握z變換是有益的。退出Z變換的定義引入變量（7）式中s是拉氏算子，為采樣周期，z是一個復(fù)數(shù),通稱之為Z變換算子。在式（2）中，令,可得（8）若上述級數(shù)收斂，則稱為采樣信號的z變換。為了書寫方便，通常寫成,但仍理解為是對取Z變換。退出（2）常用函數(shù)的Z變換和Z變換的性質(zhì)1）常用普通時間函數(shù)的Z變換見表8-1表8-1Z變換表退出退出①線性性質(zhì)若,,,為常數(shù)則②平移定理若則若時，有退出③復(fù)域微分定理若則④復(fù)域積分定理若則⑤初值定理若則或退出⑥終值定理若則或⑦迭值定理若,,且當則0，1，2，…

退出⑧乘以指數(shù)序列性質(zhì)若a為整數(shù)，則⑨比例尺變換性質(zhì)若則⑩卷積定理若則退出⑶Z變換的求法求采樣信號的Z變換方法很多，常用的方法有：按定義求，部分分式法，留數(shù)計算法。1)按定義求例1（教材P320,例8-5）例2（教材P320,例8-6）上兩結(jié)論，可當公式用。退出2）部分分式法設(shè)連續(xù)時間函數(shù)的拉氏變換為復(fù)變量s的有理函數(shù)，并且有如下形式：其中，及分別為復(fù)變量s的多項式，并且有以及.將展開成部分分式和的形式，即式中：為的零點，即的極點，且設(shè)為互異單極點;,為常系數(shù).退出由拉氏變換知與項對應(yīng)的原函數(shù)為，又根據(jù),便可求得因此，函數(shù)的Z變換求得為例3（教材P320,例8-7）退出3）留數(shù)計算法已知連續(xù)時間函數(shù)的拉氏變換及其全部極點,則的z變換可通過下列留數(shù)計算式求得，即式中：重極點個數(shù)；彼此不等的極點個數(shù)。例4（教材P315,例8-8）退出2.Z反變換⑴Z反變換的定義由已知的Z變換求相應(yīng)得離散時間序列或,稱為的反變換，并表示為：⑵Z反變換的求法求Z反變換的方法很多，常用的方法有：長除法，部分分式法，留數(shù)計算法。作反變換時，仍假定信號序列是單邊的，即，。退出1）長除法長除法（冪級數(shù)展開法）

Z變換函數(shù),通?？杀硎緸閮蓚€多項式之比，即。用綜合除法將其展成的收斂的冪級數(shù)形式，即式中：就是在各采樣時刻的值。例5（教材P323，例8-9）退出比較系數(shù)法設(shè)據(jù)Z變換定義，有即退出對上述恒等式，同次冪系數(shù)相等，注意到上式左端最高次項是,據(jù)此可以很方便地求出前項系數(shù)值。例6（教材P323，例8-10）2)部分分式法（查表法）這種方法的依據(jù)是Z變換的小線性性質(zhì)，Z變換式通常是z的有理分式。只要將的有理分式展開為部分分式，逐項查Z變換表，就可以得到反變換式。這里與拉氏變換不同的是，不是直接將展開，而是將展開，道理是，在Z變換表上，基本變換式中普遍含有因子z，因此，若展開，即把中的因式z提出來，可保證分解后的各個分式都含有z因子。退出設(shè)先求出的特征根，即將其分母分解因式，形如：在工程上，多有極點都是一階極點的情況，即分母多項式中無重根時，上式則可化為：其中系數(shù),可由式?jīng)Q定：例7（教材P324,例8-11）退出3）留數(shù)計算法據(jù)z變換的定義，得：此式乃是復(fù)變函數(shù)的羅朗級數(shù)展開式的主部。按羅朗級數(shù)求系數(shù)的公式，項的系數(shù)為：故有：退出其積分曲線L包圍的所有極點，設(shè)共有共m個極點，則根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式可改寫為：即等于的全部極點的留數(shù)之和。例8（教材P325,例8-12）退出3）三種z反變換法的比較部分分式法通過Z變換表8-1可方便地求得,留數(shù)計算法可以直接求出序列，因而容易求得。但這兩種方法有一個共同的特點，都需要知道的全部極點,這意味著要求解高階代數(shù)方程，這是一件困難的事，因此在應(yīng)用上有一定的局限性，一般不宜用于高階采樣系統(tǒng)。而長除法卻沒有這種限制，通用性好。它的缺點是計算起來麻煩，而且往往得不到閉合的表示形式。退出脈沖傳遞函數(shù)1.線性采樣系統(tǒng)得脈沖傳遞函數(shù)⑴脈沖傳遞函數(shù)的定義開環(huán)采樣系統(tǒng)如圖B所示，在零初始條件下，輸出脈沖序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比,稱為脈沖傳遞函數(shù)。要注意的是：輸出端是連續(xù)信號，此時要在其輸出端虛設(shè)一個理想同步采樣開關(guān)。所謂零初始條件，是指t<0時，輸入輸出的采樣值均為零。退出退出⑵求脈沖傳遞函數(shù)的一般步驟求得連續(xù)部分的傳遞函數(shù);求得連續(xù)部分的脈沖瞬間響應(yīng);求得采樣的脈沖傳遞函數(shù)的Z變換.例9（教材P328,例8-14）退出2.串聯(lián)元件的脈沖傳遞函數(shù)⑴中間沒有采樣開關(guān)隔開的兩個連續(xù)環(huán)節(jié)的串聯(lián)如圖C所示，為中間沒有采樣開關(guān)的兩個連續(xù)環(huán)節(jié)相串聯(lián)，其脈沖傳遞函數(shù)為：可以推廣到一般情況，若n個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間元件同步開關(guān)隔開時，其脈沖傳遞函數(shù)為：退出退出⑵中間有采樣開關(guān)隔開的兩個連續(xù)環(huán)節(jié)的串聯(lián)如果某系統(tǒng)帶兩個同步采樣開關(guān)，如圖D所示。其脈沖傳遞函數(shù)為：可以推廣到一般情況，若n個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有n個同步開關(guān)隔開時，其脈沖傳遞函數(shù)為：退出退出⑶具有零階保持器的開環(huán)采樣系統(tǒng)如果開環(huán)系統(tǒng)具有零階保持器，如圖E所示。其脈沖傳遞函數(shù)為：例10（教材P330,例8-15）退出3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的位置不同，其閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式也不同，這里僅討論單回路閉環(huán)采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求法。在單回路閉環(huán)采樣系統(tǒng)中，仍然可以定義閉環(huán)脈沖脈沖傳遞函數(shù)，它與連續(xù)系統(tǒng)中的定義稍有不同，以圖F（a）所示系統(tǒng)為例。圖F（b）為圖F（a）的等效系統(tǒng)，這樣在和之間可以定義閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。在連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)的輸入是對其指令輸入信號而言的；而閉環(huán)線性采樣系統(tǒng)的輸入則不一定是系統(tǒng)的指令輸入，而很可能是其經(jīng)某種變換后的輸入。退出退出在圖F（b）所示閉環(huán)線性采樣系統(tǒng)中，其輸入就不是指令信號R(s),而是它經(jīng)變換后，以信號的Z變換

作為該系統(tǒng)的輸入，為了與連續(xù)系統(tǒng)相區(qū)別，用W(z)來表示在這種輸入形式下的閉環(huán)采樣的特性，稱W(z)為等效閉環(huán)線性采樣系統(tǒng)的回路脈沖傳遞函數(shù)，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的。若閉環(huán)線性系統(tǒng)的輸入為指令時，則該閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)仍用表示。實際上，只要單回路閉環(huán)線性采樣系統(tǒng)的前向通道中存在一個實際的采樣開關(guān)，它總可以等效成類似于圖F（b）所示的形式（不同結(jié)構(gòu)形式單回路閉環(huán)采樣系統(tǒng)及其等效結(jié)構(gòu)圖見表8-2）。這樣該系統(tǒng)得W（z）和C（z）是有意義的，也很容易求得。退出表8-2閉環(huán)采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖退出退出有了上述的說明和理解之后，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的的求法，W（z）（或）可方便的求得。以圖F（b）為例，由圖可得而所以故退出由脈沖傳遞函數(shù)的定義可得：因而：

（20）在采樣線性系統(tǒng)的分析中，感興趣的常常不是W（z）（或）的形式，而是系統(tǒng)的輸出C（z）的表示式。下面著重討論C（z）的計算方法。退出4、C（z）的計算公式（單回路梅森公式的推廣）在上面的討論中，輸出C（z）是先定義W（z），然后按式（20）求得的。實際上，求閉環(huán)系統(tǒng)的輸出C（z）完全不必先求W（z），也不必將系統(tǒng)化成類似圖F（b）所示的形式，只要該系統(tǒng)前向通道中有一個實際采樣開關(guān)存在，就可以根據(jù)該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式，用視察法直接求出C（z）,通過歸納的方法，可得C（z）的計算公式為（21）退出式中，為開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。開環(huán)的定義與連續(xù)系統(tǒng)中的定義略有不同，不是從主反饋處斷開，而是從任一采樣開關(guān)處斷開，沿信號方向走一周而構(gòu)成的。既然是開環(huán)，便可按開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的定義求得。為前向通道中輸出量的Z變換，它可看成是開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。如果將輸入R（s）視為前向通道中的一個環(huán)節(jié)，則是包括輸入R（s）在內(nèi)的有輸入至輸出的前向通道的Z變換函數(shù)。故亦可按開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)定義求得。退出綜上所述，求閉環(huán)線性采樣系統(tǒng)的輸出Z變換C（z），歸結(jié)為求兩個開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和。需要指出的是，對于多回路閉環(huán)線性采樣系統(tǒng)，目前尚無類似單回路梅森公式那樣通用的計算公式去計算C（z）。使閉環(huán)采樣系統(tǒng)得結(jié)構(gòu)圖如圖G所示。對圖G（a）所示的系統(tǒng)，從形式上看，似乎在r（t）與c（t）之間無采樣開關(guān)，但實際上對輸出c（t）進行了采樣，其等效結(jié)構(gòu)圖如圖G（b）和G（c）所示，這樣的系統(tǒng)，W（z）和C（z）是有意義的，故C（z）可以求出。由圖G（c）可以求得：。退出退出退出因此事實上，由圖G（a）,用視察法可求得和。在采樣系統(tǒng)的分析中，并不是所有的單回路閉環(huán)采樣系統(tǒng)的C（z）都能計算出來。設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖H所示，雖然在該系統(tǒng)中也有采樣開關(guān)存在，也可稱之為采樣系統(tǒng)，但由于前向通道中無采樣開關(guān)存在，現(xiàn)有的采樣開關(guān)既不對輸入的信號r（t）采樣，也不對輸出c（t）采樣，因此，它無法化成圖F（b）類似的等效系統(tǒng)，不能定義回路脈沖中傳遞函數(shù)W（z），故該系統(tǒng)的C（z）無定義。退出退出§8-4線性采樣系統(tǒng)的分析1、線性采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）一般概念穩(wěn)定性是指線性采樣系統(tǒng)的重要問題，一個系統(tǒng)只有穩(wěn)定才能正常工作。在線性連續(xù)系統(tǒng)的分析中，我們曾經(jīng)指出，穩(wěn)定系統(tǒng)的特征方程的根全部位于s平面的左半部。這一概念也適用于線性采樣系統(tǒng)。線性采樣系統(tǒng)特征方程可以令脈沖傳遞函數(shù)的分母為零而得到，特征方程根的位置就確定了系統(tǒng)是否穩(wěn)定。為了在z平面上討論線性采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們必須知道s平面和z平面的對應(yīng)關(guān)系。退出（2）s平面與z平面的映射關(guān)系由于z變換中定義：，設(shè)則，，得這樣就有如下圖所示的s平面與z平面的映射關(guān)系又設(shè)，便可得到s平面，z平面，w平面互相影射的關(guān)系。退出退出退出（3）判穩(wěn)方法①該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根（）均分布在z平面上以原點為中心的單位圓內(nèi)，即（）。例11（教材第328頁例8-16）②推廣的勞斯穩(wěn)定判據(jù)：在線性采樣系統(tǒng)中，對z的有理多項式，經(jīng)的雙線性變換，得到w的代數(shù)方程就可以應(yīng)用勞斯判據(jù)判穩(wěn)了。為了區(qū)別s平面下的勞斯判據(jù)，稱w平面下的勞斯判據(jù)為推廣的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。例12（教材第336頁例8-17）退出③舒爾---柯恩穩(wěn)定判據(jù)：通過線性采樣系統(tǒng)的特征方程，構(gòu)造行列式。是2k行2k列的行列式，把各階行列式按順序排成。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

（22）例13（教材第337頁例8-18）k為奇數(shù)k為偶數(shù)退出2、線性采樣系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)通過閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，求出系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出響應(yīng)，可以分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。根據(jù)系統(tǒng)在z平面上的零、極點分布，也可以估計系統(tǒng)的動態(tài)性能。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與極點位置關(guān)系圖如圖K所示。退出退出3、穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)性能是系統(tǒng)重要性能指標之一，通常用穩(wěn)態(tài)誤差表示。下面討論一下穩(wěn)態(tài)誤差的求法。（1）通過查響應(yīng)曲線根據(jù)線性采樣系統(tǒng)的響應(yīng)曲線或響應(yīng)誤差曲線，然后在情況下，由與的差值或直接由響應(yīng)誤差求取系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。這里為系統(tǒng)響應(yīng)的過渡過程時間。注意：是從開始計算，使誤差變量對于t的函數(shù)。在工程上，一般取（正好是采樣點），或t略大于（不是采樣點）的采樣點，所對應(yīng)的時間求穩(wěn)態(tài)誤差。退出（2）誤差系數(shù)法求取誤差系數(shù)（23）代入（24）在代入（25）例14（教材第337頁例8-20）退出（3）應(yīng)用終值定理求取如圖L所示系統(tǒng)，e（t）為系統(tǒng)誤差連續(xù)信號，為系統(tǒng)采樣信號，由終值定理可以求出線性采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

（26）例15（教材345頁例8-21）退出退出§8-5線性采樣系統(tǒng)的綜合與校正一般說來，線性采樣系統(tǒng)的綜合與校正，可以分別在s域，z域或w域中進行，其綜合與校正的方法可以應(yīng)用對數(shù)頻率法，根軌跡法和最少拍系統(tǒng)法等。前二者與連續(xù)系統(tǒng)綜合與校正法類似，這里僅簡單介紹最少拍系統(tǒng)的綜合與校正方法。1、對數(shù)控制器的脈沖傳遞函數(shù)在圖M所示線性采樣系統(tǒng)中，設(shè)反饋通道傳遞函數(shù),保持器和控制對象合在一起記為，稱為廣義控制對象，取得單位反饋線性采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：（27）退出退出閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為（28）其D（z）位數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，在計算機控制系統(tǒng)中，D（z）是由計算機實現(xiàn)的。由上兩式，可分別求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為（29）（30）式（29）及式（30）表明，根據(jù)線性采樣系統(tǒng)的連續(xù)部分脈沖傳遞函數(shù)G（z）及閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或，可確定出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D（z）.退出2、最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（1）最少拍系統(tǒng)的定義它的定義是指：系統(tǒng)在典型的輸入信號作用下，經(jīng)過最少采樣周期，使得輸出穩(wěn)態(tài)誤差為零，達到完全跟蹤。（2）最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)典型輸入信號的一般形式為（31）由最少拍系統(tǒng)定義，得（32）若,得（33）退出（3）典型信號作用下的對不同類型的典型輸入型號，最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)如表8-3所示。表8-3典型信號作用下最少拍系統(tǒng)的退出3.零極點分布與最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)設(shè)廣義被控制對象的脈沖傳遞函數(shù)為式中：是G（z）的零點；是G（z）的極點。退出則數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

（34）由式（34）可見：①若D（z）中存在環(huán)節(jié)，則表示數(shù)字控制器應(yīng)具有超前特性，即在環(huán)節(jié)施加信號之前個采樣周期時，這樣的超前環(huán)節(jié)是不可能實現(xiàn)的，所以G（z）分子中含有因子時，必須使閉環(huán)Z傳遞函數(shù)的分子含有因子，從而保證D（z）可實現(xiàn)。②在式（34）中，若中存在單位圓外退出的時，則D（z）是發(fā)散的，所以只能把G（z）中的零點作為的零點，從而保證D（z）的穩(wěn)定性。③由式（34），得最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為若對象特性G（z）的極點中有單位圓上或圓外的極點時，為了保證系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定，G（z）的單位圓上或圓外的極點不允許采用增加D（z）的零點來對消G（z）的不穩(wěn)定極點的方法，因為被控制對象參數(shù)的微小飄移，將是可能對消不完全，造成輸出的不穩(wěn)定。因此，G（z）的不穩(wěn)定極點，只能用的零點來對消。退出下面舉例消化上述所講的內(nèi)容。例16設(shè)單位反饋線性采樣系統(tǒng)的連續(xù)部分及零階保持器的傳遞函數(shù)分別為已知采樣周期，試基于最少拍系統(tǒng)概念設(shè)計能使給定系統(tǒng)響應(yīng)的響應(yīng)過程具有盡可能短的調(diào)整時間的數(shù)字控制器