D3-1環(huán)的定義及環(huán)的基本性質

第三章環(huán)與域3.1環(huán)的定義及環(huán)的基本性質3.2交換律、單位元、零因子、整環(huán)3.3除環(huán)、域

3.4子環(huán)、環(huán)的同構

3.5理想3.6商環(huán)與環(huán)同構基本定理3.7極大理想與素理想本節(jié)將在群理論的基礎上討論具有兩個二元運算的代數系統(tǒng)——環(huán)的基本性質。環(huán)也是近世代數中一類重要的、基本的代數系統(tǒng)。由于它具有二個運算，故不可避免地會遇到在群論中不能觸及和解決的問題。在群論中，無論在思考問題、提出問題的基本想法，還是分析問題、解決問題的主要手法方面，對于近世代數來說，都具有普遍的、典型的意義，可以說基本上體現(xiàn)了近世代數研究問題的格調與模式。這些對環(huán)的討論會有重要的啟發(fā)和借鑒作用。本節(jié)中，主要介紹環(huán)的概念、環(huán)的主要特性及它與群的聯(lián)系與區(qū)別。在教學過程中，還將引入一批環(huán)的實例，以及討論有關環(huán)在二個運算方面所具有的基本性質。要求在學習中，第一節(jié)環(huán)的定義及環(huán)的基本性質

第三章教學目的和要求：（1）能清楚理解環(huán)的定義以及它與群的區(qū)別和聯(lián)系；（2）環(huán)的基本性質應該全部能領會；（3）教學活動中介紹的環(huán)的幾種主要類型要掌握；重點和難點：清楚環(huán)這種代數體系中兩種運算中的協(xié)調關系。一、環(huán)的引入及例子定義1對于環(huán)R而言，(R，+)是加法交換群，則意味著（R，+）滿足群的四個條件，其中單位元為零元0，R中元素a的逆元為負元-a。而半群（R，·)意味著“·”滿足封閉和結合律.注意1：例1數環(huán).例2一般地，例3例4明示1：一元多項式環(huán).在例4中，若將數域F換成任一個數環(huán)，那么也能構成多項式環(huán).譬如，取整數Z，則叫做整系數多項式環(huán).例5n階矩陣環(huán).明示2：在例5中，若用數環(huán)替代數域F后，結果仍成立.譬如，用偶數環(huán)替代F，得到二、兩個重要的環(huán)關于環(huán)，我們可以舉出許許多多的例子.下面特別介紹一個用途很廣的環(huán)。三、環(huán)的基本性質一個環(huán)（R,+,·)中的加法與乘法不是孤立的兩個運算，二者被分配律聯(lián)系起來了，正是這個紐帶才是使得一個具有兩個代數運算的代數系統(tǒng)成為環(huán)的重要依據。性質(1)

性質(2)

性質(3)

性質(4)

性質(5)

事實上，性質(6)

性質(7)

性質(8)

由性質（4）可得性質(9)

性質(10)

事實上，事實上，事實上，性質(11)

性質(12)

性質(13)

性質(14)

證明：數學歸納法證明（1）當n=1時，結論成立。（2）假設對某個自然數n，結論成立。當n+