九年級上冊數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點及例題

數(shù)學(xué)九年級上冊學(xué)問點總結(jié)第一章特別的平行四邊形復(fù)習(xí)中考考點綜述：特別平行四邊形即矩形、菱形、正方形，它們是歷年中考的必考容之一，主要消滅的題型多樣，留意考察學(xué)生的根底證明和計算力量，以及敏捷運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的力量。容主要包括：矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定，以及相關(guān)計算，了解平行四邊形與矩形、菱形、正方形之間的聯(lián)系，把握平行四邊形是矩形、菱形、正方形的條件。學(xué)問目標(biāo)把握矩形、菱形、正方形等概念，把握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，通過定理的證明和應(yīng)用的教學(xué)，使學(xué)生逐步學(xué)會分別從題設(shè)和結(jié)論動身，查找論證思路分析法和綜合法。重難點：矩形、菱形性質(zhì)及判定的應(yīng)用邊性質(zhì)邊性質(zhì)角對角線矩形對邊平行且相等四個角都是直角菱形對邊平行，四邊相等對角相等正方形對邊平行，四邊相等四個角都是直角相互平分且相等對角線平分一組對角 分一組對角·有三個角是直; ·四邊相等的四邊形；判定·是平行四邊形且·是平行四邊形且有一·是矩形，且有一組鄰邊相等；有一個角是直組鄰邊相等；·是平行四邊形且·是平行四邊形且兩條·是菱形，且有一個角是直角。兩條對角線相對稱性對角線相互垂直。既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形一．矩形一．矩形矩形定義：有一角是直角的平行四邊形叫做矩形．【強(qiáng)調(diào)】 矩形1〕是平行四邊形〔〕一一個角是直角．矩形的性質(zhì)性質(zhì)1 矩形的四個角都是直角；性質(zhì)2矩形的對角線相等，具有平行四邊形的所以性質(zhì)矩形的判定矩形判定方法1:對角線相等的平行四邊形是矩形．..〔1〕〔2〕對角線相等矩形判定方法2:四個角都是直角的四邊形是矩形．矩形推斷方法3：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。例1：假設(shè)矩形的對角線長為8cm，兩條對角線的一個交角為600，則該矩形的面積為例2：菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是〔 〕A．對角線相互平分； B.四條邊都相等； C.對角相等； D.鄰角互補(bǔ)例3：：如圖，□ABCD各角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，?H，四邊形EFGH是矩形．二．菱形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．【強(qiáng)調(diào)】菱形〕〔〕一組鄰邊相等．菱形的性質(zhì)性質(zhì)1 菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2菱形的對角線相互平分，并且每條對角線平分一組對角；菱形的判定菱形判定方法1:對角線相互垂直的平行四邊形是菱形．〔1〕〔2〕兩條對角線相互垂直．菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形．例1 ：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．..例2：如圖 ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．例3、如圖，在 ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作AC的 A E D1AD、BC分別交于E、FAFCE是菱形.OB2BF C例4、ABCD中，E是BC上一點，AE、BD交于M，A假設(shè)AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求證：AM=BE。B M E C例5．〔10〕如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O為對角線BD的中點，過O點作OE⊥AB，垂足為E．D CBE的長．O..60A E B例6〔2023〕如圖，四邊形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延長線于E，DF⊥BC，交BC的延長線于FDE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜測例7〔2023〕如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2.求證：△BDE≌△BCF；推斷△BEF的外形，并說明理由；設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值圍.三．正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形〔菱形〕②有一個角是直角的平行四邊形〔矩形〕正方形不僅是特別的平行四邊形，并且是特別的矩形，又是特別的菱形．正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；..由于正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對邊平行，四邊相等；角：四個角都是直角；對角線：對角線相等，相互垂直平分，每條對角線平分一組對角．留意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特別性質(zhì)．正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì)．正方形的判定方法：(1)有一個角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．留意：1、正方形概念的三個要點：〔1〕是平行四邊形；〔2〕有一個角是直角；〔3〕有一組鄰邊相等．2、要確定一個四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.例1：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點為O，E是OB上 的一點，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求證：OE=OF．例2ABCDA、C兩點作l∥l，作BM⊥l

于N，直線MB、DN分別交l2

于Q、P點．

1 2 1 1求證：四邊形PQMN是正方形．例3〔2023〕如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動 點〔P與、C不重合，點E在射線C上，且.求證：①PE=PD；②PE⊥PD；AP=x,△PBE的面積為y.①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值圍；②當(dāng)x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.實戰(zhàn)演練：1.對角線相互垂直平分的四邊形是〔 〕..A．平行四邊形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形2.順次連接菱形各邊中點所得的四邊形肯定是〔 〕A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四邊形 D.矩形如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以下結(jié)論中不正確的選項是〔 〕A．當(dāng)AB=BC時，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形C．當(dāng)∠ABC=900時，它是矩形 D．當(dāng)AC=BD時，它是正方形 ＡＦＥA DＦＥB CＢ Ｄ Ｃ如圖，在△ABC中，點E，D，F(xiàn)ABBCCA上，且DE∥CADFBA．下列四個推斷中，不正確的選項是〔 〕．．．A．四邊形AEDF是平行四邊形 B．假設(shè)BAC90，那么四邊形AEDF是矩形C．假設(shè)AD平分BAC，那么四邊形AEDF是菱形DADBC且ABACAEDF是菱形如圖，四邊形ABCD為矩形紙片．把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF．假設(shè)CD6，則AF等于〔 〕343

3

4

D．832Ａ Ｄ32ＥＢ Ｆ Ｃ

E DOF CO如圖，矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線相交于O點，過點O作ACEF，分別交AD，BC于E，F(xiàn)點，連結(jié)CE，則△CDE的周長為〔 〕A．5cmB．8cmC．9cm D．10cm在右圖的方格紙中有一個菱形D四點均為格點假設(shè)方格紙中每個最小正方形的邊長為1，則該菱形的面積為ABDABDCC如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AOD120，AB2.5，則AC的長為．邊長為５cm的菱形，一條對角線長是6cm，則另一條對角線的長是.ABCDAC，BD相交于點OABCD成為正方形，則這個條件是〔只填一個條件即可．AOPAOPDC.. BCC如圖，P是正方形ABCD對角線BD上一點，且BP=BC，則∠ACP度數(shù)是．ABCDO是ACBD的交點，過OEF與AB，CD的延長線分別交E，F(xiàn)．△BOE≌△DOF；EF與ACA，E，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論．O第O第12題圖DCE將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1．A A A3030D3030DB1CDDB D B BB D 1C C CC圖1 1 圖2 圖3 圖4四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由： ．如圖2，將Rt△BCD沿射線BDRt△BCDABCD

是平行四邊形嗎？111 11說出你的結(jié)論和理由： ．在Rt△BCD沿射線BD方向平移的過程中，當(dāng)點B的移動距離為 時，四邊形ABCD為矩11形，其理由是 ；當(dāng)點B的移動距離為 時，四邊形ABCD為菱形，其理由是 ．(圖3、圖4用于探究)11應(yīng)用探究：如圖，將矩形ABCD紙片沿對角線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于EDBC22.，則在不添加任何關(guān)心線的狀況下，圖45的角〔虛線也視為角的邊〕有〔 〕A．6個 B．5個 C．4個 D．3個E22.5A D CE22.5C.. A M BD如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點，則圖中陰影局部的面積是〔 〕3 1 2 4A． B． C． D．10 3 5 9AC為矩形ABCD的對角線，則圖中1與2肯定不相等的是〔 〕C D C D2 2

C D C22A 1 B A 1 B A

1B A 1 BB． C． D．AHDEGBFC紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問題的國際性標(biāo).將寬為cm的紅絲帶穿插成6°角重疊在一〔如圖AHDEGBFC如圖，將矩形紙ABCD的四個角向折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，假設(shè)EH＝3厘米，EF＝4厘米，則邊AD的長是 厘米.如圖，AOB，OAOB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形．請你只用無刻度的直尺在圖中畫出AOB的平分線〔請保存畫圖痕跡．A F A DOE B B E C如圖：矩形紙片ABCD，AB=2，點E在BC上，且AE=EC．假設(shè)將紙片沿AE折疊，點B恰好落在AC上，則AC的長是．DPE C其次章 一元二次方程......一、一元二次方程〔一〕一元二次方程定義含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2〔二〕一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c例方程(m2)xm22(3m)x20是一元二次方程，則m.二、一元二次方程的解法1、直接開平方法b直接開平方法適用于解形如(xa)2b的一元二次方程當(dāng)b0時，xa ，bbxa ；當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。b例其次象限一點〔—1—2，關(guān)于x軸的對稱點為，且6，則 2、配方法一般步驟：方程ax2bxc0(a0兩邊同時除以a,將二次項系數(shù)化為1.將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊。所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配方，化成(xa)2bb開方，當(dāng)b0時，xa ；當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。b例假設(shè)方程x42

a有解，則a的取值圍是〔 ．Aa0 Ba0 Ca0 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2bxc0(a0的求根公式：b b2b b24ac2a

4ac0)例2＋4－2=0，那么32＋12＋20234、因式分解法一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。例一個三角形的兩邊長是方程2-8x+15=0的兩根，則第三邊y的取值圍是〔 ．A．y<8 B．3<y<5 c．2<y<8 補(bǔ)充：一元二次方程根的判別式根的判別式1、定義：一元二次方程 ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0的根的判別式。2、性質(zhì)：當(dāng)b24ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b24ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b24ac＜0時，方程沒有實數(shù)根。例x的方程x2–2(a–1)x=(b+2)2有兩個相等的實根，則a2023+b5的值為.例假設(shè)關(guān)于x的方程x2–2x(k-x)+6=0無實根，則k可取的最小整數(shù)為〔 〕〔A〕-5〔B〕-4 〔C〕 -3〔D〕-2補(bǔ)充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕假設(shè)方程xx c。12 a

ax2bxc

0(a0)

的兩個實數(shù)根是x，x1 2

，那么xx1 2

b，a第三章 概率的進(jìn)一步生疏1、頻率在頻率分布表里，落在各小組的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)；．．每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率；即：．．頻率 頻數(shù) 頻數(shù)數(shù)據(jù)總數(shù) 試驗次數(shù)1。因此，各個小長方形的面積的和等于1。2、概率的求法：一般地，假設(shè)在一次試驗中，有nAm個結(jié)果，那么大事AP〔A〕=mn表格法用列出表格的方法來分析和求解某些大事的概率的方法叫做列表法。樹狀圖法通過畫樹狀圖列出某大事的全部可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。〕例在布袋中裝有兩個大小一樣，質(zhì)地一樣的球，其中一個為紅色，一個為白色。模擬“摸出一個球是白球”的時機(jī)，可以用以下哪種替代物進(jìn)展試驗〔 〕“拋擲一枚一般骰子消滅1點朝上”的時機(jī)“拋擲一枚啤酒瓶蓋消滅蓋面朝上”的時機(jī)“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣消滅正面朝上”的時機(jī)349349812354例如圖，圖中的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個和4個扇形，每個扇形上都標(biāo)有數(shù)字，同時自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停頓后，指針都落在奇數(shù)上的概率是〔 〕20 20 〔A〕5

10 〔C〕

〔D〕例如圖，一個小球從A點沿制定的軌道下落，在每個穿插口都有向左或向右兩種時機(jī)均等的結(jié)果，小球最終到達(dá)H點的概率是〔 〕〔A〕1 〔B〕1 〔C〕1 〔D〕12 4 6 8例1、2、3、41、2、3、4，將它們反面朝上分別重洗牌后，從兩組牌中各摸出一，那么摸出的兩牌的牌面數(shù)字之和等于5的概率是〔 〕1

1

1

32 3 4 5例在圖中的甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤中，指針指向每一個數(shù)字的兩個數(shù)字表示兩條線段的長，假設(shè)第三條線段的長為5，1 22 6那么這三條線段不能構(gòu)成三角形的概率是〔 〕 4 73．．35 4 36

9

12

1625 25

25 25 甲 乙三、典型例題例1.袋中有紅、黃、白色球各一個，它們除顏色外其余都一樣，每次任取一個，又放回抽取兩次。求以下大事的概率?！?〕全紅〔2〕顏色全同〔3〕無白解：紅紅〔紅，紅〕黃〔紅，黃〕白〔紅，白〕紅紅〔紅，紅〕黃〔紅，黃〕白〔紅，白〕黃〔黃，紅〕〔黃，黃〕〔黃，白〕白〔白，紅〕〔白，黃〕〔白，白〕19P(顏色全同)13P(無白)49說明：顏色全同包括都是紅色或都是黃色或都是白色；無白指沒有白色球。......例2.一個密碼保險柜的密碼由6個數(shù)字組成，每個數(shù)字都是由0～9這十個數(shù)字中的一個，王叔叔遺忘了其中最終面的兩個數(shù)字，那么他一次就能翻開保險柜的概率是多少？解：他前面的4個數(shù)字都道只有最終兩個數(shù)字遺忘了，而最終兩個數(shù)字每個數(shù)字消滅的可能結(jié)果都有10100概率是 1 。100例3.5覺察摸到紅球、黃球、藍(lán)球、白球及黑球的頻率依次為25％，30％，30％，10％，5％，試估量袋中紅色球、黃色球、藍(lán)色球及白色球各有多少個？解：小剛放入 5 個黑球后摸到的黑色球的頻率為 5％，則可以由此估量出袋中共有球5 ＝100(個)。說明此時袋中可能有100個球〔包括5個黑球〕，則有紅色球5％ 100 ×25％＝25個，黃色球100×30％＝30個，藍(lán)色球100×30％＝30個，白色球100×10％＝10個。例4.甲、乙兩人用如下圖的兩個轉(zhuǎn)盤做玩耍，轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各1次假設(shè)兩次數(shù)字之差確實定值為0，1或21624531416245314856〔1〕用列表的方法可看出全部可能的結(jié)果：13456810234572112346431012454210136532102從上表中可以看出兩個數(shù)字之差確實定值，為 0的有4種可能結(jié)果，1的有7種可能結(jié)果，2的有6種可能結(jié)果，所以甲勝的概率為可能性比乙大，所以不公正?！?〕通過列表可知：

1713，因此30 30 134568124567923567810457891012568910111367910111214消滅的兩個數(shù)字之和是2的倍數(shù)有15種，消滅的兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)有10種，5的倍數(shù)有6種，所以甲勝的概率為小，所以不公正。

15 1630，而乙勝的概率為30，因此甲勝的可能性比 乙例5.小明與同學(xué)一起想知道每66個人中恰有兩個人生肖一樣的概率，你能幫他們設(shè)計這個模擬方案嗎？分析：可以用摸球、撲克牌、轉(zhuǎn)盤、計算器模擬隨機(jī)整數(shù)等方法。留意“一次試驗”的設(shè)計。解：用12個完全一樣的小球分別編上1～12，代表12個生肖，放入一個不透亮的袋中搖勻后，從中隨機(jī)抽取一球，登記后放回，再搖勻后取出一球登記……連續(xù)取出6個球為一次試驗，重復(fù)上述試驗過程屢次，統(tǒng)計每次試驗中消滅一樣的次數(shù)除以總的試驗次數(shù)，得到的試驗頻率可估量每6個人中有兩個人生肖一樣的概率。第四章 圖形相像與相像三角形學(xué)問點解讀學(xué)問點1.．相像圖形的含義把外形一樣的圖形叫做相像圖形〔即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形〕解讀〔〕兩個圖形相像，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到．全等形可以看成是一種特別的相像，即不僅外形一樣，大小也一樣．推斷兩個圖形是否相像，就是看這兩個圖形是不是外形一樣，與其他因素?zé)o關(guān)．例1．放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要留意鏡中的正方形與原正方形的外形沒有轉(zhuǎn)變．解：是相像圖形。由于它們的外形一樣，大小不肯定一樣．例2．以下各組圖形：①兩個平行四邊形；②兩個圓；③兩個矩形；④有一個角80°的兩個等腰三角形；⑤兩個正五邊形；⑥有一個角是 100°的兩個等腰三角形，其中肯定是相像圖形的是 (填序號)．解析：依據(jù)相像圖形的定義知，相像圖形的外形一樣，但大小不肯定一樣，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于外形不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的外形不唯一，它們都相像．答案：②⑤⑥．學(xué)問點2．比例線段c對于四條線段a,b,c,d假設(shè)其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等即 d〔或a:b=c:d〕那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．a(chǎn) c解讀〔〕四條線段d成比例，記作 b段有挨次性．

d〔或，不能寫成其他形式，即比例線a c在比例式 b是第四比例項．

d〔或a:b=c:d〕中，比例的項為a,b,c,d，其中a,d為比例外項，b,c為比例項，da b假設(shè)比例項是一樣的線段，即b

c或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項。通常四條線段a,b,c,da和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另一個單位也可以，由于整體表示兩個比相等．a(chǎn)例3．線段a=2cm,b=6mm,求 ．ba分析：求

即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比．b3例4．a(chǎn),b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=2

dm，求c的長度．分析：由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d，再把所給各線段a,b,,d統(tǒng)一單位后代入求c．學(xué)問點3．相像多邊形的性質(zhì)相像多邊形的性質(zhì)：相像多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．解讀〔〕〔2〕明確相像多邊形的“對應(yīng)”來自于書寫，且要明確相像比具有挨次性．例5．假設(shè)四邊形ABCD的四邊長分別是4，6，8，10，與四邊形ABCD相像的四邊形ABCD的最大邊長為30，則四邊形ABCD

的最小邊長是多少？

111111111分析：四邊形ABCD與四邊形ABCD相像，且它們的相像比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為

，再根1111 3據(jù)相像多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長．學(xué)問點4．相像三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相像三角形．解讀〔〕相像三角形是相像多邊形中的一種；應(yīng)結(jié)合相像多邊形的性質(zhì)來理解相像三角形；相像三角形應(yīng)滿足外形一樣，但大小可以不同；相像用“∽”表示，讀作“相像于相像三角形的對應(yīng)邊之比叫做相像比．留意：①相像比是有挨次的，比方△ABC∽△ABC，相像比為k,假設(shè)△ABC∽△ABC，則相像比1111

111為 。②假設(shè)兩個三角形的相像比為1，則這兩個三角形全等，全等三角形是相像三角形的特別狀況。k假設(shè)兩個三角形全等，則這兩個三角形相像；假設(shè)兩個三角形相像，則這兩個三角形不肯定全等．例6．如圖，△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，則和的相像比是多少？點D，E分別是AB，AC的中點嗎？ADEADE留意：解決此類問題應(yīng)留意兩方面〔〕〔〕圖形的識別．DE AD AE DE 2 1解：由于△ADE∽△ABC，所以 BCAD AE 1

AC，由于BC42，所以AB

2，所以D，E分別是AB，AC的中點．學(xué)問點5．相像三角的判定方法定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相像；〔或其他兩邊的延長線〕所構(gòu)成的三角形與原三角形相像．假設(shè)一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相像．假設(shè)一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相像．假設(shè)一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相像．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相像．經(jīng)過歸納和總結(jié)，相像三角形有以下幾種根本類型：① 平行線型常見的有如下兩種，DE∥BC，則△ADE∽△ABCEDAEDADEB C B C② 相交線型常見的有如下四種情形，如圖，∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADE∽△ABCAECAEC1DA1DEB C如下左圖，∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADC∽△ACB如下右圖，∠B=∠D，則由對頂角∠1=∠2得，△ADE∽△ABCD2AD2A1CBAD1B C③ 旋轉(zhuǎn)型∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，以下圖為常見的根本圖形．AEDB C④ 母子型∠ACB=90°，AB⊥CD，則△CBD∽△ABC∽△ACD．CD BC解決相像三角形問題，關(guān)鍵是要擅長從簡單的圖形中分解出〔構(gòu)造出〕上述根本圖形．例7．如圖，點D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，△ACD與△ABC相像？試分別加以列舉．AD21C分析：此題屬于探究性問題，由相像三角形的判別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個三角形相像，可依據(jù)相像三角形的判別方法查找一個條件即可．解：當(dāng)滿足以下三個條件之一時，△ACD∽△ABCAD AC條件一：∠1=∠B；條件二：∠2=∠ACB；條件三： AC學(xué)問點6．相像三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；

AB，即AC2=AD·AB．對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相像比；相像三角形周長之比等于相像比；面積之比等于相像比的平方．例8．如圖，△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7求DE、AE的長；你還能覺察哪些線段成比例．EDEDB CDE AD AE分析：此題重點考察由兩個三角形相像，可得到對應(yīng)邊成例，即 BCDE AD AE

AC．解〔〕∵∽， ∴ BC

ABAC8 x∵，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 設(shè)DE=x，則12a 8 AD

15， ∴12x=8×15,x=10;設(shè)AE=a,則a7

12, ∴a=14. (2)BDECAB 2例9．△ABC∽△ABC， = ，△ABC的周長為20cm，面積為40cm2．111， AB 31求〕ABC2〕ABC111 111

1的面積．分析：依據(jù)相像三角形周長之比等于相像比；面積之比等于相像比的平方求解．易求出△ABC的周長為30cm;△ABC的面積90cm2111 111五、視圖與投影1、視圖三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。虛線。例如圖，一幾何體的三視圖如右：那么這個幾何體是.主視圖 左視圖 俯視圖例假設(shè)用□表示1個立方體用 表示兩個立方體疊加用■表示三個立方體疊加那么下面右圖由7個立方體疊成的幾何體，從正前方觀看，可畫出的平面圖形是〔 A B C D2、投影投影：物體在光線的照耀下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。平行投影：太線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。樣的光線所形成的投影稱為中心投影。區(qū)分平行投影和中心投影：①觀看光源；②觀看影子。影。①點在一個平面上的投影仍是一個點；②線段在一個面上的投影可分為三種狀況：......線段垂直于投影面時，投影為一點；③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種狀況：平面圖形和投影面垂直的狀況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的狀況下，其投影小于實際的外形。例 小明在操場上練習(xí)雙杠時，在練習(xí)的過程中他覺察在地上雙杠的兩橫杠的影子A〔 〕CA.相交 B.平行 C.垂直 D.無法確定例ABDCD，

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