計算機控制技術課件：第7章控制規(guī)律的離散化設計方法(z變換、大林算法、D(Z)的計算機實現(xiàn))

第5章控制規(guī)律的離散化設計方法5.1離散系統(tǒng)分析基礎5.2離散系統(tǒng)性能分析5.3數(shù)字控制器直接設計5.4大林(Dahlin)算法5.5數(shù)字控制器D(z)算法實現(xiàn)5.1離散系統(tǒng)分析基礎在連續(xù)系統(tǒng)分析中，應用拉氏變換作為數(shù)學工具，將描述系統(tǒng)的微分方程轉化為代數(shù)方程，建立了以傳遞函數(shù)為基礎的復域分析法，使得問題得以大大簡化。 在離散系統(tǒng)分析中，采用Z變換法，也可以將差分方程轉化為代數(shù)方程，同樣可以建立以Z傳遞函數(shù)為基礎的復域分析法。

5.1.1Z變換及性質

1.Z變換定義

Z變換是拉氏變換的一種變形，是由采樣函數(shù)的拉氏變換演變而來的。 在一定條件下，微機控制系統(tǒng)中的采樣可假設為理想采樣。將連續(xù)信號e(t)通過采樣周期為T的理想采樣后可得到采樣信號e*(t)。

e*(t)是一組理想的脈沖序列，每一個采樣時刻的脈沖強度等于該采樣時刻的連續(xù)函數(shù)值，其表達式為

(5―1)對式(5―1)進行拉氏變換，得(5―2)式中含有無窮多項，且每一項中含有e-kTs。為了運算方便，引入新的變量z，令z=eTs，則式(5―2)可改寫為(5―3)在式(5―3)中E(z)稱為e*(t)的Z變換。記作：Z［e*(t)］=E(z)因為Z變換只對采樣點上的信號起作用，所以也可寫為：Z［e(t)］=E(z)將式(5―3)展開，得E(z)=e(0)z-0+e(1)z-1+e(2)z-2+…+e(m)z-m+…(5―4)由此看出，采樣函數(shù)的Z變換是變量z的冪級數(shù)。其一般項e(kT)·z-k的物理意義是z的冪次表征采樣脈沖出現(xiàn)的時刻；e(kT)表征采樣脈沖的幅值。

2.Z變換的計算方法求任意函數(shù)e(t)的Z變換，通常分三步進行：①e(t)被理想采樣器采樣，給出離散采樣函數(shù)e*(t)；②求e

*(t)的拉氏變換，給出③在E

*(s)中用z替換eTs，給出

Z變換的計算方法有以下幾種：

1)級數(shù)求和法 級數(shù)求和法就是根據(jù)Z變換的定義式，求函數(shù)e(t)的Z變換。 下面通過典型信號的Z變換式來說明如何應用級數(shù)求和法計算Z變換?！纠?―1】求單位階躍函數(shù)的Z變換解：設e(t)=1，求Z變換E(z)。由定義可得：(5―5)這是一個公比為z-1的等比級數(shù)，當|z-1|<1亦即|z|＞1時，級數(shù)收斂，則式(5―5)可寫成閉合形式：(5―6)【例5―2】單位斜坡信號。解：設e(t)=t，求Z變換E(z)，則(5―7)【例5―3】指數(shù)函數(shù)。解設e(t)=e-at，求Z變換E(z)，a為實常數(shù)，則(5―8)這是一個公比為e-aT·z-1的等比級數(shù)，當|e-aT·z-1|<1時，級數(shù)收斂，則式(5―8)可寫成閉合形式：(5―9)

2)部分分式展開法用部分分式展開法求Z變換，即已知時間函數(shù)e(t)的拉氏變換E(s)，求該時間函數(shù)e(t)的Z變換。 其解法的具體步驟是：己知E(s)，將其分解成部分分式之和，查變換表求時間函數(shù)e(t)＝L-1［E(s)］，利用式(5―3)或查Z變換表求出E(z)。設連續(xù)時間函數(shù)ｅ(t)的拉氏變換E(s)為有理分式函數(shù)(5―10)式(5―10)中，M(s)和N(s)分別為復變量ｓ的有理多項式。 當N(s)沒有重根(即E(s)沒有重極點)時，可將E(s)展開成部分分式和的形式，即(5―11)式(5―11)中，pi是拉氏變換式E(s)的第i個極點，即N(s)的零點；Ai是第i項系數(shù)，可用待定系數(shù)法求得，即當N(s)已分解為因式乘積時(5―12)

由拉氏變換知道，與Ai/(s-pi)相對應的時間函數(shù)為Ai·epit。 根據(jù)式(5―9)便可求得與Ai/(s-pi)項對應的Z變換為因此，函數(shù)ｅ(t)的Z變換便可由E(s)求得，并可寫作(5―13)【例5―4】已知，求它的Z變換E(z)。解：先對E(s)進行部分分式分解查表得

3)留數(shù)計算法若己知連續(xù)時間函數(shù)e(t)的拉氏變換式E(s)及其全部極點pi(i＝1，2，…，n)，則e(t)的Z變換還可以通過下列留數(shù)計算求得，即(5―14)式中，n為全部極點數(shù)，ri為極點ｓ＝pi的重數(shù)，T為采樣周期。因此，在已知連續(xù)函數(shù)e(t)的拉氏變換式E(s)全部極點pｉ的條件下，可采用式(5―14)求e(t)的Z變換式?！纠?―5】已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，求其Z變換式。解：由傳遞函數(shù)求出的極點為：s1=-1，r1=1；

s2=-4，r2=1。Z變換式為【例5―6】求連續(xù)時間函數(shù)對應的Z變換式。解：e(t)的拉氏變換為則s1,2=-a，r1,2=2。用式(5―14)對它進行變換后，得

3.Z變換基本定理與拉氏變換類似，在Z變換中也有一些基本定理，它們可以使Z變換變得簡單和方便。

1)線性定理若已知e1(t)和e2(t)有Z變換分別為E1(z)和E2(z)，且a1和a2為常數(shù)，則Z［a1e1(t)±a2e2(t)］=a1E1(z)±a2E2(z)(5―15)

2)右位移定理（延遲定理）若Z［e(t)］=E(z)，則Z［e(t-nT)］=z-nE(z)(5―16)其中，n為正整數(shù)。說明：該定理表明，“t”域中的采樣信號e*(t)時間上延遲n步，則對應于在“z”域中ｅ*(t)的Z變換E(z)乘以n步延遲因子z-n。

3)左位移定理（超前定理）若Z［e(t)］=E(z)，則(5―17)其中，n為正整數(shù)?！纠?―7】求被延遲一個采樣周期T的單位階躍函數(shù)的Z變換。解：應用右移位(延遲)定理，有

4)復位移定理若函數(shù)e(t)有Z變換E(z)，則(5―18)式中，a是常數(shù)。

5)初值定理若Z［e(t)］=E(z)，且極限存在，則當t=0時的采樣信號e*(t)的初值e(0)取決于的極限值，即(5―19)

6)終值定理若Z［e(t)］=E(z)，且(1-z-1)E(z)在單位圓上和單位圓外無極點(該條件確保e

*(t)存在有界終值)，則有(5―20)根據(jù)初值定理和終值定理，可以直接由Z變換式E(z)獲得相應的采樣時間序列e(kT)的初值和終值?！纠?―8】已知Z變換為，其中|a|<1。求序列e(kT)的初值和終值。解：(1)由初值定理，得e(kT)的初值為(2)因極點|a|<1，在單位圓內(nèi)故可以利用終值定理求終值，即

5.1.2Z反變換

1.長除法通常E(z)是z的有理函數(shù)，可表示為兩個z的多項式之比，即(5―21)對式(5―21)用分子除以分母，并將商按z-1的升冪排列，有(5―22)式(5―22)恰為Z變換的定義式，其系數(shù)ck(k=0，1，2，…)就是e(t)在采樣時刻t=kT時的值e(kT)。 此法在實際中應用較為方便，通常計算有限n項就夠了，缺點是要得到e(kT)的一般表達式較為困難?！纠?―9】已知試求其Z反變換。解應用上面的長除法，可得E(z)=10z-1+30z-2+70z-3+…

所以e*(t)=0+10δ(t-T)+30δ(t-2T)+70δ(t-3T)+…

2.部分分式展開法Z變換函數(shù)E(z)可用部分分式展開的方法將其變成分式和的形式，然后通過Z變換表(見附錄)找出展開式中每一項所對應的時間函數(shù)e(t)，并將其轉變?yōu)椴蓸有盘杄*(t)。

參照Z變換表可以看到，所有Z變換函數(shù)E(z)在其分子上都有因子z。因此，我們可以先把E(z)除以z，并將E(z)/z展開成部分分式，然后將所得結果的每一項都乘以z，即得E(z)的部分分式展開式。

下面按E(z)的特征方程有、無重根兩種情況舉例說明。1)特征方程無重根【例5―10】給定Z變換式中a是常數(shù)，用部分分式法求E(z)的Z反變換e*(t)。解E(z)的特征方程式為(z-1)(z-e-aT)=0，解之得

z1=1，z2=e-αT將E(z)/z展成部分分式可得所以查Z變換表得所以采樣函數(shù)為

2)特征方程有重根【例5―11】已知Z變換解：E(z)的特征方程式為，求其Z反變換。解得z1,2=1為兩重根。設可得再將上式兩端對z求導，得所以故查表得所以采樣函數(shù)為3.留數(shù)計算法式中，n是E(z)zk-1的極點數(shù)；Res[E(z)zk-1]z=zi表示E(z)zk-1在E(z)極點zi上的留數(shù)。已知Z變換函數(shù)E(Z)，可用留數(shù)計算法求其反變換。當zi為非重極點時，當zi為ri重極點時，【例5―12】已知Z變換試用留數(shù)計算其Z反變換。解：E(z)的兩個極點是z1=1，z2=e-aT，則采樣函數(shù)為【例5―13】已知Z變換

試用留數(shù)計算其Z反變換。

解：E(z)的兩個極點z1,2=0.5，則采樣函數(shù)為說明：用留數(shù)計算法求出的Z反變換式是閉合形式。

5.1.3用Z變換解差分方程在連續(xù)系統(tǒng)中，用拉氏變換求解微分方程，使復雜的微積分運算變成簡單的代數(shù)運算。 同樣在線性離散系統(tǒng)中，用Z變換求解差分方程，既是將求解運算變換為以z為變量的代數(shù)方程進行代數(shù)運算。

差分方程：在線性離散系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)輸入采樣信號與輸出采樣信號關系的方程。

例如：

求解差分方程：就是已知差分方程及輸入采樣脈沖序列,在給定輸出采樣脈沖序列初始值的情況下,求解輸出采樣脈沖序列。

用Z變換求解差分方程主要用到Z變換的

左位移定理（超前定理）

右位移定理（延遲定理）Z［e(t-nT)］=z-nE(z)用Z變換求解差分方程的一般步驟： (1)對差分方程作Z變換； (2)利用已知初始條件或求出的Y(0)，Y(T)代入Z變換； (3)由Z變換式，將差分方程變?yōu)橐詚為變量的代數(shù)方程:(4)由Y(Z)得y(kT)=Z-1{Y(z)}，運用長除法、部分分式法或留數(shù)計算法求解它的時間響應y(kT)?！纠?―14】已知x(n+2)+3x(n+1)+2x(n)=0的初始條件為x(0)=0，x(1)=1，試求其時間響應式。解:根據(jù)左移定理，其差分方程的Z變換式為z2X(z)-z2x(0)-zx(1)+3zX(z)-3zx(0)+2X(z)=0整理后得查表得所以有即時間響應為x(n)=(-1)n-(-2)nn=0,1,2,…【例5―15】用Z變換方法求差分方程y(k+2)-1.2y(k+1)+0.32y(k)=1.2u(k+1)已知y(0)=1，y(1)=2.4，u(0)=1，u(k)=1(k)為單位序列。解：對差分方程等號兩邊進行Z變換，得z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)-1.2zY(z)+1.2zy(0)+0.32Y(z)=1.2zU(z)-1.2zu(0)同類項合并，得(z2-1.2z+0.32)Y(z)=1.2zU(z)+(z2-1.2z)y(0)+zy(1)-1.2zu(0)將初始值代入整理，得又因

，得上式有三個單極點：0.8，0.4，1。用留數(shù)計算可得

5.1.4脈沖傳遞函數(shù)及方框圖分析

在分析線性常系數(shù)離散系統(tǒng)時，z傳遞函數(shù)是個很重要的概念，將用z傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)特性。

1.傳遞函數(shù)定義z傳遞函數(shù)又稱脈沖傳遞函數(shù)。 如果系統(tǒng)的初始條件為零，輸入信號為r(t)，經(jīng)采樣后r*(t)的Z變換為R(z)，連續(xù)部分輸出為c(t)，采樣后c*(t)的Z變換為C(z)，如圖5―1所示。

開環(huán)傳遞函數(shù)定義為輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比，用G(z)表示圖5―1開環(huán)采樣系統(tǒng)若已知系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)G(z)及輸入信號的Z變換R(z)，則輸出的采樣信號就可求得，即c*(t)=Z-1［C(z)］=Z-1［G(z)R(z)］因此，求解c*(t)關鍵就在于怎樣求出系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)G(z)。

2.脈沖傳遞函數(shù)的求法

（1）由差分方程求 其方法為： 1）令初始條件為零，對差分方程兩邊作為z變換（查z變換表及用z變換定理）； 根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，求出脈沖傳遞函數(shù)G(z)=C(z)/R(z)。

（2）由系統(tǒng)連續(xù)信號的傳遞函數(shù)G(s)求 其方法為： 1）對G(s)展成部分分式； 2）查Z變換表求出各個分式的z變換，其結果即為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

（3）由系統(tǒng)結構圖求【例5―16】設連續(xù)對象的傳遞函數(shù)為，試求其z傳遞函數(shù)。解系統(tǒng)的連續(xù)部分應包括零階保持器，因此傳遞函數(shù)為其z傳遞函數(shù)為

3.串聯(lián)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)求法與連續(xù)傳遞函數(shù)求法類似。 不過，離散環(huán)節(jié)串聯(lián)時傳遞函數(shù)的求法更復雜些。此時，有三種情況需要考慮，如圖5―2所示。圖5―2三種環(huán)節(jié)串聯(lián)形式圖5―2(a)為兩個已經(jīng)離散的環(huán)節(jié)串聯(lián)，其總的脈沖傳遞函數(shù)G(z)等于兩個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積，即G(z)=G1(z)G2(z)； 圖5―2(b)為兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，其總的傳遞函數(shù)G(z)就等于兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)后再取Z變換，即G(z)=Z［G1(s)G2(s)］； 圖5―2(c)為兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，但中間有采樣開關，這時總的傳遞函數(shù)G(z)就等于兩個環(huán)節(jié)取Z變換后再相乘，即G(z)=Z［G1(s)］Z［G2(s)］=G1(z)G2(z)。

由此可以得出結論：(1)當開環(huán)系統(tǒng)由兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而環(huán)節(jié)之間無采樣開關隔開時，開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的相應Z變換。 顯然，這個結論可以推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)而無采樣開關隔開的情況，這時整個開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于n個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的Z變換，即

G(z)=Z［G1(s)G2(s)…Gn(s)］=G1G2…Gn(z)

注意：G1(z)G2(z)…Gn(z)≠G1G2…Gn(z)(2)當開環(huán)系統(tǒng)由兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而環(huán)節(jié)之間有采樣開關時，開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)之乘積。 這一點也可以推廣到n個線性單元串聯(lián)，每個中間都有采樣開關隔開，其ｚ傳遞函數(shù)為

4.并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)圖5―3(a)為離散環(huán)節(jié)并聯(lián)，總的脈沖傳遞函數(shù)為

G(z)=G1(z)+G2(z)； 圖5―3(b)為連續(xù)環(huán)節(jié)并聯(lián)，但輸入輸出帶采樣開關，其總的脈沖傳遞函數(shù)為

G(z)=Z［G1(s)+G2(s)］=G1(z)+G2(z)； 圖5―3(c)為分別帶采樣開關的連續(xù)環(huán)節(jié)并聯(lián)，其總的脈沖傳函為

G(z)=Z［G1(s)］+Z［G2(s)］=G1(z)+G2(z)。圖5―3三種環(huán)節(jié)并聯(lián)形式【例5―17】已知,分別將它連成圖5-2(b)、(c)形式,試分別求它們各自的傳遞函數(shù)G(z)。解①按圖5―2(b)的結構②按圖5―2(c)的結構說明：由例5―17可知，系統(tǒng)結構不同，G(z)值就不一樣。這一結論對環(huán)節(jié)作并聯(lián)時也適用。

5.閉環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)傳遞函數(shù)：在閉環(huán)系統(tǒng)中，輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比。【例5―18】一個計算機控制系統(tǒng)的結構如圖5―5所示，試求該系統(tǒng)的閉環(huán)z傳遞函數(shù)。圖5―5計算機控制系統(tǒng)結構圖解由圖可知幾種信號的關系如下：C(s)=Gh(s)Go(s)U*(s)=G(s)D*(S)E*(s)(其Z變換式為C(z)=G(z)D(z)E(z))E(s)=R(s)-H(s)G(s)D*(s)E*(s)(其Z變換式為E(z)=R(z)-HG(z)D(z)E(z))所以C(z)=D(z)G(z)R(z)-D(z)HG(z)C(z)故閉環(huán)傳遞函數(shù)為對其它結構的系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（見下表）

5.2控制規(guī)律的離散化設計方法

計算機控制系統(tǒng)控制規(guī)律的設計，其任務是在給定系統(tǒng)性能指標的條件下，在已知被控制對象的前提下，設計出數(shù)字調節(jié)器（控制器）的數(shù)學模型，使系統(tǒng)達到要求的性能指標。 計算機控制系統(tǒng)控制規(guī)律的設計方法可分為：離散化設計方法、模擬化設計方法、狀態(tài)空間法設計方法和復雜控制規(guī)律設計方法4類。

離散化設計方法，就是假定對象本身是離散化模型或者用離散化模型表示的連續(xù)對象，以采樣理論為基礎，以Z變換為工具，在Z域中直接設計出數(shù)字調節(jié)器D(Z)。這種設計法也稱Z域設計法或直接數(shù)字化設計法。本章主要介紹數(shù)字調節(jié)器（控制器）的離散化設計方法。5.2.1直接數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

在離散化設計方法中，通常假定系統(tǒng)為圖5-1的典型結構。

圖5-1計算機控制系統(tǒng)的典型結構+對象D(z)——數(shù)字控制器；Ho

(s)—保持器(本書用零階保持器)；Go(s)——控制對象傳遞函數(shù)；Φ(z)——系統(tǒng)閉環(huán)Z(脈沖)傳遞函數(shù)；R(z)——輸入信號的Z變換；Y(z)——輸出信號的Z變換。E(z)——偏差信號的Z變換。U(z)——控制信號的Z變換。由圖5―1可求得系統(tǒng)廣義對象的Z傳遞函數(shù)：(5-2-1)數(shù)字調節(jié)器的Z傳遞函數(shù)：(5-2-4)這就是我們分析和設計數(shù)字控制器的基礎和基本模型。閉環(huán)Z傳遞函數(shù)：誤差Z傳遞函數(shù)：

(5-2-3)(5-2-2)

5.2.2最少拍有波紋系統(tǒng)數(shù)字調節(jié)器設計

最少拍系統(tǒng)，也稱最小調整時間系統(tǒng)，最快響應系統(tǒng)或時間最優(yōu)控制。它是指典型系統(tǒng)(如圖5-1)在典型輸入(階躍、等速和等加速度等)作用下具有最快的響應速度，被控量能在最短的調節(jié)時間即最少的采樣周期數(shù)內(nèi)達到設定值。換言之，偏差采樣值能在最短時間內(nèi)達到并保持為零，有波紋是指對任何兩次采樣時刻間的輸出不提任何要求(因而設計過程和設計結果均較簡單)，故只能保證系統(tǒng)輸出在采樣點上誤差為零而采樣點之間存在波紋，如圖5-2所示。123…40圖5-2最少拍有波紋系統(tǒng)的輸出

1.設計方法

性能要求約束條件控制算法程序最少拍系統(tǒng)(有波紋或無波紋)的設計可分如下所示三個步驟：

第一步第二步第三步

其中每一步所要做的工作是：第一步主要根據(jù)性能要求和約束條件確定所需的。性能要求和約束條件有①穩(wěn)定性——閉環(huán)系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。②準確性——控制系統(tǒng)對典型輸入必須無穩(wěn)態(tài)誤差。③快速性——過渡過程應盡快結束，即調整時間為有限步，步數(shù)是最少的。④物理可實現(xiàn)性——設計出的必須是物理上可實現(xiàn)的。第二步主要是由確定。依據(jù)的公式為。第三步根據(jù)編制控制算法的程序。(1).由準確性要求確定準確性要求是：系統(tǒng)對某種典型輸入，在采樣點上無穩(wěn)態(tài)誤差，即要求下面討論在典型輸入下，滿足式(5-2-5)要求的的結構形式。(5-2-5)將輸入時間函數(shù)取變換，得單位階躍輸入單位等速輸入單位等加速度輸入(5-2-6)其中中不含因子，將上式代入式(5-2-5)，得顯然，要使穩(wěn)態(tài)誤差為零，中必須含有，冪次不能低于即

式中≥，是關于的有限多項式，將由其它條件確定。

有了，可根據(jù)=寫出的表達式：(5-2-7)(5-2-8)(5-2-9)(2).由快速性要求確定 快速性要求是：閉環(huán)系統(tǒng)過渡過程步數(shù)最少，即在最短時間內(nèi)使采樣點上的誤差趨于0，這就要求中關于的冪次盡可能低。 顯然在滿足準確性要求的基礎上，令(即)，則所得既可滿足準確性，又可滿足快速性要求，這樣就有相應地(5-2-10)(5-2-11) 針對幾種典型輸入，可由式(5-2-10)和(5-2-11)得到以下一些具體結果。 ①系統(tǒng)輸入為單位階躍：

Φe(z)=1-z-1； 由式(7-2-3)可得誤差和輸出為：由得誤差采樣脈沖序列為：e(0)=1，e(1)=e(2)=…=0系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及輸出序列如圖7-2-1所示。由圖7-2-1可知，單位階躍輸入時系統(tǒng)的調整時間為T，只需一拍就達到了穩(wěn)態(tài)。

②系統(tǒng)輸入為單位等速：Φe(z)=(1-z-1)2；由式(7-2-3)可得誤差和輸出為：圖5-2-1單位階躍輸入時誤差與輸出序列由得誤差采樣脈沖序列為：e(0)=0，e(T)=T，e(2)=e(3)=…=0 系統(tǒng)的誤差及輸出序列如圖7-2-2所示。此時，單位等速輸入時系統(tǒng)的調整時間為2T，只需兩拍就達到了穩(wěn)態(tài)。圖5-2-2單位等速輸入時誤差與輸出序列③系統(tǒng)輸入為單位加速度：Φe(z)=(1-z-1)3；由式(7-2-3)可得誤差和輸出為：由得誤差采樣脈沖序列為：系統(tǒng)的誤差及輸出序列如圖7-2-3所示?？梢?，單位加速度輸入時系統(tǒng)的調整時間為3T，只需三拍就達到了穩(wěn)態(tài)。對于三種典型輸入，最少拍控制系統(tǒng)的調整時間、誤差傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)匯總于表5―1。圖5-2-3單位加速度輸入時誤差與輸出序列表5―1最少拍控制系統(tǒng)各參量表

(3).由穩(wěn)定性要求

當廣義對象中含有單位圓上或圓外的零、極點時，考慮到閉環(huán)的穩(wěn)定性，對或的結構還會提出進一步要求。①含單位圓上或圓外零點時，由式(5-2-4)

圓上或圓外的零點將變成仍按以前的方法設計，則這個不穩(wěn)定的控制量又會使系統(tǒng)的輸出發(fā)散。

圓上或圓外的極點，如果的輸出必將不穩(wěn)定，讓的零點中含有圓上或圓外零點，二者相消是可行的。

因為含圓上或圓外零點，不影響自身穩(wěn)定性，因此在前面對要求的基礎上，應作進一步修改。設在單位圓上或圓外有個零點，則應修改成

由可知和關于的最高次冪總是也應在原來基礎上相應變?yōu)橄嗟?，所以②含有單位圓上或圓外的極點時，由式(5-2-4)可知，如果仍按快速性要求的方法設計，則的不穩(wěn)定極點將變成的零點，

又由的零極點又可對消，從而造成了與無論輸出量還是控制量都是穩(wěn)定的假象。在實際控制中，由于系統(tǒng)辨識的誤差或系統(tǒng)運行過程中對象參數(shù)的變化，都可能造成不穩(wěn)定極點與理論上的不一致；而且由計算機實現(xiàn)，其相應的零點不可能隨之變化，因此非但抵消不了，甚至情況更糟。由可知，要消除G(z)在單位圓外或圓上的極點對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，正確的解決辦法是讓的零點中包含不穩(wěn)定極點，這樣自身穩(wěn)定，又可相消。 因此，要在以上設計的基礎上，對再加改進。設有個單位圓上或圓外不穩(wěn)定極點：，則按上述要求，應改成

相應地，中關于的冪次也要增加，即

應當特別注意的是，當含有這種不穩(wěn)定極點時，讓含圓上的零點。與快速性要求含 (相當個的零點)往往會重復。如果含有的極點數(shù)小于，則式中極點因子中不應再含；若含有的極點數(shù)比大個，則的極點因式中還應含有個因子，相應地式中的個數(shù)也應減去重復數(shù)。

(4).由的物理可實現(xiàn)性確定 所謂的物理可實現(xiàn)，是指當前時刻的輸出只取決于當前時刻及過去時刻的輸入，而與未來的輸入無關，這兒不考慮預測問題。數(shù)學上講，應保證分母中的最低次冪不大于分子關于的最低次冪。我們舉一個例子來說明，設有其分母關于的最低次冪為1，分子的為零，故此物理上不可實現(xiàn)。事實上，該的輸出為這說明當前時刻的輸出要取決于未來時刻的輸入，這樣的物理上是不可實現(xiàn)的。 當廣義對象含有純滯后環(huán)節(jié)時，會遇上的可實現(xiàn)性問題。設廣義對象含有一純滯后為個采樣周期的環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為 由于不影響的關于的最低次冪，為保證物理上可實現(xiàn)，則要求中必須包含因子。從而 因而在準確性，快速性及穩(wěn)定性設計的基礎上，要求進一步變成 由于原來已含有一個因子，所以實際上增加了一個因子。相應地，也應使的冪次增加，即(5).設計小結和舉例

最小拍有波紋設計小結：設廣義對象的Z傳遞函數(shù)為其中有u個零點和v個極點在單位圓上或圓外。為使系統(tǒng)對典型輸入的響應最快而穩(wěn)定，且在采樣點上無穩(wěn)態(tài)誤差，以及可物理實現(xiàn)，則閉環(huán)Z傳遞函數(shù)應為誤差傳遞函數(shù)為式中諸系數(shù)可由關系式中諸對應系數(shù)相等的方程組來決定。

注意：當含有單位圓上極點時，應含相應零點的要求與應含的快速性要求會重復，這時中因子數(shù)取和的極點數(shù)目中的大者，并將中的數(shù)減少重復數(shù)。(5-2-12)(5-2-13) 例5-7在圖5-1中，設，，試針對單位階躍輸入設計最少拍有波紋。 解：廣義對象的傳遞函數(shù)為可知(單位圓外零點)，(單位圓上極點)。注 由于， 故中不再外加極點因子，且式中數(shù)目應減去1。這樣 將它們代入式，并令對應系數(shù)相等，即得關于和的方程組：1-b=ab=1.4815a 解方程組可得 則 最少拍有波紋調節(jié)器為

對階躍輸入的輸出響應為

即如圖5-6所示。143120圖5-6輸出響應最小拍系統(tǒng)控制器設計步驟如下：(1)根據(jù)被控對象的數(shù)學模型求出廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。(2)根據(jù)輸入信號類型，由(5-2-12)和(5-2-13)確定誤差Z傳遞函數(shù)和閉環(huán)Z傳遞函數(shù)。(3)將、

代入式(5-2-4)進行運算，即可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。(4)根據(jù)結果，分析控制器效果，求出輸出序列及畫出其響應曲線。【例7―24】如圖7―14所示，已知被控對象傳遞函數(shù)為

，設計采樣周期為T=0.5s，試設計一在單位速度輸入時的數(shù)字控制器D(z)。圖7―14最少拍控制系統(tǒng)原理圖解當用零階保持器聯(lián)系數(shù)字控制器與被控對象時，該系統(tǒng)的廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)為系統(tǒng)輸入為r(t)=t，查表7―1知誤差脈沖傳遞函數(shù)選定為Ge(z)=(1-z-1)2,于是將G(z)、Ge(z)代入式(7―49),可求得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)為這樣，可得系統(tǒng)輸出序列的Z變換為上式中各項系數(shù)就是c(t)在各個采樣時刻的輸出數(shù)值，即c(0)=0，c(T)=0，c(2T)=2T,c(3T)=3T,c(4T)=4T,…輸出響應曲線如圖5―15所示。圖5―15單位速度輸入時最少拍輸出序列

5.2.3最少拍無波紋系統(tǒng)數(shù)字調節(jié)器的設計 最少拍有波紋系統(tǒng)只是在采樣點上的穩(wěn)態(tài)誤差為0，而采樣點之間的輸出往往有偏差，即有波紋。這些波紋影響了系統(tǒng)質量，增加了功耗、振動和機械磨損。有些系統(tǒng)不允許有波紋，因此有必要弄清波紋產(chǎn)生的原因，并設法消除它，這是這一節(jié)的內(nèi)容。 最少拍無波紋系統(tǒng)數(shù)字調節(jié)器的設計，是在最少拍有波紋設計的基礎上，對閉環(huán)Z傳遞函數(shù)進一步修正，以達到不僅保證采樣點上無穩(wěn)定誤差，而且能消除采樣點之間的波紋。1、波紋產(chǎn)生的原因

我們通過下面的例子來說明波紋產(chǎn)生的原因。

例5-11在圖5-1中，設，取，針對單位階躍輸入設計最少拍有波紋，并考查誤差及控制量序列。圖5-1計算機控制系統(tǒng)的典型結構+對象

解：按最少拍有波紋系統(tǒng)的設計方法 廣義對象的Z傳遞函數(shù)為 可知，(單位圓上極點)。由于，故故中不再外加極點因子，且式中數(shù)目應減去1。這樣 將它們代入式，并令對應系數(shù)相等，可得 則 最少拍有波紋調節(jié)器為 因此，得誤差輸出為 即一拍后進行跟蹤，偏差保持為零。控制量輸出為 可見，控制量在一拍后并未進入穩(wěn)態(tài)(常數(shù)或零)，而是在不停地波動，從而使連續(xù)部分的輸出在采樣點之間存在波紋。

由這個例子可得下面的結論：最少拍有波紋設計可以使得在有限拍后采樣點上的偏差為零，但數(shù)字調節(jié)器的輸出并不一定達到穩(wěn)定值，而是上下波動的。這個波動的控制量作用在保持器的輸入端，保持器的輸出也必然波動，于是系統(tǒng)的輸出也出現(xiàn)了波紋。

2、消除波紋的附加條件 上面指出，最少拍有波紋系統(tǒng)產(chǎn)生波紋的原因是，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，控制量并沒有成為恒值(常數(shù)或零)。因此，如果我們利用上一節(jié)使在有限拍內(nèi)達到穩(wěn)定的概念，將看作系統(tǒng)的輸出，設計出一個，使其輸出也能在有限拍內(nèi)達到穩(wěn)定值，從而使系統(tǒng)輸出無波紋。 由于系統(tǒng)在采樣點上是閉環(huán)控制，采樣點之間產(chǎn)生的紋波不能反映在采樣點信號上，也就是對采樣點之間的信號，不能形成閉環(huán)控制。即 成為關于的多項式。廣義對象Z傳遞函數(shù)的分母不妨礙成為的有限多項式，但廣義對象的分子，即的零點可能使成為的無窮項多項式。因此如讓中包含因子，即包含的全部零點，則可確保是關于的有限多項式。

因此，在最少拍有波紋設計的基礎上，使包含圓內(nèi)的零點。就是消除波紋的附加條件，也是有波紋和無波紋設計的唯一區(qū)別。3、設計小結和舉例 最小拍無波紋設計小結：設廣義對象的傳遞函數(shù)為 其中有個零點，個在單位圓上或圓外極點。 為使系統(tǒng)對典型輸入的響應最快而穩(wěn)定，且在采樣點上無穩(wěn)定誤差，以及可物理實現(xiàn)，且在采樣點之間無波紋，則

閉環(huán)Z傳遞函數(shù)應為 其中的冪次增加了，相應地中的最高次冪也應增加次，即

誤差Z傳遞函數(shù)應為

注意事項同前：當含有單位圓上極點時，應含相應零點的要求與應含的快速性要求會重復，這時中因子數(shù)取和的極點數(shù)目中的大者，并將中的數(shù)減少重復數(shù)。

例5-12仍以例5-11的對象為例，取，試針對單位階躍輸入設計最少拍無波紋,并考察。

例5-12仍以例5-11的對象為例，取，試針對單位階躍輸入設計最少拍無波紋,并考察。

解：廣義對象為 可知：(圓內(nèi)零點)，(圓上極點)。故由式(5-24)和式(5-25)得 解之得，進而求得 可知，從第二拍起，恒為零，因此輸出量穩(wěn)定在穩(wěn)態(tài)值，而不會有波紋了。另外此時系統(tǒng)調整時間確實比例5-11延長了一拍(讀者可用廣義Z變換法加以驗證)?！纠?―25】如圖7―14所示，已知對象傳遞函數(shù)

，采樣周期T=0.1s。要求：(1)試設計單位階躍輸入時的最少拍無波紋數(shù)字控制器D(z)。(2)將按單位階躍輸入時的最少拍無波紋設計的數(shù)字控制器D(z)改為按單位速度輸入時，分析其控制效果。解(1)系統(tǒng)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為因G(z)有z-1因子，零點z=-0.707，極點p1=1，p2=0.368。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)應選為包含z-r因子和G(z)的全部零點，所以Φ(z)=1-Ge(z)=az-1(1+0.717z-1)Ge(z)應由輸入形式、G(z)的不穩(wěn)定極點和Φ(z)的階次三者來決定。所以選擇Ge(z)=(1-z-1)(1+bz-1)式中(1-z-1)項是由輸入型式?jīng)Q定的，(1+bz-1)項則應由Ge(z)與Φ(z)的相同階次決定。因Ge(z)=1-Φ(z)，將上述所得Ge(z)與Φ(z)值代入后，可得(1-z-1)(1+bz-1)=1-az-1(1+0.717z-1)所以，解得a=0.5824，b=0.4176。于是便可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為由U(z)可判斷所設計的D(z)是否是最少拍無波紋數(shù)字控制器系統(tǒng)，由式U(z)=D(z)Ge(z)R(z)可得圖7―16單位階躍輸入時響應(2)將上述按單位階躍輸入時的最少拍無波紋設計的數(shù)字控制器D(z)，改為按單位速度輸入時：由Z變換定義可知：u(0)=0，u(T)=0.1528，u(2T)=u(3T)=…=0.0946可見，系統(tǒng)經(jīng)過二拍后亦達到穩(wěn)定，系統(tǒng)調節(jié)時間為ts=2T=0.2s；但系統(tǒng)存在固定的穩(wěn)定誤差，所得e(kT)序列的結果表明，系統(tǒng)經(jīng)兩個節(jié)拍后，e(kT)亦達到穩(wěn)定且無波紋，但存在固定的誤差0.1418。系統(tǒng)的響應曲線如圖7―17所示。圖7―17單位斜坡輸入時響應7.4大林(Dahlin)算法在熱工和化工等生產(chǎn)過程中，由于被控對象模型含有較大的純滯后環(huán)節(jié)，因此如果要求控制系統(tǒng)的輸出值在最少拍內(nèi)到達穩(wěn)態(tài)，則不但不能達到預期的效果，反而會使穩(wěn)定性變差、過渡過程時間拉長。當對象的純滯后時間τ與對象慣性時間常數(shù)Tm之比，即τ/Tm≥0.5時，采用常規(guī)的PID算法控制，很難獲得良好的控制性能。不過這類控制系統(tǒng)對快速性的要求是次要的，其主要指標是系統(tǒng)無超調或超調量很小，并且允許有較長的調整時間。針對這種情況，1968年大林(Dahlin)提出了一種可獲得較好效果的算法，人們稱之為大林算法。大多數(shù)工業(yè)生產(chǎn)過程的對象一般可用帶純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)近似(高階可用主導極點的慣性常數(shù)來代替),其傳遞函數(shù)分別為(7―66)(7―65)式中：T1,T2為被控對象的時間常數(shù)；τ為被控對象的純滯后時間常數(shù)，為簡單起見，令τ=NT，即整數(shù)倍；Ｔ為采樣周期。大林算法的設計目標為：設計數(shù)字控制器使系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為具有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，并使其滯后等于被控對象的滯后，即(7―67)式中,Tm為要求的等效慣性時間常數(shù)，τ為被控對象的純滯后時間常數(shù)。Φ(s)用零階保持器離散化，則得系統(tǒng)的閉環(huán)z傳遞函數(shù)為(7―68)數(shù)字控制器的z傳遞函數(shù)為(7―69)將G(z)和Φ(z)代入式(7―69)可得數(shù)字控制器的z傳遞函數(shù)D(z)，其結構與被控對象密切相關。這樣設計的Ｄ(z)保證了閉環(huán)z傳遞函數(shù)具有一階慣性時間常數(shù)Tm和純滯后時間常數(shù)τ。7.4.1一階被控對象的大林算法由式(7―65)求帶零階保持器的一階被控對象的z傳遞函數(shù)，即(7―70)將式(7―68)與(7―70)代入式(7―69),則得大林算法的數(shù)字控制器，即(7―71)7.4.2二階被控對象的大林算法二階被控對象傳遞函數(shù)為其z傳遞函數(shù)為式中按照大林算法的設計目標,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)仍由式(7―68)表示，即式中,Tm為要求的等效慣性時間常數(shù)。將Φ(z)和G(z)代入式(7―69)，得二階被控對象的大林算法數(shù)字控制器的z傳遞函數(shù)為(7―73)7.4.3振鈴現(xiàn)象及其抑制按大林算法設計的系統(tǒng)，數(shù)字控制器輸出u(kT)可能發(fā)生周期為2T的上下擺動，稱為振鈴(RinGinG)現(xiàn)象。當然振鈴現(xiàn)象也不是大林算法所特有的現(xiàn)象，這與前一節(jié)討論的最少拍控制中的波紋現(xiàn)象是一致的。通常用振鈴幅度RA(RinGingAmplitude)來表示振鈴現(xiàn)象的強弱，并定義為數(shù)字控制器在單位階躍輸入作用下，第0拍輸出幅度與第1拍輸出幅度之差，即RA=u(0)-u(1)若數(shù)字控制器的z傳遞函數(shù)為(7―74)數(shù)字控制器在單位階躍函數(shù)下的輸出為(7―75)數(shù)字控制器在單位階躍函數(shù)下的輸出為(7―76)由于K為常數(shù)，z-N表示延遲，控制器的輸出僅與有關，則由振鈴現(xiàn)象的定義，可得出振鈴幅度為

RA=u(0)-u(1)=1-(a1-b1+1)=b1-a1(7―78)產(chǎn)生振鈴的原因是，數(shù)字控制器D(z)中包含有左半平面的極點，即在單位圓有接近z=-1的極點，它離z=-1愈近，振鈴現(xiàn)象愈嚴重。而單位圓內(nèi)右半平面的零點，也會加劇振鈴現(xiàn)象。單位圓內(nèi)右半平面的極點，將使振鈴現(xiàn)象減弱。

【例7―26】已知被控對象的傳遞函數(shù)為

，采樣周期為T=0.5s，使用大林

算法設計控制器D(z)，并分析是否會產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。解：對于大林算法，將被控對象的傳遞函數(shù)與式(7―65)比較，可得K=1，θ=r·T=1，r=2，τ1=1由式(7―70)得廣義對象的z傳遞函數(shù)為由式(7―71)，若τ=0.1s，數(shù)字控制器的z傳遞函數(shù)為由上式可見，D(z)有三個極點，即z1=1,z2,3=-0.4967±j0.864極點z=1不會引起振鈴現(xiàn)象；極點

z2,3=-0.4967±j0.864會產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。為了消除振鈴現(xiàn)象，令z2,3=1代入上式得此時，閉環(huán)z傳遞函數(shù)相當于一個純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，振鈴現(xiàn)象已消除。7.5數(shù)字控制器D(z)算法實現(xiàn)7.5.1直接程序設計數(shù)字控制器D(z)通?？杀硎緸?7―79)式中，m≤n,E(z)和U(z)分別為數(shù)字控制器D(z)的輸入序列和輸出序列的Z變換。

由式(7―79)可求得將(7―80)式進行Z反變換，寫成差分方程的形式，即(7―80)(7―81)這樣，式(7―81)就是直接編制計算機控制程序，實現(xiàn)D(z)算法的表達式,因此，稱這種實現(xiàn)D(z)的算法為直接程序設計法。按式(7―81)編制計算機程序，便可求出U(k)值。根據(jù)式(7―80)可直接畫出實現(xiàn)D(z)的原理框圖,如圖7―18所示。圖7―18直接程序法框圖【例7―27】已知數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)為試用直接程序設計法寫出實現(xiàn)D(z)的表達式,畫出用直接程序設計法實現(xiàn)D(z)的原理框圖。求出D(z)的差分方程后，畫出相應的程序流程圖。解根據(jù)直接程序法知：對給定的數(shù)字控制器的

D(z)的分子、分母都乘以z-n，其中n為分母最高次冪，便可求出以z-n,z-n-1,…,z-1為變量的D(z)的有理表示式。本例題n=2，即圖7―19直接程序法框圖對D(z)進行交叉相乘、移項，便可寫出直接程序法實現(xiàn)D(z)的表達式：

U(z)=E(z)+2E(z)z-1+E(z)z-2-5U(z)z-1-6U(z)z-2根據(jù)上式所得結果知：n=m,a0=1，a1=2，a2=1，b1=-5，b2=-6，可畫出D(z)按直接程序設計法的原理框圖,如圖7―19所示。再進行Z反變換,便可求得數(shù)字控制器的差分方程為U(k)=E(k)+2E(k-1)+E(k-2)-5U(k-1)-6U(k-2)根據(jù)所得差分方程，可畫出其程序流程圖，如圖7―20所示。圖中初始化部分是自定義和分配內(nèi)存單元、給系數(shù)和變量賦初始值等，如給aj，bj，E(k)，E(k-j)，U(k)，U(k-j)以及中間結果等分配存儲單元，便于編制控制程序。圖7―20直接程序法流程圖7.5.2串行程序設計如果數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)的零點和極點均為已知，即D(z)可寫成(7―82)形式時，根據(jù)迭代原理，若令(7―83)則有D(z)=D1(z)·D2(z)·…·Dn(z)(7―84)即可以把D(z)看成是由D1(z),D2(z),…,Dn(z)等n個子脈沖傳遞函數(shù)Dj(z)串聯(lián)組成的,其中j=1,2,3,…,n，如圖7―21所示。因此稱這種分析方法為串行程序設計法，因它是以迭加原理為基礎的，故又稱為迭加程序設計法。圖7―21串行程序設計法框圖為了求出D(z)的U(k)，可分別先求出D(z)的各子脈沖傳遞函數(shù)Dj(z)的U1(k)，U2(k)，U3(k)，…，最后求出U(k)。以求D1(z)的U1(k)為例，對D1(z)表示式分子、分母各乘以1/z，得(7―85)將式(7―96)兩邊交叉相乘，得(1+p1z-1)U1(z)=(1+z1z-1)E(z)再進行Z反變換，得U1(k)+p1U1(k-1)=E(k)+z1E(k-1)整理后得D1(z)的差分方程U1(k)為U1(k)=E