隱函數(shù)的導數(shù)高階導婁

第3.3節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)高階導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)*由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)二、高階導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)若由方程可確定y是

x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導方法:

兩邊對x求導(注意y=y(x))(含導數(shù)的方程)要求隱函數(shù)的導數(shù)，首先將方程兩邊對求導，在求導過程中把看作的函數(shù)，然后從所得方程中解出。設方程為含有兩個未知量和的方程，如果存在函數(shù)將其代入上述方程，使方程變?yōu)楹愕仁剑瑒t稱是由方程所確定的隱函數(shù)。￥￥￥一、隱函數(shù)導數(shù)例

求由方程在x=0

處的導數(shù)解

方程兩邊對x求導得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例.

求橢圓在點處的切線方程.解

橢圓方程兩邊對x求導故切線方程為即例求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)，并求曲線過點的切線方程。所以由于曲線在點處的切線斜率為解方程兩邊分別對求導，得*****故所求切線方程為即***例求由方程所確定的隱函數(shù)導數(shù)。解方程兩邊分別對求導，得則有即所以例.

求的導數(shù).解

兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x求導（對數(shù)求導法）

例3.24設，求解對的兩邊取對數(shù)，得將上式兩邊對求導，得即所以對數(shù)求導法

對數(shù)求導法例3.25設，求解對的兩邊取對數(shù)，得將上式兩邊對求導，得

所以2)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求導1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)注按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式注意:求導法求導:又如,

對x求導兩邊取對數(shù)求其反函數(shù)的導數(shù).解方法1方法2等式兩邊同時對求導例設二*、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與x之間的函數(shù)可導,且則時,有時,有(此時看成x是y的函數(shù))關系,若上述參數(shù)方程中二階可導,且則由它確定的函數(shù)可求二階導數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得記?例4.

設,且求已知解:練習:解:注意:對誰求導?

例5.設由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t

求導,得故內(nèi)容小結1.隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2.對數(shù)求導法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)1.設求提示:分別用對數(shù)求導法求答案:思考與練習2.設由方程確定,解方程兩邊對x求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得求①求其反函數(shù)的導數(shù).解方法1方法2等式兩邊同時對求導備用題1.設,求解方程組兩邊同時對t求導,得2.設高階導數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運動定義.若函數(shù)的導數(shù)可導,或即或類似地,二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),階導數(shù)的導數(shù)稱為n階導數(shù),或的二階導數(shù),記作的導數(shù)為依次類推,分別記作則稱階導數(shù)在點處的值記為類似的，可以定義的階導數(shù)。如果函數(shù)的階導數(shù)存在并可導，則的階導數(shù)的導數(shù)稱為的階導數(shù)，記為例設，求。解一般地，有例設，求解一般地，有##2、高階導數(shù)的運算法則1、高階導數(shù)的概念二、高階導數(shù)1、高階導數(shù)的定義如果函數(shù)的導函數(shù)在點處可導，則稱其導數(shù)為在點處的二階導數(shù)，記為相應地，函數(shù)的二階導函數(shù)記為：根據(jù)導數(shù)的定義，有例1.

設求解特別有:設求解:依次類推,例2.思考:設問可得所以設，求和。解例3例4.

設求解

一般地,類似可證:例6設由方程確定,解方程兩邊對x求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得求①

求n階導數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結果的規(guī)律性,寫出n階導數(shù).(數(shù)學歸納法證明)解規(guī)定0!=1思考:求注例5.

設解

設求其中f二階可導.例規(guī)律2、高階導數(shù)的運算