高中數(shù)學(xué)北師大版第三章概率古典概型 2023版第3章2互斥事件

互斥事件1．了解互斥事件的概念及概率加法公式．2．理解互斥事件和對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系．3．掌握對(duì)立事件的概率及概率的計(jì)算公式．(難點(diǎn))4．能利用互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式解決復(fù)雜的古典概率的計(jì)算問題．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1互斥事件閱讀教材P138～P140“例5”以上部分，完成下列問題．1．互斥事件的定義在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A和B稱作互斥事件．2．事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生給定事件A，B，我們規(guī)定A＋B為一個(gè)事件，事件A＋B發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生．根據(jù)上述定義推廣可得：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A1，事件A2，…，事件An中至少有一個(gè)發(fā)生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生(即A，B中至少有一個(gè)發(fā)生)的概率等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．這個(gè)公式稱為互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An發(fā)生(即A1，A2，…，An中至少有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)已知事件A與B，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．()(2)若三個(gè)事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.()(3)袋子中裝有白球3個(gè)，黑球4個(gè)，從中任取3個(gè)，“恰有一個(gè)白球”和“全是白球”是互斥事件．()【解析】(1)×，A與B互斥時(shí)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)×，P(A)＋P(B)＋P(C)的值不確定．(3)√，恰有一個(gè)白球與全是白球是互斥事件．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2對(duì)立事件及其概率的求法公式閱讀教材P140“例5”至P143“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．1．定義在每一次試驗(yàn)中，如果兩個(gè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)發(fā)生，那么事件A與B稱作是對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為eq\x\to(A).2．性質(zhì)P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，即P(A)＝1－P(eq\x\to(A))．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)事件A與事件B互斥，則事件A與B互為對(duì)立事件．()(2)事件A與B若滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對(duì)立事件．()(3)若事件A與B互為對(duì)立事件，則A與B互斥．()【解析】(1)×，A與B不一定對(duì)立．(2)×，例如a，b，c，d四個(gè)球，選中每個(gè)球的概率相同，事件A為選中a，b兩個(gè)球，則P(A)＝eq\f(1,2)；事件B為選中b，c兩個(gè)球，則P(B)＝eq\f(1,2)，則P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對(duì)立事件．(3)√，對(duì)立事件一定是互斥事件．【答案】(1)×(2)×(3)√[小組合作型]互斥事件與對(duì)立事件的判斷某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽．判斷下列各對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件．(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少1名男生與全是男生；(3)至少1名男生與全是女生．【精彩點(diǎn)撥】要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件，只需找出各個(gè)事件包含的所有結(jié)果，看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生．在互斥的前提下，看兩個(gè)事件中是否必有一個(gè)發(fā)生，可判斷是否為對(duì)立事件．【自主解答】從3名男生和2名女生中任選2名同學(xué)有3類結(jié)果：兩男或兩女或一男一女．(1)因?yàn)榍∮?名男生與恰有2名男生不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件但不是對(duì)立事件；(2)當(dāng)恰有2名男生時(shí)，至少1名男生與全是男生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)因?yàn)橹辽?名男生與全是女生不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件，由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件．1．判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，主要看它們能否同時(shí)發(fā)生．若能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件不是互斥事件；若不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件是互斥事件．2．判斷兩個(gè)事件是否為對(duì)立事件，主要看是否同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是不能同時(shí)發(fā)生；二是必有一個(gè)發(fā)生．這兩個(gè)條件同時(shí)成立，那么這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，只要有一個(gè)條件不成立，那么這兩個(gè)事件就不是對(duì)立事件．[再練一題]1．判斷下列給出的條件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說明理由：從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點(diǎn)數(shù)大于9”．【解】(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件．(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件．從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．互斥事件的概率袋中有12個(gè)相同的小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：63580039】(1)求得到黑球、得到黃球及得到綠球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率．【精彩點(diǎn)撥】從12球中任取一球，取到紅球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．【自主解答】(1)從袋中任取一球，記事件A為“得到紅球”，B為“得到黑球”，C為“得到黃球”，D為“得到綠球”，則事件A，B，C，D兩兩互斥．由已知P(A)＝eq\f(1,3)，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)，∴P(B＋C＋D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).∵B與C＋D，B＋C與D也互斥，∴P(B)＝P(B＋C＋D)－P(C＋D)＝eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，P(D)＝P(B＋C＋D)－P(B＋C)＝eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，P(C)＝1－P(A＋B＋D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4)))＝1－eq\f(5,6)＝eq\f(1,6).故得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).(2)∵得到的球既不是黑球也不是綠球，∴得到的球是紅球或黃球，即事件A＋C，∴P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，故得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率為eq\f(1,2).1．解決本題的關(guān)鍵是明確取到不同顏色的球不可能同時(shí)發(fā)生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若隨機(jī)試驗(yàn)中，涉及多個(gè)事件，應(yīng)先分析判斷這幾個(gè)事件是否互斥(或?qū)α?，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．當(dāng)某一事件包含幾個(gè)互斥的事件時(shí)，求該事件發(fā)生的概率也用上述規(guī)律．[再練一題]2．向三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)投擲一顆炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫(kù)的概率是，炸中其他兩個(gè)的概率都是.已知只要炸中一個(gè)，另外兩個(gè)都會(huì)爆炸．求這三個(gè)軍火庫(kù)都爆炸的概率和都沒有爆炸的概率．【解】設(shè)以A，B，C分別表示炸中第一、第二、第三個(gè)軍火庫(kù)的事件，則P(A)＝，P(B)＝P(C)＝.由題意知A，B，C兩兩互斥，且“三個(gè)軍火庫(kù)都爆炸”意味著炸彈炸中其中任何一個(gè)．設(shè)D表示事件“三個(gè)軍火庫(kù)都爆炸”，則D＝A＋B＋C，其中A，B，C兩兩互斥．所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.所以，三個(gè)軍火庫(kù)都沒有爆炸的概率為1－P(D)＝.[探究共研型]對(duì)立事件的概率與求法探究1若令A(yù)＝“小明考試及格”，eq\x\to(A)＝“小明考試不及格”，則事件A與事件eq\x\to(A)能不能同時(shí)發(fā)生，或者都不發(fā)生？為什么？【提示】不可能同時(shí)發(fā)生，由于事件A與eq\x\to(A)是互斥事件，所以不可能同時(shí)發(fā)生，事件A與eq\x\to(A)也不可能都不發(fā)生，因?yàn)橐淮慰荚囍校∶鞯某煽?jī)要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A與eq\x\to(A)必有一個(gè)發(fā)生．探究2將一枚質(zhì)地均勻的骰子隨機(jī)拋擲一次，觀察骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)U＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的全體”，A＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，B＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，則A，U是互斥事件嗎？A，B是互斥事件嗎？B，U是互斥事件嗎？”【提示】A，U不是互斥事件，A，B是互斥事件，B，U不是互斥事件．一盒中裝有各色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．【精彩點(diǎn)撥】先設(shè)出有關(guān)的互斥事件，然后把所求事件的概率轉(zhuǎn)化為求某些互斥事件和的概率，另外也可考慮用古典概型以及對(duì)立事件來解決．【自主解答】法一：利用等可能事件求概率．(1)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9(種)不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個(gè)球中任取一球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).法二：利用互斥事件求概率．記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}；A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷；A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷；A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法三：利用對(duì)立事件求概率的方法．(1)由法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對(duì)立事件為A3＋A4.所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的對(duì)立事件為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：1將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件；2若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí)，需要分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮利用對(duì)立事件的概率公式，即“正難則反”.它常用來求“至少…”或“至多…”型事件的概率.[再練一題]3．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率(1)求至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)求至少2人排隊(duì)等候的概率．【解】記在窗口等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件A，B，C，則A，B，C兩兩互斥．(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.(2)至少2人排隊(duì)等候的反面是“等候人數(shù)為0或1”，而等候人數(shù)為0或1的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，故至少2人排隊(duì)等候的概率為1－＝.1．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論哪個(gè)是正確的()A．A與C互斥 B．B與C互斥C．任何兩個(gè)都互斥 D．任何兩個(gè)都不互斥【解析】由題意可知，事件A，B，C兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，因此兩兩互斥．【答案】C2．從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述事件中，是對(duì)立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】從1～9中任取兩個(gè)數(shù)，有以下三種情況．(1)兩個(gè)均為奇數(shù)，(2)兩個(gè)均為偶數(shù)，(3)一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，故③為對(duì)立事件．【答案】C3．某產(chǎn)品共有三個(gè)等級(jí)，分別為一等品、二等品和不合格品．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè)，若“抽到一等品”的概