復(fù)變函數(shù)與積分變換山東大學(xué)第一章20151021

復(fù)變函數(shù)與積分變換秦健秋制1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1.2復(fù)平面上的曲線和區(qū)域1.3復(fù)變函數(shù)11.4復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)1.5MATLAB運(yùn)算第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

早在16世紀(jì)中葉，意大利卡爾丹在1545年解三次方程時，首先產(chǎn)生復(fù)數(shù)開平方的思想:

17世紀(jì)到18世紀(jì)，復(fù)數(shù)開始有了幾何解釋，把它與平面向量對應(yīng)起來解決實際問題.

復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于18世紀(jì)，由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉作出.他在1777年系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理，并用“

”作為虛數(shù)的單位.

復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展在19世紀(jì).到了20世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)被廣泛應(yīng)用于理論物理，彈性物理，天體力學(xué)等方面，并且有很多復(fù)雜的計算都是用它來解決的.

比如

元代數(shù)方程

在復(fù)數(shù)域中恒有解，這是著名的代數(shù)學(xué)基本問題，它用復(fù)變函數(shù)理論來證明非常簡潔.

比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機(jī)的時候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn).一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的表示法三、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根五、復(fù)球面*六、課后作業(yè)七、課外例題1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念引入一個新的數(shù)，稱為虛數(shù)單位，并規(guī)定，即為復(fù)數(shù)。對任意的兩個實數(shù)，稱1.復(fù)數(shù)的實部：；復(fù)數(shù)的虛部：2.復(fù)數(shù)的共軛：若；稱為其共軛3.判斷復(fù)數(shù)相等：設(shè)若注：兩個不全為0的復(fù)數(shù)不能比較大小思考：判斷和的大小？解答提示1、(復(fù)平面上的)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的表示法一對有序?qū)崝?shù)對平面直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)

直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)X軸實軸，Y軸虛軸，平面復(fù)平面/Z平面2、復(fù)數(shù)與向量關(guān)系（1）?！拈L度，記為，則（2）輻角()——與軸正向的夾角(周期性)多值單值記的主值:則有點(diǎn)Z向量Z復(fù)數(shù)Z，即的輻角不能確定。注：任一復(fù)數(shù)

有無窮多個輻角；其中其中3、復(fù)數(shù)的三種表示法（歐拉公式）代數(shù)表示：三角表示：指數(shù)表示：且例1求下列復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式。解：在第二象限內(nèi)（1）（1）（2）（例1.1.1）例1求下列復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式。解：（2）在三象限內(nèi)（1）（2）（例1.1.1）例2求下列復(fù)數(shù)的模和主值輻角。解：（1）（1）（2）（3）（2）（3）三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算若則有三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算交換律分配律結(jié)合律2、復(fù)數(shù)的共軛運(yùn)算3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)加法:復(fù)數(shù)加法與相應(yīng)的向量的加法（平行四邊形法則）運(yùn)算一致.表示與之間的距離，則有：3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)乘法:復(fù)數(shù)加法與相應(yīng)的向量的加法（平行四邊形法則）運(yùn)算一致.除法:兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.兩邊是角的集合相等設(shè)則解：由所以三角式為例3

將復(fù)數(shù)化為三角式和指數(shù)式。（例1.1.2）指數(shù)式為四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1、復(fù)數(shù)的乘冪棣模佛(DeMoivre)公式定義：個相同的復(fù)數(shù)的乘積，稱為的次冪，記作即由，有定義，則四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2、復(fù)數(shù)的方根接正邊形的頂點(diǎn)，當(dāng)時，稱為主值.記作問題：給定復(fù)數(shù)，求所有滿足的復(fù)數(shù)的n個值恰為以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周的內(nèi)定義：若，則稱為復(fù)數(shù)的次方根.注：開方——乘方的逆運(yùn)算.例4

計算下列各式。（1）（2）解：（1）原式（2）原式例4

計算下列各式。（3）（4）解：（例1.1.4）（3）由則（4）參見教材例1.1.4NSPyzZx五*、復(fù)球面復(fù)平面上的點(diǎn)（含）與復(fù)球面上的點(diǎn)一一對應(yīng)。取一個與復(fù)平面切于原點(diǎn)的球面，球面上的一點(diǎn)與原點(diǎn)重合。通過做垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于另一點(diǎn)，稱為北極，為南極。12（1）3（2）（3）4（2）（5）（6）（7）（8）習(xí)題一課后作業(yè)一例1

判斷下列命題是否正確？（1）（2）（3）（

×

）（

∨

）（

×

）課外例題一解：例2設(shè)求例3設(shè)解：求例4證明證明：左邊例5

已知已知正方形

的相對定點(diǎn)求頂點(diǎn)和的坐標(biāo)。解：例6

計算下列各式。解（1）原式（2）因為所以（3）原式例7求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z。（1）（2）且（3）解：（1）設(shè)則由得，故例7求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z。（2）且解：（2）因為，則所以的值為內(nèi)任一實數(shù)，故滿足條件的有無窮多個.例7求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z。（3）解：（3）設(shè)則一、復(fù)平面上的曲線方程二、簡單曲線與光滑曲線三、區(qū)域1.2復(fù)平面上的曲線和區(qū)域一、復(fù)平面上的曲線方程平面曲線的直角坐標(biāo)方程形式令代入得平面曲線在直角坐標(biāo)下的參數(shù)方程形式令對應(yīng)復(fù)數(shù)形式為：對應(yīng)復(fù)數(shù)形式為：（例1.2.1）例1將直線方程化為復(fù)數(shù)形式。解：將代入方程，得例2指出下列方程表示什么曲線。解：以為圓心，半徑為4的圓周解：點(diǎn)與-2的垂直平分線解：直線二、簡單曲線與光滑曲線1、簡單閉曲線注：定義或者簡單敘述為簡單曲線自身不相交.若是一段連續(xù)曲線.如果對上任意不同兩點(diǎn)，但不同時是的端點(diǎn)，及我們，那么上述集合稱為一條簡單連續(xù)曲線，有或若爾當(dāng)（Jordan）曲線.，稱簡單連續(xù)閉曲線（若爾當(dāng)閉曲線）.若2、光滑曲線注：光滑曲線一定可以求長.若，且三、區(qū)域1、相關(guān)概念內(nèi)點(diǎn)與開集區(qū)域：連通的開集邊界點(diǎn)與邊界鄰域與去心領(lǐng)域閉區(qū)域與開區(qū)域有界域與無界域注：閉區(qū)域不是區(qū)域.三、區(qū)域2、單連通區(qū)域與多連通區(qū)域單連通區(qū)域與多連通區(qū)域若爾當(dāng)定理

任意一條若爾當(dāng)閉曲線把整個復(fù)平面分成兩個沒有公共點(diǎn)的區(qū)域：一個有界的稱為內(nèi)區(qū)域，一個無界的稱為外區(qū)域.曲線的內(nèi)部總是完屬于

，則稱是單連通區(qū)域，否則稱是多連通區(qū)域.設(shè)是一個區(qū)域，在復(fù)平面上，如果內(nèi)任何簡單閉注：單連通區(qū)域內(nèi)的任一條簡單閉曲線，在其內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的變形而收縮成一點(diǎn)。例3

判斷下列區(qū)域是無界域（有界域），單連通區(qū)域（多連通區(qū)域）。該區(qū)域是無界單連通區(qū)域.角形域，無界的單連通區(qū)域.解：(1)當(dāng)是橢圓，該區(qū)域是此橢圓內(nèi)部.有界的單連通區(qū)域.一、復(fù)變函數(shù)概念二、映射1.3復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的概念設(shè)是一個復(fù)數(shù)的非空集合.如果有一個法則使得，就有一個或幾個與之對應(yīng)，則稱復(fù)變是復(fù)變數(shù)數(shù)的函數(shù)，簡稱復(fù)變函數(shù).記作若一個值，稱單值函數(shù)若多個值，稱多值函數(shù)注2：今后無特別聲明所指的函數(shù)均為單值函數(shù).注1：此定義沒有明確指出是否只有一個

和對應(yīng)注3：一個復(fù)變函數(shù)等價于兩個自變量為實數(shù)的實值函數(shù)例1考慮映射與實變函數(shù)的關(guān)系。解：由，可知函數(shù)等價于例2

考慮下列函數(shù)是否為單值函數(shù)。（例1.3.1）（例1.3.3）單值函數(shù)多值函數(shù)例3將函數(shù)改寫成關(guān)于的解析式。將代入原式,整理得：將表達(dá)式湊成的因式:解法一（共軛法）解法二（拼湊法）例3

將函數(shù)改寫成關(guān)于的解析式。解法三（設(shè)零法）在中，令，得，代入原式：二、映射

復(fù)變函數(shù)反映的是兩對變量之間的對應(yīng)關(guān)系，要借助于四維空間才能表示，因此借助于兩張復(fù)平面來表示.在幾何上可以看做：平面）平面）的映射（變換）（（平面平面——原象——象（映象）中的點(diǎn)一一對應(yīng)與映射為雙射為單值函數(shù)函數(shù)在幾何上可以看著是把平面上的一個點(diǎn)集（定義域）變到平面上的一個點(diǎn)集（值域）的一個映射.存在反函數(shù)（逆映射），記為例4研究所構(gòu)成的映射。解：設(shè)所以旋轉(zhuǎn)變換例5求區(qū)域在映射下的象。解：

設(shè)則有即由得解：設(shè)例6求曲線

在映射下的象。則由所以代入得：一、復(fù)變函數(shù)的極限二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性1.4復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性一、復(fù)變函數(shù)的極限1、復(fù)變函數(shù)極限的定義形式：與一元實函數(shù)的極限一致，記為理解：對任意的路徑多樣性掌握：判別不存在的方法2、極限的運(yùn)算法則定理1.4.1

如果

，則一個復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價于兩個實變二元函數(shù)的連續(xù)性3、極限的四則運(yùn)算等同于實函數(shù)的四則運(yùn)算，參見教材定理1.4.2。處的極限。例1求在點(diǎn)解：原式整理得當(dāng)沿直線趨于零時，有處的極限不存在。即函數(shù)在點(diǎn)處的極限不存在。例2

證明在點(diǎn)解：原式整理得當(dāng)沿直線趨于零時，有處的極限不存在。即函數(shù)在點(diǎn)二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性1、定義在一點(diǎn)處連續(xù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)2、復(fù)變函數(shù)連續(xù)存在判別法連續(xù)函數(shù)的實部、虛部同時連續(xù)定理1.4.4

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為連續(xù)函數(shù)；

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).由此可推：在整個復(fù)平面內(nèi)連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除分母為零點(diǎn)外處處連續(xù)二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性例3試證在原點(diǎn)和負(fù)實軸上不連續(xù)（習(xí)題1：16）。證明：因為無意義，對負(fù)實軸上任一點(diǎn)所以在點(diǎn)不連續(xù)。當(dāng)沿平行于軸正向趨近于時，當(dāng)沿平行于軸負(fù)向趨近于時，所以不存在，函數(shù)在負(fù)實軸上不連續(xù)。綜上所述：在原點(diǎn)和負(fù)實軸上不連續(xù)。課后作業(yè)二9（1）（3）11（2）（4）12（2）（3）17習(xí)題一課外例題二例1用復(fù)數(shù)方程表示過兩點(diǎn)和的直線。解：其中例2

研究映射。解：設(shè)則有這是一個平面到平面的雙射。

平移即，這是一條直線。解：例3

求曲線

在映射下的象。例4研究映射。映射是一個關(guān)于實軸的對稱映射；解：它可以分解為以下兩個映射的復(fù)合：映射把映射成，其輻角與相同；而模，滿足。我們稱為關(guān)于單位圓的對稱映射，與稱為關(guān)于單位圓的相互對稱點(diǎn)。例5求曲線在映射下的象。解：例6

考察函數(shù)的連續(xù)性。解：由于在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù)；且在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)；所以在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù)。1.5MATLAB實驗z=3+4i將3+4i賦值于變量zabs(z)計算z的模real(z)計算z的實部angle(z)計算z的復(fù)角，返回值用弧度表示imag(z)計算z的虛部conj(z)計算z的共軛復(fù)數(shù)一、常用命令二、實例應(yīng)用例1對復(fù)變函數(shù)

，取，求極限。（例1.5.1）symszz0f=z^2;z0=1+2i;limit(f,z,z