定積分的應(yīng)用

§8.5定積分的應(yīng)用考慮曲邊梯形面積計算問題：abxyo1.問題的提出一、微元法

面積表示為定積分要通過如下步驟：(1)把區(qū)間[a,b]分成n個長度為xi的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形，第i個小窄曲邊梯形的面積為Ai，則(2)計算Ai的近似值A(chǔ)i

f(i)xi，i[xi-1,xi]；(3)求和，得A的近似值(4)求=max{xi}0時的極限,得A的精確值

比較兩式，我們發(fā)現(xiàn)一個事實，即左邊的極限式子與右邊的定積分表達式有很好的對應(yīng).我們讓

而使f(i)xi對應(yīng)f(x)dx，要想得到一個定積分表達式，只要求出被積表達式f(x)dx，這就是定積分的微元法.物體運動的路程：

已知物體沿直線運動，在時刻t的速度是v(t)，求從時刻a到時刻b物體運動的路程.首先求物體運動路程的路程微元ds.在時刻間隔[a,b]上任取一個時刻t，物體在時刻t的運動速度是v(t)，“運動時間”是微分dt，在時刻t物體運動的路程微元ds=v(t)dt，

再將每個時刻t的路程微元ds從時刻a到時刻b連續(xù)累加起來，即由a到b的定積分，就得到所求的物體運動的路程變力作功：已知變力F(x)(方向不變)沿力的方向?qū)⑽矬w從點a推到點b，求變力F(x)在[a,b]上所作的功W.

首先求變力作功的功微元dW.在[a,b]上任取一點x，在點x的力是F(x)，物體在點x運動的“距離”是微分dx，在點x變力作功的功微元dW=F(x)dx，再將每一點x變力作功的功微元從a到b連續(xù)累加起來，即由a到b的定積分，就得到所求的變力F(x)作的功微元法的一般步驟:2）在],[ba中任取一小區(qū)間并記為],[dxxx+，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量UD的近似值.如果

能近似地表示為],[ba上的一個連續(xù)函數(shù)在

x處的值)(xf與dx的乘積，就把dxxf)(稱為量

U的元素且記作

dU，即dxxfdU)(=；

2.定積分的微元法這個方法通常叫做微元法或元素法．常見應(yīng)用方向有：平面圖形的面積；平面曲線的弧長；立體的體積；旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積；變力作功；液體靜壓力；引力等．二、平面圖形的面積1.在直角坐標(biāo)系下的面積公式

已知在區(qū)間[a,b]上的非負連續(xù)曲線

y=f(x)，x軸及二直線x=a與x=b所圍成曲邊梯形的面積為a0xyb若f(x)在區(qū)間[a,b]上不都是非負的，則

連續(xù)曲線y=f(x)，x軸及二直線x=a與x=b所圍成曲邊梯形的面積為bocdexyoa由微元法，取x為積分變量，其變化范圍為區(qū)間[a,b]，在區(qū)間[a,b]的任意一個小區(qū)間[x,x+dx]上，相應(yīng)的面積可以用x點處的函數(shù)值f(x)-g(x)為高ayxbOxy=f(x)x+dxy=g(x)計算在[a,b]上的連線曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)g(x))及二直線x=a與x=b所圍成曲邊梯形的面積所以在[a,b]上的連線曲線f(x)，g(x)(f(x)

g(x))及二直線x=a與x=b所圍成曲邊梯形的面積為以dx為底的矩形面積近似代替(如圖)，從而得到面積微元在[a,b]上的連線曲線f(x)，g(x)及二直線x=a與x=b所圍成曲邊梯形的面積為

xO

ycdyy+dy在[c,d]上的連線曲線x=(y),x=(y)((y)(y))及二直線y=c與y=d所圍成曲邊梯形的面積為在[c,d]上的連線曲線x=(y),x=(y)及二直線

y=c與y=d所圍成曲邊梯形的面積為解：解方程組

取x為積分變量，其變化區(qū)間為[0,1].于是，所圍成平面圖形的面積為例1計算由曲線y=x2與直線y=x所圍成的平面圖形的面積.得：曲線y=x2與直線y=x的交點為(0,0),(1,1)(如圖)，解：解方程組

取x為積分變量，其變化區(qū)間為[0,1].于是，所圍成平面圖形的面積為例2計算拋物線y2x與yx2圍成的平面圖形的面積.得：拋物線y2x與yx2

的交點為(0,0),(1,1)(如圖)，解：解方程組

取y為積分變量，其變化區(qū)間為[-2,4].于是，所圍成圖形的面積為例3計算拋物線y22x與x-y4

圍成的圖形的面積.得：拋物線y22x與x-y4

的交點為(2,-2),(8,4)(如圖)，(2,-2)(8,4)例4求y=sinx，y=cosx，解由上述公式知所圍成的平面圖形的面積.也可以先作出該平面圖形的草圖，如圖，則直接可得y=cosxxOy=sinx1y例5求半徑為r的圓的面積.

解：在直角坐標(biāo)系中，取圓心為原點，半徑為r的圓的方程是x2+y2r2，上半圓方程是，下半圓的方程是，于是圓的面積是

解：

例6

求由曲線(兩部分都要計算)

與x2y28所圍成圖形的面積.

2.參數(shù)方程下的面積公式

設(shè)曲線C是參數(shù)方程：x=(t)，y=(t)，≤t≤，其中在[,]連續(xù).1)若函數(shù)x=(t)在[,]嚴(yán)格增加，從而，于是函數(shù).因此，曲線C:，x軸及二直線x＝a，x＝b圍成(1)

x=(t)存在反函數(shù)區(qū)域的面積為2)若函數(shù)x=(t)在[,]嚴(yán)格減少，從而，于是函數(shù).因此，曲線C:，x軸及二直線x＝a，x＝b(2)

x=(t)存在反函數(shù)圍成區(qū)域的面積為公式(1)(2)合起來就是：

(3)

若曲線C參數(shù)方程：x=x(t)，y=y(t)，≤t≤，其中在[,]連續(xù)，且x=x(t)在[,]嚴(yán)格單調(diào)，則曲線C,x軸及直線x()=a,x()=b圍成區(qū)域的面積為：定理2簡單光滑閉曲線C：x=x(t)，y=y(t)(≤t≤)圍成的平面圖形的面積為：465頁練習(xí)題8.51.(7)求平面曲線x=2acost-acos2t，y=2asint-asin2t所圍成的區(qū)域的面積．解：

練習(xí)題8.51.(8)求平面曲線x=2t-t2，y=2t2-t3所圍成的區(qū)域的面積．解：

例7

求由擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)的一拱與

x

軸所圍平面圖形的面積解:

例8求橢圓x=acost，y=bsint的面積，其中a>0，b>0.

解因為圖形關(guān)于x軸、y軸對稱，所以橢圓面積是它在第一象限部分的面積的四倍，把x=acost，y=bsint代入上述積分式中，上、下限也要相應(yīng)地變換(滿足積分變量t

).由定積分的換元公式得即xyO曲邊扇形曲邊扇形的面積微元

曲邊扇形是由連續(xù)曲線r=f()及射線,

所圍成的圖形.曲邊扇形的面積

3.極坐標(biāo)下的面積公式

.[,]，在角的極徑=f()，角的微分是d，由扇形面積公式，在角，極徑是r=f()，夾角是d的扇形面積微元是例9

計算阿基米德螺線ra(a>0)上相應(yīng)于從0變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.

解:

.

曲邊扇形的面積：

例10

計算心形線r2a(2cos)(a>0)所圍成的圖形的面積.

解:

.

曲邊扇形的面積：

例11

求雙紐線r2=a2cos2(a>0)圍成區(qū)域的面積.

解:

利用對稱性,則所求面積為例12求三葉玫瑰線r=asin3(a>0)圍成區(qū)域的面積.

解：三葉玫瑰線圍成的三個葉全等，如圖，只需計算陰影部分面積的6倍，即三葉玫瑰線r=asin3，角的變化范圍從0到,于是所求區(qū)域的面積為1.平面曲線弧長的概念三、平面曲線的弧長并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，用來表示Mi-1Mi若當(dāng)

設(shè)

稱曲線MN可求長,其長為L.A=M0,

M1,M2,…,Mi,…,Mn-1,Mn=B，設(shè)A,B是曲線弧上的兩個端點，在弧上插入分點的長度，則內(nèi)接折線總長度為時L(T)存在極限，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其圖形為一條處處有切線的曲線，且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動，這樣的曲線稱為光滑曲線.或者，從參數(shù)角度，若在[,]則由參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t)，≤t≤，確定的上連續(xù)，且曲線稱為光滑曲線.

定理

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)設(shè)曲線C由直角坐標(biāo)方程yf(x)，axb給出,其中f(x)在區(qū)間[a,b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).求此曲線弧的長度.

2.直角坐標(biāo)系下的弧長公式弧長微元:因此所求曲線的弧長：解：

曲線yf(x)(axb)的弧長：

例13計算曲線ylnx上相應(yīng)于的一段弧的長度

(解法一)令

則(解法二)

例14兩根電線桿之間的電線，由于自身重量而下垂成曲線，這一曲線稱為懸鏈線，已知懸鏈線方程為求從x=-a到x=a這一段的弧長.解：

曲線yf(x)(axb)的弧長：

故懸鏈線這段長為

設(shè)曲線C的參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出，其中(t)、(t)在[,

]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).于是此曲線的弧長：

2.參數(shù)方程下的弧長公式

若曲線C的參數(shù)方程xx(t)、yy(t),t，則曲線x(t)、y(t)(t)的弧長：

解:

例15計算星形線x=acos3t,y=asin3t,a>0的全長.用參數(shù)方程的弧長公式

曲線xx(t)、yy(t),t的弧長例16求擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)一拱的弧長.

xy解：

設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程rf()()給出,其中f()在[,

]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f()與不同時為0.

因為xf(q)cosq,

yf(q)sinq(),所以弧長微元：

于是此曲線的弧長：

3.極坐標(biāo)下的弧長公式若曲線C極坐標(biāo)方程r=r()，，則其弧長：曲線rr()()的弧長：例17

求阿基米德螺線ra(a>0)相應(yīng)于從0到2

一段的弧長.

解

于是所求弧長為

曲線yf(x)(axb)的弧長：

曲線xx(t)、yy(t)(t)的弧長：曲線rr()()的弧長：例18求心臟線ra(1+cos)(a>0)的全長.

解：故所求弧長：

設(shè)立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,

b],立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).

立體的體積微元為

立體的體積為1.已知平行截面面積(函數(shù))，求立體的體積dV=A(x)dx.

A(x)四、應(yīng)用截面面積求體積截面面積為A(x)的立體體積：例19

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角.計算這平面截圓柱所得立體的體積.

建立坐標(biāo)系如圖,則底圓的方程為x2y2R2.

利用對稱性，所求立體的體積為

解

立體中過點x且垂直于x軸的截面為直角三角形,其面積為解如圖取坐標(biāo)系底圓方程為截面面積所求體積例20求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.x2y2R2，

垂直于x軸的截面為等腰三角形，解：兩圓柱所圍成的立體是關(guān)于8個卦限對稱的，因此，它的體積是其在第一卦限體積的8倍.下圖就是其在第一卦限部分立體：例21求兩圓柱:x2y2R2,z2x2R2所圍幾何體的體積.

xA(x)

x[0,R]，因為兩圓柱半徑相同，所截的截面是一個邊長為的正方形,所以截面面積

A(x)=R2-x2,x[0,R]，故所求立體的體積是

例22求由橢球面(a,b,c>0)所圍的幾何體體積．解：用垂直于x軸的平面截橢球體所得的截面是橢圓，x[0,a]，其所在截面橢圓方程為此橢圓面積是

于是，所求幾何體的體積是連續(xù)曲線yf(x),x軸,直線xa,xb圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體.

2.旋轉(zhuǎn)體的體積

x[a,b]，過點x作垂直于x軸的平面，于是其繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為其面積為A(x)=[f(x)]2，與旋轉(zhuǎn)體相截，截面是半徑為f(x)的圓，類似有，將在區(qū)間[c,d]的連續(xù)曲線x=(y)，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為此外，連續(xù)曲線y=f(x),x軸,直線x=a,x=b圍成的曲邊梯形，繞y軸產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)體的體積為例23求拋物線y24ax及直線xx0(x00)所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積

旋轉(zhuǎn)體的體積：

解：

所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

解

所求旋轉(zhuǎn)體可以看作上半橢圓22xaaby-=及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體.

故所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

旋轉(zhuǎn)體的體積：

旋轉(zhuǎn)體體積．例24求橢圓所圍圖形繞

x軸而成的

例25由yx3