高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)1

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十一)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．(2023·蘇州高二檢測(cè))若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為eq\r(2)，側(cè)棱長(zhǎng)為1，則此正三棱錐的體積為_(kāi)_________．【解析】設(shè)此正三棱錐的高為h，則h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×\r(2)))2＝1，所以h2＝eq\f(1,3)，h＝eq\f(\r(3),3)，故此三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)2．一個(gè)正四棱臺(tái)形油槽可以裝煤油190L，假如它的上、下底邊長(zhǎng)分別等于60cm和40cm，它的深度是________cm.【解析】設(shè)深度為h，則V＝eq\f(h,3)(402＋40×60＋602)，即190000＝eq\f(h,3)×7600，所以h＝75.【答案】753．如圖1-3-11，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長(zhǎng)的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60420232】圖1-3-11【解析】將該幾何體補(bǔ)上一個(gè)同樣的幾何體，變?yōu)橐粋€(gè)高為a＋b的圓柱，則所求幾何體的體積為V＝eq\f(V圓柱,2)＝eq\f(1,2)×πr2·(a＋b)＝eq\f(πa＋br2,2).【答案】eq\f(πa＋br2,2)4．(2023·江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_____．【解析】設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝eq\r(7).【答案】eq\r(7)5．(2023·山東高考改編)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_(kāi)_______．【解析】過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3).【答案】eq\f(5π,3)6．將一銅球放入底面半徑為16cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高了9cm，則這個(gè)銅球的半徑為_(kāi)_________cm.【解析】設(shè)銅球的半徑為Rcm，則有eq\f(4,3)πR3＝π×162×9，解得R＝12.【答案】127．如圖1-3-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，如果AB＝AC＝eq\r(13)，BB1＝BC＝6，E，F(xiàn)為側(cè)棱AA1上的兩點(diǎn)，且EF＝3，那么多面體BB1C1CEF的體積為_(kāi)_______．圖1-3-12【解析】在△ABC中，BC邊上的高h(yuǎn)＝eq\r(\r(13)2－32)＝2，V柱＝eq\f(1,2)BC·h·BB1＝eq\f(1,2)×6×2×6＝36，∴VE-ABC＋VF-A1B1C1＝eq\f(1,6)V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.【答案】308．如圖1-3-13所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A(B)，C，D，O為頂點(diǎn)的四面體的體積是__________．圖1-3-13【解析】顯然，折疊后OA是該四面體的高，且OA為2eq\r(2)，而△COD的面積為4，所以四面體的體積為eq\f(8\r(2),3).【答案】eq\f(8\r(2),3)二、解答題9．如圖1-3-14所示，A為直線y＝eq\f(\r(3),3)x上的一點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，半圓的圓心O′在x軸的正半軸上，且半圓與AB，AO相切，已知△ABO繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為9eq\r(3)π，求陰影部分旋轉(zhuǎn)成的幾何體的體積．圖1-3-14【解】陰影部分繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓錐挖去一個(gè)內(nèi)切球．其體積為V＝V圓錐－V球．設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x，,\f(1,3)xy2π＝9\r(3)π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3\r(3)，,y＝3.))于是∠AOB＝30°，從而OO′＝2R，3R＝x＝3eq\r(3)，R＝eq\r(3).∴V＝9eq\r(3)π－eq\f(4,3)πR3＝9eq\r(3)π－eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝5eq\r(3)π.10．直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝eq\f(π,2).(1)證明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝eq\r(5)，求三棱錐C1-ABA1的體積．【解】(1)如圖，連結(jié)AB1，∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝eq\f(π,2)，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1又∵AB＝AA1，∴四邊形ABB1A1∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝eq\r(5)，∴AC＝A1C1由(1)知A1C1⊥平面ABA1∴VC1-ABA1＝eq\f(1,3)S△ABA1·A1C1＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).[能力提升]1．(2023·山東高考)一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．【解析】設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.【答案】122．若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為_(kāi)_______．【解析】法一：如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.法二：如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連結(jié)OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相似三角形的性質(zhì)得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πRr.【答案】4πRr3．如圖1-3-15，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AB的中點(diǎn)，D是AA1的中點(diǎn)，則三棱錐D-B1C1E的體積與三棱柱ABC-A1B1C1的體積之比是__________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：604圖1-3-15【解析】設(shè)C1到平面A1B的距離為h，由已知得，S△DB1E＝eq\f(3,8)AB·A1A，所以V三棱錐D-B1C1E＝eq\f(1,3)S△DB1Eh＝eq\f(1,3)×eq\f(3,8)·AB·A1A·h＝eq\f(1,8)AB·A1A·h＝eq\f(1,4)VABC-A1B1C1，即V三棱錐D-B1C1E∶VABC-A1B1C1＝1∶4.【答案】1∶44．(2023·全國(guó)卷Ⅱ)如圖1-3-16，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)圖1-3-16(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由)；(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．【解】(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝1