理論力學(xué)第四章

第四章摩擦理論力學(xué)1中南大學(xué)土木工程學(xué)院前幾章我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。平衡必計(jì)摩擦按接觸面的運(yùn)動(dòng)情況看摩擦分為：滑動(dòng)摩擦，滾動(dòng)摩擦PFN1FN2Fs1Fs2理論力學(xué)2中南大學(xué)土木工程學(xué)院1、定義：兩接觸物體，產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸面產(chǎn)生阻止物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力叫靜(滑動(dòng))摩擦力。

（就是接觸面對(duì)物體作用的切向約束力）一、靜滑動(dòng)摩擦力2、狀態(tài)：①靜止FS=F

；FS隨F

的增加而增加，但有一臨界值。

§4-1滑動(dòng)摩擦FNPFSFT理論力學(xué)3中南大學(xué)土木工程學(xué)院所以增大摩擦力的途徑為：①加大法向壓力FN；②加大靜摩擦因數(shù)fS。（fS—靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)）②臨界狀態(tài)：（將滑未滑）摩擦力為最大靜摩擦力FNPFmaxFT3、特征： 大小： （平衡范圍）滿足靜摩擦力特征：方向：與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反 定律： （fs只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)）理論力學(xué)4中南大學(xué)土木工程學(xué)院二、動(dòng)滑動(dòng)摩擦力（與靜滑動(dòng)摩擦力不同之處是已經(jīng)產(chǎn)生了滑動(dòng)） 大?。耗Σ亮κ且怀?shù)；（無(wú)平衡范圍）動(dòng)摩擦力特征：方向：與物體運(yùn)動(dòng)方向相反； 定律：

（f只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)）對(duì)多數(shù)材料，通常情況下理論力學(xué)5中南大學(xué)土木工程學(xué)院§4-2摩擦角與自鎖現(xiàn)象

一、摩擦角

①全約束力

即FR=FN+FS

，它與接觸面的公法線成一偏角j，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)，即靜摩擦力達(dá)到最大值Fmax時(shí),偏角j達(dá)到最大值jf，全約束力與法線夾角的最大值jf叫做摩擦角。FNFSFRjFNjFmaxFRjf②計(jì)算摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)理論力學(xué)6中南大學(xué)土木工程學(xué)院③摩擦錐：頂角為2jf

的錐體。當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢(shì)方向改變時(shí)，全約束力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)R的作用線將畫出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱為摩擦錐。設(shè)物塊與支承面間沿任何方向的摩擦因數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個(gè)頂角為2jf的圓錐。FR解析法求摩擦問(wèn)題時(shí)：切向摩擦力FS和法向約束力FN分別畫，用平衡方程求解！不必考慮摩擦錐。幾何法求摩擦問(wèn)題時(shí)：需要把切向摩擦力FS和法向約束力FN合并成一個(gè)全約束力畫，作力三角形求解！必須把全約束力畫在摩擦錐內(nèi)。物體平衡理論力學(xué)7中南大學(xué)土木工程學(xué)院④測(cè)定摩擦因數(shù)的一種簡(jiǎn)易方法G理論力學(xué)8中南大學(xué)土木工程學(xué)院

由于靜摩擦力不可能超過(guò)最大值，因此全約束力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即全約束力必在摩擦錐之內(nèi)。二、自鎖現(xiàn)象將摩擦錐反向，判斷主動(dòng)力的合力是否在反向摩擦錐內(nèi)來(lái)判斷物體是否平衡。物塊平衡時(shí)，靜摩擦力不一定達(dá)到最大值，可在零與最大值Fmax之間變化，所以全約束力與法線間的夾角j也在零與摩擦角jf之間變化，即FNFmaxFRjjfFS平衡有則必有理論力學(xué)9中南大學(xué)土木工程學(xué)院因?yàn)樵诜ň€上有所以在切線上必然平衡！因?yàn)橹鲃?dòng)力的合力FR與法線間的夾角q

<jf，因此，F(xiàn)R和全約束力FRA必能滿足二力平衡條件，且q

=j<jf

。1、如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角jf之內(nèi)，則無(wú)論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。qjfFRFRAAjjfjf2、如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角jf之外，則無(wú)論這個(gè)力怎樣小，物塊必滑動(dòng)。qjfFRFRAAjjfjf因?yàn)閝

>jf，而

j≤

jf

，因此主動(dòng)力的合力FR和全約束力FRA不能滿足二力平衡條件。靜止滑動(dòng)理論力學(xué)10中南大學(xué)土木工程學(xué)院3、自鎖應(yīng)用舉例斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角q就是斜面的傾角。螺母相當(dāng)于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向荷載P，相當(dāng)物塊A的重力，要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角q小于或等于摩擦角jf。因此螺紋的自鎖條件是自鎖應(yīng)用實(shí)列理論力學(xué)11中南大學(xué)土木工程學(xué)院q<jf理論力學(xué)12中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：①作法線AH和BH

②作A，B點(diǎn)的摩擦角jf

交E，G兩點(diǎn)

③E，G兩點(diǎn)間的水平距離CD為人的活動(dòng)范圍 [例]水平梯子放在直角V形槽內(nèi)，略去梯重，梯子與兩個(gè)斜面間的靜摩擦因數(shù)為fs（摩擦角均為j

f

），如人在梯子上走動(dòng)，試分析不使梯子滑動(dòng)，人的活動(dòng)應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)？P130,4-10300600ABlHEjf

jf

Gjf

jf

CD證明：由幾何關(guān)系所以人在AC和BD段活動(dòng)都不能滿足三力平衡匯交的原理，只有在CD段活動(dòng)時(shí)，才能滿足三力平衡匯交原理。理論力學(xué)13中南大學(xué)土木工程學(xué)院[例]在隧道施工中，廣泛采用各種利用摩擦鎖緊裝置—楔聯(lián)結(jié)。隧道支柱中的聯(lián)結(jié)結(jié)構(gòu)裝置如圖所示。它包括頂梁I，楔塊II，用于調(diào)節(jié)高度的螺桿III及底座IV。螺旋桿給楔塊以向上的推力FN1。已知楔塊與上下支柱間的靜摩擦因數(shù)均為fs（摩擦角jf

），求楔塊不致滑出所需頂角的大小。ⅠⅡⅢⅣq解：研究楔塊，受力如圖且兩力必在同一直線上二力平衡條件qFR1FR2j1j2q各處摩擦相同，求能自鎖的角q。Fq理論力學(xué)14中南大學(xué)土木工程學(xué)院[例]圖示為凸輪機(jī)構(gòu)。已知推桿和滑道間的摩擦因數(shù)為fs，滑道寬度為b。設(shè)凸輪與推桿接觸處的摩擦忽略不計(jì)。問(wèn)a為多大，推桿才不致被卡住。baeBMdAAaOBCba極限Fφf(shuō)φf(shuō)FRAFRB解：A、B處的全約束力只能在摩擦角以內(nèi)，即兩力作用線的交點(diǎn)只能在C或C的右側(cè)。由三力平衡匯交定理可知，三力在C點(diǎn)右側(cè)匯交時(shí)，摩擦力未達(dá)到臨界狀態(tài)，可以平衡。因此a<a極限時(shí)，推桿不會(huì)被卡住。挺桿不被卡住。理論力學(xué)15中南大學(xué)土木工程學(xué)院判斷物體是否平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題求平衡范圍問(wèn)題臨界平衡問(wèn)題一、判斷物體是否平衡問(wèn)題①假定物體平衡，將摩擦力FS作為未知力，指向可假設(shè)；②由平衡方程求FS和FN。若FS為負(fù)值則與假設(shè)指向相反；③計(jì)算Fmax=fSFN

，根據(jù)不等式|FS|≤

Fmax是否滿足來(lái)判斷物體是否平衡。滿足不等式則平衡，否則不平衡。§4-3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題理論力學(xué)16中南大學(xué)土木工程學(xué)院二、求平衡范圍問(wèn)題（包括力與幾何范圍）①設(shè)物體處于某種臨界平衡，摩擦力達(dá)到最大值Fmax，其方向不能假設(shè)，要根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷；②補(bǔ)充方程Fmax=fSFN

，由平衡方程求未知量；③根據(jù)求得的某種臨界平衡條件，分析其平衡范圍。三、臨界平衡問(wèn)題①設(shè)物體處于臨界平衡，摩擦力達(dá)到最大值Fmax，其方向不能假設(shè)，要根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷；②補(bǔ)充方程Fmax=fSFN

，由平衡方程求未知量。理論力學(xué)17中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：研究物塊處于向上滑動(dòng)時(shí)的臨界平衡狀態(tài)1、解析法求F1的最大值F1max，受力分析如圖。聯(lián)立求解得[例]在傾角a大于摩擦角jf

的固定斜面上放有重G的物塊，為了維持這物塊在斜面上靜止不動(dòng)，在物塊上作用了水平力F1。試求該水平力的大小。F1GaF1GaFNFmaxxy列平衡方程補(bǔ)充方程（物理方程）Fmax=fsFN2、幾何法求F1的最大值F1max，受力分析如圖。GF1maxFR1ajf畫力三角形如圖。GF1maxFR1a+jf由力三角形可得理論力學(xué)18中南大學(xué)土木工程學(xué)院3、解析法求F1的最小值F1min，受力分析如圖。同理求解得物塊平衡時(shí)，F(xiàn)1的大小應(yīng)滿足F1GaFNFmaxxy研究物塊處于向下滑動(dòng)時(shí)的臨界平衡狀態(tài)4、幾何法求F1的最小值F1min，受力分析如圖。GF1minFR2ajfGF1minFR2a-jf畫力三角形如圖。由力三角形可得理論力學(xué)19中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：考慮a取最小時(shí)梯子處于下滑趨勢(shì)的臨界平衡狀態(tài)，作受力圖。列平衡方程解得代入（3）補(bǔ)充方程代入（1）和（2）得[例]梯子長(zhǎng)AB=l，重為P，若梯子與墻和地面的靜摩擦因數(shù)均為fs=0.5，求a多大時(shí)，梯子能處于平衡？PABaminFNBFSBFNAFSA理論力學(xué)20中南大學(xué)土木工程學(xué)院PABaminFNBFSBFNAFSA得注意，由于a不可能大于900

，所以梯子平衡傾角a應(yīng)滿足幾何法求解當(dāng)梯子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，顯然

FRA

FRB

，于是DFRAaminjfjfABFRBjfjfCP理論力學(xué)21中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：考慮人沿梯子攀爬最遠(yuǎn)時(shí)梯子處于下滑趨勢(shì)的臨界平衡狀態(tài)，作受力圖。PABaDS若梯子與水平面的夾角a已知，且梯子與墻和地面的靜摩擦因數(shù)均為fs。不考慮梯子重量，重為P的人沿梯子攀爬的最遠(yuǎn)距離S為多少？FNBFBmaxFNAFAmax列平衡方程代入投影方程得補(bǔ)充方程代入取矩方程解得理論力學(xué)22中南大學(xué)土木工程學(xué)院幾何法求解當(dāng)梯子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，顯然

FRA

FRB

，于是直角?ABC中?ACD中DFRAajfjfABFRBjfjfCPSa即展開右式理論力學(xué)23中南大學(xué)土木工程學(xué)院[例]均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為2b，重為P，放在半徑為R的固定半圓柱上，設(shè)各處摩擦因數(shù)均為fs，求桿處于平衡時(shí)a的最大值。ABDRamax解：a取最大值時(shí)桿處于向右滑動(dòng)臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜摩擦力。畫AB的受力圖，列平衡方程。(1)(2)(3)補(bǔ)充方程(1)+(2)×fs得(4)(4)代入(3)得FNAFNDFDmaxFAmaxPACDbamaxamax理論力學(xué)24中南大學(xué)土木工程學(xué)院ABDRamax最后求得幾何法：因?yàn)锳、D兩點(diǎn)同時(shí)達(dá)到臨界狀態(tài)，所以兩點(diǎn)處的全約束力與法線的夾角均為摩擦角jf，畫受力圖如圖所示。?ACE?CDEFRAajfjfABCDbEPFRDjfjfajf900-(a+jf)a-j

f理論力學(xué)25中南大學(xué)土木工程學(xué)院ABDRamaxFRAajfjfABCDbEPFRDjfjfajf900-(a+jf)a-j

f即理論力學(xué)26中南大學(xué)土木工程學(xué)院[例]均質(zhì)桿放在粗糙的水平面上，桿與地面的靜摩擦因數(shù)為fs

，桿與水平面上的夾角為450。桿端用繩子拉住，試求繩子對(duì)水平線的傾角為多大時(shí)，桿開始向右滑動(dòng)。AB450Fa解：因?yàn)锳處達(dá)到臨界狀態(tài)，其全約束力與法線的夾角為摩擦角jf，畫受力圖如圖。FRAjf三力平衡匯交如圖所示。PC?ACD?BCDBC=AC展開得解析法自己考慮求解Da-450900-ajf理論力學(xué)27中南大學(xué)土木工程學(xué)院[例]P132,4-7不計(jì)自重的拉門與上下滑道之間的靜摩擦因數(shù)均為fS，門高為h。若在門上三分之二高處用水平力F拉門而不會(huì)卡住，求門寬b的最小值。hbFABDEjfFREFBE解：幾何法求解GjfAjfFRAjfbjfHD理論力學(xué)28中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：多點(diǎn)接觸問(wèn)題，以圓柱為研究對(duì)象

fsFNC

>fsFND，即C處最大靜摩擦力大于D處，但平衡時(shí)兩處摩擦力相等，于是D點(diǎn)首先達(dá)到臨界狀態(tài)。

代入上式得[例]均質(zhì)桿AB擱在半徑為r的均質(zhì)圓柱體上，桿軸與圓柱軸互相垂直，桿軸與圓柱重心在同一豎直平面內(nèi)。A點(diǎn)為光滑鉸支，其余接觸處的摩擦因數(shù)均為

fs，求系統(tǒng)平衡時(shí)桿與水平面夾角

的最大值。AOCDBq（不合題意）ACDFNDqFSDFNCFSCWOq理論力學(xué)29中南大學(xué)土木工程學(xué)院幾何法：根據(jù)三力平衡匯交定理，圓柱在重力W和C、D處的全約束力作用下平衡，且三力必匯交于C點(diǎn)，三力組成的力三角形自行封閉。FRDACDqWOFRCjDjCjDjDFRDWFRCjCjD由力三角形可知，jD

>jC，即D處先達(dá)到臨界狀態(tài)。從受力圖上可知，q=2jD≤2jf

，所以

q

max=2jf

。WFRDjDFRCjC或作力三角形只是為了說(shuō)明jD

>jC。理論力學(xué)30中南大學(xué)土木工程學(xué)院F[例]直徑分別為D和d的圓柱置于同一粗糙水平面，在大圓上作用水平力，設(shè)各處?kù)o摩擦因數(shù)均為f，證明大圓能翻過(guò)小圓的條件將為大圓能越過(guò)小圓的條件是：大圓A點(diǎn)無(wú)約束力；小圓B點(diǎn)的全約束力與法線的夾角不大于摩擦角。A根據(jù)三力平衡匯交定理：大圓重力W1和拉力F交于E點(diǎn)，則C點(diǎn)處的全約束力必通過(guò)E點(diǎn)。W1ECBjBFR對(duì)于小圓而言，小圓重力W2和B點(diǎn)全約束力FR交于B點(diǎn)，根據(jù)三力平衡匯交定理，則C點(diǎn)處的全約束力必通過(guò)B點(diǎn)。W2由圖示三角形得：jCjCjC幾個(gè)角度關(guān)系根據(jù)幾何關(guān)系有：注意：jC﹥jB，說(shuō)明C處先達(dá)到臨界狀態(tài)。為什么？小球平衡時(shí)力三角形自行封閉！WFRjBFRCjC理論力學(xué)31中南大學(xué)土木工程學(xué)院[例]圖示均質(zhì)木箱重P=5kN，它與地面間的靜摩擦因數(shù)fs

=0.4。圖中h=2a=2m，q=300。求（1）當(dāng)D處的拉力F=1kN時(shí)，木箱是否平衡？（2）能保持木箱平衡的最大拉力。P122，例4-5haqADPF解：取木箱為研究對(duì)象，受力分析如圖。欲保持木箱平衡，必須不發(fā)生滑動(dòng)，即Fs≤Fmax=fsFN

。不繞點(diǎn)A翻倒，即d>0。FsdFN(1)判斷是否平衡問(wèn)題，假設(shè)木箱平衡，列平衡方程解方程得理論力學(xué)32中南大學(xué)土木工程學(xué)院木箱與地面之間的最大靜摩擦力為因?yàn)镕s<Fmax

，所以木箱不滑動(dòng)。又因?yàn)閐>0，所以木箱不會(huì)翻倒。

(2)求平衡時(shí)最大拉力，即求滑動(dòng)臨界與翻倒臨界中的最小力F。木箱發(fā)生滑動(dòng)的條件為Fs=Fmax=fsFN聯(lián)立平衡方程，求得平衡方程haqADPFFsdFN理論力學(xué)33中南大學(xué)土木工程學(xué)院木箱繞A點(diǎn)翻倒的條件為d=0，代入下列平衡方程，得由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力為F=F翻=1.44kN上述解析法可否改用幾何法求解？如何用幾何法求解？haqADPFFsdFN理論力學(xué)34中南大學(xué)土木工程學(xué)院(1)判斷是否平衡問(wèn)題，假設(shè)木箱平衡，

不發(fā)生滑動(dòng)，即FR與法線夾角j≤jf

。不繞點(diǎn)A翻倒，即d>0。haqADPFd作力三角形PF600FRj由力三角形可得于是注意FRjj理論力學(xué)35中南大學(xué)土木工程學(xué)院

(2)求平衡時(shí)最大拉力，即求滑動(dòng)臨界與翻倒臨界中的最小力F。haqADPF1FRjfjfhaqADPF2FRj2j2F1600PFRjfF2600PFRj2或者理論力學(xué)36中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：①A不動(dòng)（即i點(diǎn)不產(chǎn)生移動(dòng)）求PAFAP1FS1FN1B4310050iPP2EFAFN2FS2q分析輪B有P對(duì)E點(diǎn)取矩用力線平移定理和合力矩定理[例]已知A塊重500N，輪B重1000N，D輪無(wú)摩擦，E點(diǎn)的靜摩擦因數(shù)fSE=0.2，A點(diǎn)的靜摩擦因數(shù)fSA=0.5。求使物體平衡時(shí)塊C的重量。

ABCD4310050iE理論力學(xué)37中南大學(xué)土木工程學(xué)院②E點(diǎn)不產(chǎn)生水平移動(dòng)B4310050iPP2EFAFN2FS2q③B輪不向上運(yùn)動(dòng)，即FN2≥0顯然，如果i，E兩點(diǎn)均不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，P必須小于208.3N，即理論力學(xué)38中南大學(xué)土木工程學(xué)院§4-4滾動(dòng)摩阻的概念當(dāng)搬運(yùn)重物時(shí)，若在重物底下墊上輥軸，則比直接將重物放在地面上推或拉要省力得多，這說(shuō)明用輥軸的滾動(dòng)來(lái)代替箱底的滑動(dòng)，所受到的阻力要小。車輛用輪子“行走”，機(jī)器重用滾動(dòng)軸承，都是為了減少摩擦阻力。理論力學(xué)39中南大學(xué)土木工程學(xué)院RO由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，下圖的受力分析看出一個(gè)問(wèn)題，即若此物體平衡，但不能完全滿足平衡方程。F與FS形成主動(dòng)力偶使輪滾動(dòng)，但輪卻可以平衡。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，它們?cè)诹Φ淖饔孟露紩?huì)發(fā)生一些變形，如圖：PFFNFSA理論力學(xué)40中南大學(xué)土木工程學(xué)院此力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化 ①滾阻力偶Mf隨主動(dòng)力偶（F，F(xiàn)S）的增大而增大；滾動(dòng)②0≤Mf≤

M

max

，有個(gè)平衡范圍；摩阻

③最大滾動(dòng)摩阻力偶M

max

與滾子半徑無(wú)關(guān)； ④滾動(dòng)摩阻定律：M

max=d

FN，d

為滾動(dòng)摩阻系數(shù)。滾動(dòng)摩阻力偶Mf與主動(dòng)力偶（F，F(xiàn)S）相平衡進(jìn)一步簡(jiǎn)化RPFOAROPFAFNFSMfFSROPFAFNdd理論力學(xué)41中南大學(xué)土木工程學(xué)院滾動(dòng)摩阻系數(shù)d

的說(shuō)明：①有長(zhǎng)度量綱，單位一般用mm，cm；②與滾子和支承面的材料的硬度和溫度有關(guān)。③d

的物理意義見圖示。從圖中看出，最大滾阻力偶Mmax的力偶臂正是d，即滾阻系數(shù)，所以，d具有長(zhǎng)度量綱。

從滑動(dòng)變?yōu)闈L動(dòng)其目的就是要運(yùn)動(dòng)，由于滾阻系數(shù)很小，所以在工程中大多數(shù)情況下不考慮滾動(dòng)摩阻力偶的，即輪子在滾動(dòng)時(shí)不計(jì)滾動(dòng)摩阻力偶，但需要考慮靜摩擦力。FSROPFAFNd理論力學(xué)42中南大學(xué)土木工程學(xué)院一般情況下