自動控制第二章2.1(10.3.11)

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1引言2-2微分方程的建立及線性化2-3傳遞函數(shù)2-4結(jié)構(gòu)圖2-5信號流圖Part2.1.1

數(shù)學(xué)模型的定義系統(tǒng)示意圖系統(tǒng)框圖Remember恒溫箱自動控制系統(tǒng)?Part2.1.1

數(shù)學(xué)模型的定義系統(tǒng)框圖

t

u2

u

ua

n

v

u

t由若干個(gè)元件相互配合起來就構(gòu)成一個(gè)完整的控制系統(tǒng)。系統(tǒng)是否能正常地工作，取決各個(gè)物理量之間相互作用與相互制約的關(guān)系。物理量的變換，物理量之間的相互關(guān)系信號傳遞體現(xiàn)為能量傳遞（放大、轉(zhuǎn)化、儲存）由動態(tài)到最后的平衡狀態(tài)--穩(wěn)定運(yùn)動一.數(shù)學(xué)模型1.定義

描述系統(tǒng)內(nèi)部物力量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式即數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計(jì)自動控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。

2.為什么要建立數(shù)學(xué)模型從理論上對系統(tǒng)的系統(tǒng)的性能進(jìn)行定量的分析和計(jì)算；運(yùn)動規(guī)律相同的控制系統(tǒng)可以用一個(gè)運(yùn)動方程來表示；如：機(jī)械平移系統(tǒng)--------RLC電路3.表示形式

a.微分方程

b.傳遞函數(shù)

c.頻率特性三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換4.建立方法

a.分析計(jì)算法

分析計(jì)算法是根據(jù)支配系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)動規(guī)律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，推導(dǎo)出輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型——適用于簡單的系統(tǒng)。

b.工程實(shí)驗(yàn)法

根據(jù)對系統(tǒng)的觀察，通過測量所得到的大量輸入、輸出數(shù)據(jù)，推斷出被研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

二.線性系統(tǒng)1.定義：如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。

線性元件：具有迭加性和齊次性的元件。非線性元件：不具有迭加性和齊次性的元件。

若元件輸入為r（t）、r1（t）、r2（t）對應(yīng)的輸出為c（t）、c1（t）、c2（t）如果r（t）=r1（t）+r2（t）時(shí)，

c（t）=c1（t）+c2（t）滿足迭加性如果r（t）=a·r1（t）時(shí)，

c（t）=a·c1（t）滿足齊次性滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件。2.重要特點(diǎn)：對線性系統(tǒng)可以應(yīng)用迭加性和齊次性，對研究帶來了極大的方便。

迭加性的應(yīng)用

欲求系統(tǒng)在幾個(gè)輸入信號和干擾信號同時(shí)作用下的總響應(yīng)，只要對這幾個(gè)外作用單獨(dú)求響應(yīng)，然后加起來就是總響應(yīng)。

齊次性表明

當(dāng)外作用的數(shù)值增大若干倍時(shí)，其響應(yīng)的數(shù)值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對系統(tǒng)進(jìn)行分析——簡化了問題。一.微分方程的建立微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型，要研究系統(tǒng)的運(yùn)動，必須列寫系統(tǒng)的微分方程。一個(gè)控制系統(tǒng)由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據(jù)各個(gè)元件的物理規(guī)律，列寫各個(gè)元件的微分方程，得到一個(gè)微分方程組，然后消去中間變量，即得控制系統(tǒng)總的輸入和輸出的微分方程。2-2微分方程的建立及線性化例1.機(jī)械平移系統(tǒng)求在外力F(t)作用下，物體的運(yùn)動軌跡。mkF(t)x(t)位移阻尼系數(shù)f阻尼器彈簧首先確定：輸入F(t),輸出x(t)其次：理論依據(jù)1.牛頓第二定律物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積2.牛頓第三定律作用力等于反作用力,現(xiàn)在我們單獨(dú)取出m進(jìn)行分析，這里不考慮重力的影響。mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力寫微分方程時(shí)，常習(xí)慣于把輸出寫在方程的左邊，輸入寫在方程右邊，而且微分的次數(shù)由高到低排列。機(jī)械平移系統(tǒng)的微分方程為：例2.RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓uc(t)的變化。rLCur(t)uc(t)i(t)電氣系統(tǒng)三元件電阻電容電感電學(xué)：歐姆定理、基爾霍夫定律。依據(jù)：電學(xué)中的基爾霍夫定律由（2）代入（1）得：消去中間變量i(t)（兩邊求導(dǎo)）這兩個(gè)式子很相似，故可用電子線路來模擬機(jī)械平移系統(tǒng)，這也證明了我們前面講到的，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運(yùn)動規(guī)律，可用相同的數(shù)學(xué)模型來描述。整理成規(guī)范形式上題機(jī)械平移系統(tǒng)的微分方程建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟如下：在條件許可下適當(dāng)簡化，忽略一些次要因素。根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量；分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程；消去中間變量，得到元件的輸入與輸出之間關(guān)系的微分方程式。二、非線性方程的線性化

幾乎所有元件或系統(tǒng)的運(yùn)動方程都是非線性方程。但在比較小的范圍運(yùn)動來說，把這些關(guān)系看作是線性關(guān)系，是不會產(chǎn)生很大誤差的。方程式一經(jīng)線性化，就可以應(yīng)用迭加原理。

飽和非線性死區(qū)非線性間隙非線性繼電器非線性2.2.1常見非線性情況單擺(非線性)是未知函數(shù)的非線性函數(shù)，所以是非線性模型。單擺模型(線性化)有條件存在，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；2.2.2

線性化問題的提出可以應(yīng)用疊加原理，以及應(yīng)用線性理論對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。線性系統(tǒng)缺點(diǎn)：線性系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)：線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內(nèi)用近似的線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。線性化方法：在一定條件下，忽略次要因素的影響，將一些元件視為線性元件；切線法(小偏差法）：特別適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)。設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為y=f（x），如圖2.5所示。圖2.5小偏差線性化示意圖取某平衡狀態(tài)A為工作點(diǎn),對應(yīng)有。當(dāng)時(shí)，有。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)可微，則將它在該點(diǎn)附近用泰勒級數(shù)展開為：當(dāng)增量很小時(shí)，略去其高次冪項(xiàng)，則有:

令則線性化方程可簡記為:

略去增量符號，便得到函數(shù)在工作點(diǎn)附近的線性化方程為y=Kx。單變量函數(shù)泰勒級數(shù)法函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0,y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：略去含有高于一次的增量?x=x-x0的項(xiàng)，則：注：非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。注：y=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程多變量函數(shù)泰勒級數(shù)法增量方程靜態(tài)方程

[例3]鐵心線圈電路如圖2.6（a）所示，其磁通Φ與線圈中電流i之間關(guān)系如圖2.6（b）所示。試列寫以ur為輸入量，i為輸出量的電路微分方程。圖2.6鐵心線圈電路及其特性解：設(shè)鐵芯線圈磁通變化時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電勢為（2.20）（2.21）（2.22）式（2.22）便是鐵心線圈在平衡點(diǎn)的增量線性化方程。總結(jié)：要建立整個(gè)系統(tǒng)的線性化微分方程式，首先確定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，各元件的工作點(diǎn)；然后列出各元件在工作點(diǎn)附近的偏量方程式，消去中間變量；最后得到整個(gè)系統(tǒng)以偏量表示的線性化方程式。這種小偏差線性化方法特別適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)。一.拉氏變換1.定義：設(shè)函數(shù)f(t)滿足：

1f(t)實(shí)函數(shù)； 2當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0；

3當(dāng)t0時(shí)，則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jω（σ，ω均為實(shí)數(shù)）；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù);f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。2-3傳遞函數(shù)高等函數(shù)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù)2.常用函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù)的拉氏變換階躍函數(shù)的拉氏變換冪函數(shù)的拉氏變換（歐拉公式）三角函數(shù)的拉氏變換洛必達(dá)法則單位脈沖函數(shù)拉氏變換幾個(gè)重要的拉氏變換(牢記!

)3.拉氏變換的基本性質(zhì)

(1)線性性質(zhì)原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。

(2)微分性質(zhì)若，則有

f(0)為原函數(shù)f(t)在t=0時(shí)的初始值。

證：根據(jù)拉氏變換的定義有

原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

像函數(shù)中s的高次代數(shù)式(3)積分性質(zhì)若則式中為積分當(dāng)t=0時(shí)的值。證：設(shè)則有由上述微分定理，有即：同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以。（4）.終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。證：由微分定理，有等式兩邊對s趨向于0取極限注：若時(shí)f(t)極限不存在，則不能用終值定理。如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。(5)初值定理：證明方法同上。只是要將取極限。(6)位移定理：a.實(shí)域中的位移定理，若原函數(shù)在時(shí)間上延遲，則其象函數(shù)應(yīng)乘以b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以即：(7)時(shí)間比例尺定理原函數(shù)在時(shí)間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即：證：(8)卷積定理兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象函數(shù)的乘積。即

證明：

小結(jié)：拉氏變換的主要運(yùn)算定理線性定理微分定理積分定理位移定理延時(shí)定理卷積定理初值定理終值定理二.拉氏反變換

1.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。

若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：例3.2.拉式反變換——部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點(diǎn),這時(shí),F(s)總能展開成如下簡單的部分分式之和式中是D(s)=0的根，稱為F(s)的極點(diǎn)。（