離散時間隨機信號和隨機過程A

第五章

離散時間隨機信號

及隨機過程

本章內(nèi)容討論離散時間隨機信號的表示方法、特性、數(shù)字特征及其估計;離散時間隨機信號通過線性非移變系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng).

5.1概述離散時間確定信號可以用數(shù)學公式數(shù)據(jù)表格圖形等形式唯一和準確地表示出來。如單位取樣序列單位階躍序列指數(shù)序列三角序列。離散時間隨機信號不可能用確定信號的表示方法表示，只能用概率和統(tǒng)計的方法描述。如投硬幣，出現(xiàn)的正反面組成的序列。

信號確定性隨機性非周期性周期性各態(tài)遍歷非平穩(wěn)平穩(wěn)非各態(tài)遍歷

確定性信號

隨機信號

水文資料

流量概率密度估計

例1、下列變量中，不是隨機變量的是（）A．一射手射擊一次的環(huán)數(shù)B．水沸騰的溫度點C．拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和D．某電話機在時間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)E.語音信號地震信號廣播信號電視信號

例1、下列變量中，不是隨機變量的是（）A．一射手射擊一次的環(huán)數(shù)是

B．水沸騰的溫度點不是

C．拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和是D．某電話機在時間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)是E.語音信號地震信號廣播信號電視信號是5.2隨機變量的描述

隨機變量x概率分布函數(shù)定義(x不超過某個值X的概率)

分布函數(shù)的重要性質(zhì)(1)單調(diào)非減函數(shù)(X為實數(shù))(2)

右連續(xù)

連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)

離散隨機變量的概率質(zhì)量函數(shù)(概率密度函數(shù)不存在)

概率質(zhì)量函數(shù)與概率分布函數(shù)的關(guān)系:連續(xù)隨機變量x的概率密度函數(shù)的性質(zhì):

例5.1投擲硬幣例5.2均勻分布例5.3量化誤差

計算概率分布函數(shù)和概率質(zhì)量函數(shù)較麻煩,引入隨機變量的數(shù)字特征.(統(tǒng)計特性)

如果隨機變量是電壓或電流，那么其均值就是該電壓或電流的直流分量。

隨機變量的數(shù)值特征

(1)均值(統(tǒng)計平均或集合平均,期望值算子)

(連續(xù))

(離散)均值的性質(zhì):（與線性獨立）意義：反映了離散型隨機變量取值的平均水平.

（離散隨機變量）（2）方差（3）均方值（連續(xù)隨機變量）意義：反映了隨機變量的波動與離散的程度.

（4）物理意義

設(shè)隨機變量是電壓或電流，則

均方值

是在單位電阻上消耗的總的平均功率;

方差

是交流成分在單位電阻上消耗的平均功率；

均值的平方是直流成分在單位電阻上消耗的平均功率.

.

總平均功率等于交流成分的平均功率與直流成分的平均功率之和

x的n階原點矩x的n階中心矩均值等于隨機變量的一階原點矩，均方值等于隨機變量的二階原點矩，方差等于隨機變量的二階中心矩。練習

求在區(qū)間（）均勻分布的隨機變量的均值和方差。練習

已知隨機變量為瑞利分布,求瑞利變量的均值和方差。練習求正態(tài)分布的隨機變量的均值和方差。

5.3離散隨機過程（1）離散隨機過程由無限多個隨機變量構(gòu)成的一個時間序列構(gòu)成一個隨機過程.僅僅知道一個時刻的統(tǒng)計特性是不夠的還應(yīng)該知道不同時刻隨機變量之間的關(guān)系,引入聯(lián)合概率分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù).

隨機過程理論的應(yīng)用：信道容量分析53

類似地,可以定義高階聯(lián)合概率分布/聯(lián)合概率密度/聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)

（2）統(tǒng)計獨立隨機過程如果隨機過程在不同時刻的隨機變量互不影響，則稱諸隨機變量是統(tǒng)計獨立的。統(tǒng)計獨立的兩隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)等于它們各自的概率分布函數(shù)之積。

要完整地描述一個隨機過程,需要知道它的所有隨機變量的概率密度函數(shù)和所有可能的聯(lián)合概率密度函數(shù).一般地,不同時刻的概率密度函數(shù)是不同的,二維隨機變量(xn,xm)與(xn+k,xm+k)的聯(lián)合概率密度函數(shù)也是不同的.（3）狹義平穩(wěn)隨機過程如果滿足:稱為狹義平穩(wěn)的隨機過程.

概率密度函數(shù)與時間變量無關(guān)，且聯(lián)合概率密度函數(shù)只與兩隨機變量間的時間間隔m-n有關(guān)，而與時間起點無關(guān)的隨機過程。例如伯努利過程就是一個狹義平穩(wěn)隨機過程.（4）隨機過程的數(shù)值特征狹義平穩(wěn)隨機過程的這些參數(shù)是與時間無關(guān)的常量。（5）相關(guān)序列和協(xié)方差序列

關(guān)系

舉例:

CDMA的不同用戶是以PN（偽隨機碼）碼來編制的，地址的選擇就是用相關(guān)性來區(qū)分的.正常情況下,CDMA系統(tǒng)各地址碼間的互相關(guān)性很小,但如果互相關(guān)性很大，則多址干擾就越大.要求各PN碼之間的互相關(guān)系數(shù)盡可能小，另外用戶越多，PN碼的長度就會越長，則在接收端的同步時間也長.（6）狹義平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列

一般情況下，相關(guān)序列和協(xié)方差序列都是二維序列但是，狹義平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列，卻都只是時間差的函數(shù)而與時間起點無關(guān)，因而都只是一維序列。（7）廣義平穩(wěn)隨機過程

均值是常數(shù)(與時間無關(guān))、自相關(guān)序列只與時間差有關(guān)而與時間起點無關(guān)的隨機過程，稱為廣義平穩(wěn)隨機過程簡稱為平穩(wěn)隨機過程或平穩(wěn)過程。(概率密度函數(shù)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)與時間起點有關(guān).但統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān),只與時間差有關(guān).)

廣義平穩(wěn)隨機過程的條件更加寬松,只對統(tǒng)計特性作出規(guī)定.而狹義平穩(wěn)隨機過程的條件更加嚴格,對概率函數(shù)作出規(guī)定,從而統(tǒng)計特性也會滿足要求.

例5.7

隨機過程由許多隨機變量按一定的時間順序排列的一個序列,每個隨機變量由均值、方差、均方值、自相關(guān)函數(shù)來描述,都是由統(tǒng)計平均或集合平均計算得到.5.4時間平均要得到無限多個取樣序列是不可能的,是不現(xiàn)實的.兩個實驗(投硬幣)設(shè)想有無數(shù)個人,他們在同一時刻N以完全相同的方式各投擲一枚硬幣,所有硬幣完全相同.可以預(yù)料大約有一半投擲的結(jié)果為正面,另一半的人投擲結(jié)果為反面.只有一個人投擲一枚硬幣,不斷地以完全相同的方式投擲無數(shù)次.同樣可以預(yù)料,投擲結(jié)果為正面和反面的次數(shù)各為一半.對第一個實驗求集合平均;對第二個實驗求時間平均,兩個結(jié)果一樣.第二個實驗更有實用價值.（1）隨機過程的一個取樣序列的所有取樣值的算術(shù)平均值，稱為隨機過程的時間平均值，簡稱時間平均

（2）取樣自相關(guān)序列

根據(jù)隨機過程的一個取樣序列，用時間平均定義的自相關(guān)序列，稱為該隨機過程的取樣自相關(guān)序列，即

（3）遍歷性隨機過程

如果一個平穩(wěn)隨機過程的集合平均，等于它的一個取樣序列的時間平均，則稱它是遍歷性隨機過程。

一般地,在信號處理中,對一平穩(wěn)隨機信號{xn},如果它的所有取樣序列在某一確定時刻的統(tǒng)計特性,與它的一個取樣序列在長時間內(nèi)的統(tǒng)計特性一致,則稱{xn}是各態(tài)遍歷性信號.也就是說單個取樣序列隨時間變化的過程,可以包含該隨機信號所有取樣序列的取樣值.（4）隨機過程的均值和自相關(guān)序列的估計N盡可能地大5.5相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)

m00m5.6功率譜（1）平穩(wěn)隨機過程的自協(xié)方差序列（或自相關(guān)序列）的傅里葉變換（或Z變換）稱為功率譜功率密度譜功率譜在一個周期內(nèi)的平均值等于平均功率逆變換（2）實平穩(wěn)隨機過程的功率譜的性質(zhì)（1）非負（2）實函數(shù)（3）偶函數(shù)（3）互功率譜或性質(zhì)：練習

求均值為零、方差為、自相關(guān)序列為的白噪聲隨機過程的功率譜。練習

求隨機相位正弦序列的功率譜是在內(nèi)均勻分布的隨機相位。練習

設(shè)隨機過程的自相關(guān)序列為

求該隨機過程的功率譜。前3個例子:功率譜都是實的非負的偶函數(shù)5.7離散隨機信號通過

線性非移變系統(tǒng)有一沖激響應(yīng)為的線性非移變系統(tǒng)，它的輸入端作用一個平穩(wěn)隨機信號，在輸出端得到另一平穩(wěn)隨機信號。1.的均值

2.的自相關(guān)序列均值為零、自相關(guān)序列只與時間差有關(guān)，故輸出也是平穩(wěn)隨機過程。3.的功率譜設(shè)的均值為零，則的均值亦為零。設(shè)在和處各有一個極點和零點，則將在互成共軛倒數(shù)關(guān)系的位置、和、上有極點和零點。在為實序列的情況下，有如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么如果輸入是一個均值為零、方差為的平穩(wěn)白